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概率统计复习题5及答案


复习题 5 及答案
一、填空题 1.甲、乙、丙三人在同一时间内分别破译某个密码,设甲、乙、丙三人能单独译 出的概率分别为 0.8,0.7 和 0.6,则密码能被译出的概率为_________. 由加法定理和独立性可得所求概率为: 0.8+0.7+0.6-0.8*0.7-0.8*0.6-0.7*0.6+0.8*0.7*0.6 2. 设 P( A) ? 0.8, P( A

? B) ? 0.5 且 A 与 B 独立,则 P( B) ? ___________。

P( A ? B) ? P( A ? AB) ? P( A) ? P( AB) ? P( A) ? P( A) P( B) ? 0.5 ? 1 ? P( B) ? 故P( B) ? 0.375
3. 设随机变量 X 服从参数 ? ? 2 的泊松分布,则 P( X ? 1) = _____________。
P( X ? 1) ? 1 ? P( X ? 0) ? 1 ? 20 ?2 e ? 1 ? e?2 0!

0.5 ? 0.625 P( A)

4. 设随机变量 X 、Y 相互独立,且 D( X ) ? 1 , D(Y ) ? 2 ,则 D(3 X ?2Y) ? _____。 由
D(




3X ?


2Y ?


)






D )






2 ? ) D
n




X 9 ?


(D


) Y 4 ( )

D ?( X 3 ?

? Y (

? 5. X1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,若统计量 ? ? ? ai X i 是总体均值 EX 的无
i ?1

偏估计量,则 ? ai ? _________。
i ?1

n

? 由无偏估计量的定义 E (? ) ? E (? ai X i ) ? ? ai E (X i ) ? ? ? ai ? ? ? ? ai ? 1
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

6. 设 X1 , X 2 ,?, X17 是总体 N (u, 4) 的样本, S 2 是样本方差,若 P(S 2 ? a) ? 0.01 , 则 a ? ____________.
2 2 2 2 (注: ?0.01 (17) ? 33.4 , ?0.005 (17) ? 35.7 , ?0.01 (16) ? 32.0 , ?0.005 (16) ? 34.3 )

16S 2 16a P( S ? a) ? P( ? ) ? 0.01 4 4 16S 2 16a 2 2 由定理5.1知 ? ?(17-1),故 ? ? 0.01 (16) ? 32.0 4 4 于是a ? 8
2

-1-

二、选择题 1. 对于任意两事件 A 和 B,与 A ? B ? B 不等价的是 (A) A ? B (B)
B? A

( (D)



(C) AB ? ?

AB ? ?

由A ? B ? B易知A ? B,然后此类有关随机事件关系的题 画venn图很快就知道答案为D

2. 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) , Y ? ?2 X ? 3 ,则 Y 的概率密度为(
1 y ?3 f X (? ) 2 2 1 y?3 ) (C) ? f X (? 2 2



(A) ?

(B) (D)

1 f X (? 2 1 f X (? 2

y ?3 ) 2 y?3 ) 2

这是有关一维随机变量的函数的分布问题由于y ? ?2 x ? 3 是严格单调函数,所以直接有公式可得答案为B

3. 设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ? ( x ) ,则 P(| X |? 2) 的值为( (A) 2[1 ? ?(2)] . (B) 2?(2) ? 1 . (C) 2 ? ?(2) . (D) 1 ? 2?(2) . 这是正态概率计算的问题:P( | X ? 2 ? ? P ( | ? | 2 ) | ) 1 X



? 1 ( ? 2 ) -? () ) ? ( - 2 ? 2 (? - ( 2 ) ) 1 2 4.设总体均值为 ? ,方差为 ? , n 为样本容量,下式中错误的是(
(A) E( X ? ? ) ? 0 (B) D( X ? ? ) ?



X ?? ? N (0,1) n ? ?/ n 此题答案为(D),因为并没有告诉我们总体是正态总体, (A)(B)正确是很显然 的, (C)为什么正确呢?我们上新课的时候 曾经证明过样本方差是总体方差的无 S2 E (S 2 ) ? 2 E( 2 ) ? ? 2 ?1 ?2 ? 偏估计(不管总体是什么分布都成立),所以 ?

?

2

(C) E (

S

2

2

) ?1

(D)

5. 下列统计量中哪个是回归统计检验的统计量( (A) u? 2 (B) t? 2 (C) F? (r ? 1, n ? r )

) (D) F? (1, n ? 2)

此题答案为(D),记住书中的结论即可,事实这道题是有问题的,他给出的不 是统计量,而是分位数,大家就原谅他吧,哎! 6. 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 且都服从正态分布 N (0,32 ) , X1 ,X 2 , ?X 9 和 设 ,

Y1 , Y2 ,?, Y9 分 别 是 来 自 两 个 总 体 的 简 单 随 机 样 本 , 则 统 计 量

-2-

U?

