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高中数学 解三角形章节测试题 苏教版必修5


解三角形
一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 1.一个三角形的两个内角分别为 30?和 45?,如果 45?角所对的边长为 8,那么 30?角所对的 边长是 2.若三条线段的长分别为 7,8,9;则用这三条线段组成 三角形

3.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是 a . b . c ,若 a ? 1 , b ? 3 ,∠A=30?;则△ABC 的面积是 4.在三角形 ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 2: 3: 19 ,则该三角形的最大内角等于 5.锐角三角形中,边 a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,且 c ?
2

6 则角 C =

6. 钝角三角形 ABC 的三边长为 a,a+1,a+2( a ? N ),则 a= 7. ? ABC 中, a(sin B ? sin C) ? b(sin C ?sin A) ? c(sin A ?sin B) = 8. 在△ABC 中,若
a A cos 2 ? b B cos 2 ? c C cos 2

,那么 ? ABC 是

三角形

9.在△ABC 中,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,cos 2

A b?c ,则△ABC 的形状为______ ? 2 2c

10.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是__________ 11. 在 ? ABC 中,若

tan A 2c ? b ? , ,则 A= tan B b

12.海上有 A、B 两个小岛,相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60?的视角,从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75?的视角;则 B、C 间的距离是 海里.

13.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,测得该渔轮在方位 角 45?、距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正沿方位角 105?的方向、以每小时 9 海里的速 度向附近的小岛靠拢。 我海军舰艇立即以每小时 21 海里的速度前去营救; 则舰艇靠近渔轮 所需的时间是 小时.

14.已知 ?ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45 ,若该三角形有两解,则 x 的取值范围是

1

二、解答题: (共 80 分) 15.在△ABC 中,∠A.∠B.∠C 的对边分别是 a . b . c ;求证: a 2 sin 2B ? b2 sin 2 A ? 2ab sin C .

16.如图在 ?ABC 中, AC ? 2, BC ? 1, cos C ? (1)求 AB 的值(2)求 sin(2 A ? C )

3 ; 4

A

B

C

2

17.2003 年伊拉克战争初期,美英联军为了准确分析战场形势,有分别位于科威特和沙特的两 个距离为

3a 的军事基地 C 和 D 测得伊拉克两支精锐部队分别在 A 处和 B 处 , 且 2
A

?ADB ? 30 ?BDC ? 30 ?DCA ? 60 ?ACB ? 45 , 如图所示 , 求伊军这两支精锐部队
的距离. B

D

C

18. 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc (1)求∠A 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值.

3

19. 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ; a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.

2 2 20. ?ABC 的三边 a、b、c 和面积满足 S ? c ? (a ? b) ,且 a + b=2,求面积 S 的最大值

4

一、填空题: 1. 4 2 2.锐角 3.

3 3 或 4 2

4. 120 12. 5 6

5. 60 13.

6.2

7.0

8.等边

9 直

角三角形 10. 等腰三角形 11. 60 二、解答题: 15.证明:由正弦定理:

2 3

14. 2 ? x ? 2 2

a b c ? ? ? 2R ; sin A sin B sin C

左边= 2R2 (2sin 2 Asin 2B ? 2sin 2 B sin 2 A) ? 2R2[(1 ? cos2 A)sin 2 B ? (1 ? cos2 B)sin 2 A] =

2R2 [sin 2B ? sin 2 A ? (sin 2B cos2 A ? cos2B sin 2 A)] ? 2R2[sin 2B ? sin 2 A ? sin(2 A ? 2B)]
= 右边=

? 8R 2 sin A sin B sin C ? 8R 2 sin A sin B sin C
2 2 2

原题得证。

16.解:(1) AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos C ? 2 ? AB ? (2)法一: cos A ?

2

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 5 2 14 , sin A ? ? 2 AB ? AC 8 8 cos C ? 3 7    ? sin C ? 4 4 3 7 8

sin 2 A ?

9 5 7 , cos 2 A ? 16 16

所以 sin(2 A ? C ) ? sin 2 A cos C ? cos 2 A sin C ?

法二:提示: sin(2 A ? C ) ? sin[( A ? C) ? A] ? sin[(? ? B) ? A] 17. AB ?

6 a 4

18.答案: (1) A ? 60? ;

?b ? 1 ?b ? 2 (2) ? 或? ?c ? 2 ?c ? 1

5

19.解: (Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ? A? ? ?

1 3 ?? ? ?? ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . ? cos A ? sin ? ? A ? ? cos A ? cos A ? 2 2 3? ? ?6 ?
由 △ ABC 为锐角三角形知,

? ? ? ? ? ? ? A? ?B, ?B? ? ? . 2 2 2 2 6 3

2? ? ? 1 ? ?? 3 ? A ? ? ,所以 sin ? A ? ? ? . 3 3 6 2 ? 3? 2
由此有

3 ?? 3 ? ? 3 sin ? A ? ? ? ? 3, 2 3? 2 ?
? 3 3? ? ? 2 , ?. 2 ? ?

所以, cos A ? sin C 的取值范围为 ? 20、
2

c 2 ? ? a ? b ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? 2ab ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ?
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2ab cos C

?c2 ? (a ? b)2 ? 2ab(1 ? cos C)


S?

1 ab sin C 2

?sin C ? 4(1 ? cos C ) sin 2 C ? cos2 C ? 1
?17 cos 2 C ? 32 cos C ? 15 ? 0 ? cos C ? ? sin C ? ?S ? 8 17 15 或 cos C ?(舍去) 1 17

1 4 4 4 4 ab sin C ? ab ? a (2 ? a ) ? ? (a ? 1) 2 ? 2 17 17 17 17 a?b ? 2? 0 ? a ? 2
6

?当a ? 1, b ? 1时,的最大值为

4 . 17

7


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