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2013年高三复习第三讲正弦定理和余弦定理


正弦定理和余弦定理 1.正弦定理: a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: sin A sin B sin C

(1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; (3)sin A= a b c ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题. 2R 2R 2R

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C. 余弦定理可以变形为:cos A= b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 ,cos B= ,cos C= . 2bc 2ac 2ab

1 1 1 abc 1 3.S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· 是三角形外接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r. r(R 2 2 2 4R 2 4.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知 a,b,A,则 A 为锐角 图形 关系式 解的个数 一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 两类问题 在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中 结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角. 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径:(1)化边为角;(2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. a<bsin A 无解 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 a≤b 无解 A 为钝角或直角

1.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于( A.5 2 B.10 2 10 6 C. 3 D.5 6

).

sin A cos B 2.在△ABC 中,若 = ,则 B 的值为( a b 3.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75°

).A.30° ).

B.45°

C.60°

D.90°

1 4.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3

).

5.已知△ABC 三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则此三角形的最大内角为________. 1.解析 由 A+B+C=180° ,知 C=45° ,由正弦定理得: a c 10 c 10 6 = ,即 = .∴c= .答案 sin A sin C 3 3 2 2 2 C

sin A cos B 2.解析 由正弦定理知: = ,∴sin B=cos B,∴B=45° .答案 B sin A sin B 3.解析 由余弦定理得:cos A= b2+c2-a2 1+4-3 1 = = ,∵0<A<π,∴A=60° .答案 2bc 2?1?2 2 C

1 2 2 1 1 2 2 4.解析 ∵cos C= ,0<C<π,∴sin C= ,∴S△ABC= absin C= ?3 2?2 3? =4 3.答案 3 3 2 2 3 5.解析 ∵a2+b2-c2=- 3ab,∴cos C= a2+b2-c2 3 =- ,故 C=150° 为三角形的最大内角. 2ab 2

C

考点一

利用正弦定理解三角形

【例 1】?在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c. [审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断.



由正弦定理得

a b 3 2 3 = , = ,∴sin A= .∵a>b,∴A=60° A=120° 或 . sin A sin B sin A sin 45° 2 6+ 2 bsin C = ; sin B 2 6- 2 bsin C = . sin B 2

当 A=60° 时,C=180° -45° -60° =75° ,c=

当 A=120° 时,C=180° -45° -120° =15° ,c=

(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意. π 【训练 1】 (2011· 北京)在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,tan A=2,则 sin A=________;a=________. 4

解析

因为△ABC 中,tan A=2,所以 A 是锐角,且

sin A =2,sin2A+cos2A=1, cos A 2 5 2 10 5

联立解得 sin A=

2 5 a b ,再由正弦定理得 = ,代入数据解得 a=2 10.答案 5 sin A sin B 考点二

利用余弦定理解三角形 cos B b =- . cos C 2a+c

【例 2】?在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

(1)求角 B 的大小;(2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. [审题视点] 由 cos B b =- ,利用余弦定理转化为边的关系求解. cos C 2a+c



a2+c2-b2 a2+b2-c2 cos B b (1)由余弦定理知:cos B= ,cos C= .将上式代入 =- 得: 2ac 2ab cos C 2a+c

a2+c2-b2 a2+c2-b2 -ac 2ab b 1 2 ·2 ,整理得:a2+c2-b2=-ac.∴cos B= = =- .∵B 为三角形的内角,∴B= π. 2 2=- 2ac 2ac 2ac 2 3 a +b -c 2a+c 1 2 1 (2)将 b= 13,a+c=4,B= π 代入 b2=a2+c2-2accos B,得 b2=(a+c)2-2ac-2accos B,∴13=16-2ac 1-2 ,∴ac=3.∴S△ABC= 3 2

( )

3 3 acsin B= . 4

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用. 【训练 2】 (2011· 桂林模拟)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. A +cos A=0.(1)求角 A 的值;(2) 2



(1)由 2cos2

A 1 2π +cos A=0,得 1+cos A+cos A=0,即 cos A=- ,∵0<A<π,∴A= . 2 2 3

2π (2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A,A= ,则 a2=(b+c)2-bc,又 a=2 3,b+c=4, 3 1 有 12=42-bc,则 bc=4,故 S△ABC= bcsin A= 3. 2 考点三
2 2 2 2

利用正、余弦定理判断三角形形状

【例 3】?在△ABC 中,若(a +b )sin(A-B)=(a -b )sin C,试判断△ABC 的形状. [审题视点] 首先边化角或角化边,再整理化简即可判断.



由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,得 b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)],

即 b2sin Acos B=a2cos Asin B,即 sin2Bsin Acos B=sin2Acos Bsin B,所以 sin 2B=sin 2A, 由于 A,B 是三角形的内角.故 0<2A<2π,0<2B<2π.故只可能 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= .故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2 判断三角形的形状的基本思想是;利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三 角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系. a b c 【训练 3】 在△ABC 中,若 = = ;则△ABC 是( cos A cos B cos C A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 ).

D.等腰直角三角形

解析 ∴

由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆半径). B

sin A sin B sin C = = .即 tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.答案 cos A cos B cos C

考点三 正、余弦定理的综合应用 π 【例 3】?在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b;(2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. [审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于 a,b 的方程,通过方程组求解;第(2)问根据 sin C+sin(B-A)=2sin 2A 进 行三角恒等变换,将角的关系转换为边的关系,求出边 a,b 的值即可解决问题.



(1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4.