X1 ? X 2 ? ? X 9 (Y ? Y ? ?Y )
2 1 2 2 2 9

服从的分布是 (

) (D) N (0,9)

(A) t (9)

(B)

t( 8 )

(C) N (0,81)

此处考得是第五章有关统计中三大分布的构造性定义, 由给的形式很容看到 一定是 t 分布,再到分母中看看自由度是 9,故答案是(A) 三、 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的 事件是相互独立的, 并且概率都是 2/5. 设 X 为途中遇到红灯的次数, X 的 求 分布列、数学期望和方差.
解:注意这题让我们求分布列,故不紧要给出它是服从二项分布的,而且要

具体给出二项分布的取值及取值的概率, 求期望和反差是就记住二项分布的公式 直接套用 X 的概率分布为
2 3 P( X ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 5 5 k ? 0,1, 2,3.

X P


0

1 54 125

2

3

27 125 2 6 EX ? 3 ? ? 5 5

36 8 125 125 2 3 18 DX ? 3 ? ? ? 5 5 25

四、某保险公司的调查表明,新保险的汽车司机中可划为两类:第一类人易出事 故,在一年内出事故的概率为 0.05,第二类人为谨慎的人,在一年内出事故的 概率为 0.01. 假设第一类人占新保险司机的 30%, 现从新入保险的汽车司机中 任抽取一人,求(1)此人一年内出事故的概率是多大?(2)如果此人出了事 故,此人来自第一类人的概率多大? 解 此题是典型的考全概率公式和 BAYES 公式的题:
设 B={此人出事故}, A1,A2 分别表示此人来自第一类人和第二类人 由已知,有

P( A1 )? 0 ., P( A2 ) ? 0.7 , 3

P(B A1 ) ? 0.05
(1)由全概率公式有



P(B A2 ) ? 0.01



P(B) ? P( A1 )P(B A1 ) ? P( A2 )P(B A2 ) ? 0.3? 0.05 ? 0.7 ? 0.01 ? 0.022
(2)由贝叶斯公式有

P( A1 B) ?

P( A1 ) P( B A1 ) P( B)

?

0.3 ? 0.05 15 ? ? 0.682. 0.022 22

-3-

答:从两类人中任意抽取一人,此人一年内出事故的概率为 0.022;

五、设随机变量 X 的概率密度为 ?ax ? 1 , 0 ? x ? 2 f ( x) ? ? 其他 ? 0 , 求(1)常数 a ; (2) X 的分布函数 F ( x) ; (3) P(1 ? X ? 3)
解 (1) 1 ?

?

?? ??

2 a 1 2 f ( x)dx ? ? (ax ? 1)dx ? ( x 2 ? x) 0 ? 2a ? 2 ? a ? ? 0 2 2

(2) X 的分布函数为

F ( x) ? ?

x ??

?0 , ? x u ? f (u )du ? ? ? (1 ? )du, 0 2 ? ?1 , ?

?0 , ? x2 ? 0 ? x ? 2, ? ? x ? , 4 ? x ? 2. ? ?1 , x ? 0,

x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2.

(3) P(1 ? x ? 3) ?

?

3 1

2 x 1 f ( x)dx ? ? (1 ? ) dx ? 1 2 4

(这儿概率还有一种求法,

大家都知道吧,哈哈,如果不知道,你可能这辈子也别想知道了,因为我没打算再讲)

六、设 ( X , Y ) 在由直线 x ? 1 , x ? e2 , y ? 0 及曲线 y ?

1 所围成的区域 x

上服从均匀分布, (1)求边缘密度 f X ( x) 和 fY ( y) ,并说明 X 与 Y 是否独立. (2)求 P( X ? Y ? 2) .
解:区域 D 的面积 S D ? y

?

e2 1

1 e2 dx ? ln x 1 ? 2 x

?1 ? , ( x, y ) ? D, ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 2 ? 0 , 其它. ?
y=1/x
D

0

1

e2

x

(1) f X ( x) ?

?

?? ??

? 11 ? x dy, f ( x, y )dy ? ? ? 0 2 ? 0 , ?

1 ? x ? e2 , 其它.

? 1 , ? ? ? 2x ? 0 , ?

1 ? x ? e2 , 其它.

(这

里大家都知道 x 是如何分段的吧?不知道的话就求我吧,或许我会再讲一次的哦)

-4-

fY ( y ) ? ?

?? ??

? e2 1 ? ? 1 2 dx, ? 1 1 ? f ( x, y )dx ? ? ? 1y dx, 2 ? ? ? ? 0 ,

1 ? y ? e ?2 ,

?1 2 ? 2 (e ? 1), ? ?1 1 , ?2 e ? y ? 1, ? ? ? 2y 2 ? ? ? 其它 ? 0 ,

1 ? y ? e ?2 e ?2 ? y ? 1

其它

注意这里的 y 的分段哦,和平常遇见的有点不一样哦,平常我讲的方法仍然管用,现将 y 分成三段, 再在中间那段分成两段, 一个思路就是看被积函数你是否确定用什么形式代进去。

(2)因 f ( x, y) ? f X ( x) ? fY ( y) ,所以 X , Y 不独立. (3) P( X ? Y ? 2) ? 1 ? P( X ? Y ? 2) ? 1 ?
2? x

x? y?2

??

f ( x, y )dxdy

? ? dx ?
1

2

0

1 1 1 1 3 dy ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 0.75 2 2 2 4 4

七、已知多名实习生相互独立地测量同一块土地的面积,设每名实习生得到的 测量数据 X 平方米服从正态分布 N (?, ? 2 ) ,从这些测量数据中随机抽取 7 个, 经计算,其平均面积为 125 平方米,标准差为 2.71 平方米, (1)求: ? 的置信度为 90%的置信区间; (2)检验这块土地的面积 ? 显著为 124 平方米是否成立(显著性水平为 0.1). (注:

?0.1 ? 1.29 , ?0.05 ? 1.65
t0.1 (7) ? 1.415 , t0.1 (6) ? 1.440 , t0.05 (7) ? 1.895 , t0.05 (6) ? 1.943



背公式的题来了哦,看看方差给了没有?没有,是吧,所以你该知道用哪个公式了哦 解: (1) ? 的置信度为 1 ? ? 下的置信区间为

S S ( X ? t? / 2 ( ? 1 ) n , X ? t? / 2n ? 1 ) ( ) 其中, X 表示样本均值, S 表示样本标 n n 准差, n 表示样本容量,又 X ? 125, S ? 2.71, n ? 7, ? ? 0.1, t0.05 (6) ? 1.943
所以 ? 的置信度为 90%的置信区间为(123,127) (2)本问题是在 ? ? 0.10 下检验假设 H0 : ? ? 124, H1 : ? ? 124, 由于正态总体的方差 ? 未知,所以选择统计量 T ?
2

X ? ?0 , S/ n

由题意知,在 H 0 成立的条件下,此问题的拒绝域为
-5-

| T |?

125 ? 124 ? 0.976 ? t? (n ? 1) 2.71/ 7 2

这里显然 0.976 ? 1.943 ? t0.05 (7 ? 1) ,说明没有落在拒绝域中,从而接受零假设 H 0 ,即在 显著性水平 0.10 下,可认为这块土地的平均面积 ? 显著为 124 平方米。

八、 某粮食加工厂用 4 种不同的方法贮藏粮食,一段时间后,分别抽样化验其含 水率,每种方法重复试验次数均为 5 次,所得粮食含水率的方差分析表的部 分数据如下,试完成方差分析表并给出分析结果。
方差来源 组间(贮藏方法) 组内(误差) 总和 (参考临界值: F0.05 (4,19) ? 5.01 , F0.01 (4,16) ? 4.77 , F0.01 (3,16) ? 5.29 ) 又是一道记公示的题哦,记清楚每一个细节哦,你看看临界值给了这么多呢,到底是哪一个 呢? 方差分析表 方差来源 因素 A 误差 总和 平方和 自由度 3 16 19 均方和 1.6038 0.2829 平方和 4.8106 4.5263 自由度

F值

F 临界值

F值
5.6681

F 临界值
5.29

SS A =4.8106 SS e =4.5263
9.3369

方差总和 9.3369,组间自由度 3, 组内自由度 16, 自由度总和 19, F 值 5.6681, F 临界值 5.29 对于 ? ? 0.01 而言,拒绝 H 0 ,即认为不同的贮藏方法对粮食含水率有影响

九、设 X1 , X 2 , ?, X n 为取自总体 X 的一个样本, X 的密度函数为
? ? x ? ?1 , 0 ? x ? 1, ? ? 0 ? f ( x;? ) ? ? , 0, 其他 ? ?

求参数 ? 的矩估计以及极大似然估计.
-6-

解: 矩估计:有几个参数需要估计呢?所以我们只需要计算总体的几个矩呢?

E?X ? ? ?

??

??

xf ( x)dx ? ? x ? x
0

1

? ?1

dx ?

? ? ?1
?

…2 分

由 X ? E?X ? ?

? ? ?1

得,矩估计量为 ? ? (

X 2 ) 1? X

极大似然函数为 (极大似然函数是 n 个函数连乘哦, 如果连乘符号看着不爽你就再将它 们还原为 n 个函数相乘好了)

L( x1 , x2 ,?, xn ;? ) ? ? ? xi
i ?1

n

? ?1

? ?

n

?x
i ?1

n

? ?1

i

两边同时取对数,得

l nL ? n l n ? ?

( ? ?

1 ?)
i ?1

n

i

xn l



d ln L n i ?1 ? ? d? 2? 2 ?

? ln x

n

i

?0

? 故极大似然估计量为 ? ? (

?n

? ln x
i ?1

n

)2

i

-7-


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