2 2 ?a +b -ab=4, ?a=2, 1 ? 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absin C= 3,得 ab=4,联立方程组 解得? 2 ?ab=4, ?b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 4 3 2 3 当 cos A=0,即 A= 时,B= ,a= ,b= ;当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A, 2 6 3 3

2 2 ?a +b -ab=4, 由正弦定理,得 b=2a.联立方程组? 解得 ?b=2a,

?a=2 3 3, ? 43 ?b= 3 .

1 2 3 所以△ABC 的面积 S= a bsin C= . 2 3

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立,通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中,通过解方程 组获得更多的元素,再通过这些新的条件解决问题. 4 【训练 3】 (2011· 北京)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cos B= ,b=2. 5 (1)当 A=30° 时,求 a 的值;(2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.



4 3 a b a 10 5 (1)因为 cos B= ,所以 sin B= .由正弦定理 = ,可得 = ,所以 a= . 5 5 sin A sin B sin 30° 3 3

1 3 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac· B,sin B= ,所以 ac=3,ac=10.由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, sin 2 5 10 8 得 4=a2+c2- ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20.所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40.所以 a+c=2 10. 5

阅卷报告 4——忽视三角形中的边角条件致错 【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大,但稍不注意,会出现“会而不对,对而不全”的情况,其主要原因就是忽视三 角形中的边角条件., 【防范措施】 解三角函数的求值问题时,估算是一个重要步骤,估算时应考虑三角形中的边角条件. 【示例】?(2011· 安徽)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.

错因

忽视三角形中“大边对大角”的定理,产生了增根.

实录 正解

1 π a b bsin A 2 π 3π 由 1+2cos(B+C)=0,知 cos A= ,∴A= ,根据正弦定理 = 得:sin B= = ,∴B= 或 .以下解答过程略. 2 3 sin A sin B a 2 4 4 π ∵在△ABC 中,cos(B+C)=-cos A,∴1+2cos(B+C)=1-2cos A=0,∴A= . 3

a b bsin A 2 π 5 在△ABC 中,根据正弦定理 = ,∴sin B= = .∵a>b,∴B= ,∴C=π-(A+B)= π.∴sin C=sin(B+A)=sin Bcos A+ sin A sin B a 2 4 12 cos Bsin A= 6+ 2 6+ 2 3+1 2 1 2 3 ? + ? = .∴BC 边上的高为 bsin C= 2? = . 2 2 2 2 4 4 2

b (2011· 辽宁)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2 A= 2a.(1)求 ;(2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. a

[尝试解答]

b (1)由正弦定理得,sin2Asin B+sin Bcos2A= 2sin A,即 sin B(sin2A+cos2A)= 2sin A.故 sin B= 2sin A,所以 = 2. a

?1+ 3?a 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理和 c =b + 3a ,得 cos B= .由(1)知 b =2a ,故 c =(2+ 3)a .可得 cos B= ,又 cos B>0,故 cos B= , 2c 2 2 所以 B=45°. 1.已知 ?ABC三边长分别为 , b, c且a 2 ? b2 ? c 2 ? 3ab ,则 ?C _____ a 2.在△ABC 中,如果 sin A ∶ sin B ∶ sin C =5∶6∶8,那么此三角形最大角的余弦值是 .

3.在△ABC 中,a,b 分别为角 A、B 的对边,若 B ? 60? , C ? 75? , a ? 8 ,则边 b 的长等于 4.△ABC 中, ?A ? ? ,BC=3, AB ? 6 ,则 ?C ?
3

A. ?

B.

6

? 4

C. 3? D.

4

? 或 3? 4 4
)A.45° B.30° C.120° D.15°

1 5.已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且面积 S△ABC= (b2+c2-a2),则 A 等于( 4

1 6.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150° ,BC=1,则 AB=________. 3

b2+c2-a2 1 1 5 解析:由 S△ABC= (b2+c2-a2)= bcsinA 得 sinA= =cosA,∴A=45° . 4 2 2bc 1 10 BC AB BC· sinC 1?sin150° 10 6.解析:∵tanA= ,A∈(0,π),∴sinA= .由正弦定理知 = ,∴AB= = = . 3 10 sinA sinC sinA 2 10 10

1 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos2C=- .(1)求 sinC 的值;(2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 4

1 10 2 7.解:(1)因为 cos2C=1-2sin C=- 及 0<C<π ,所以 sinC= . 4 4

a c 1 6 2 2 2 (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 = ,得 c=4.由 cos2C=2cos C-1=- 及 0<C<π ,得 cosC=± .由余弦定理 c =a sinA sinC 4 4
?b= 6, 2 2 +b -2abcosC,得 b ± 6b-12=0.解得 b= 6或 2 6,所以? ?c=4 ?b=2 6, 或? ?c=4.

8.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,已知 3a cos A ? c cos B ? b cos C .(1)求 cos 求边 c 的值.

A 的值;(2)若 a ? 1, cos B ? cosC ? 2

3, 3

8.解: (1)由 3a cos A ? c cos B ? b cos C 正弦定理得: 3 sin A cos A ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) 所以 3 sin A cos A ? sin A ,又 sin A ?

0 ,所以 cos A ? 1 。
3

(2)由(1)得 sin A ? 1 ? cos2 A ? 2 2 ,又由 cos B ? cosC ? 2 3 , 3 3

cos(? ? A ? C ) ? cosC ?

2 3 , 所 以 cosC ? 2 3得 2 3 展开得: cos A cos C ? sin A sin C ? cos C ? cos( A ? C ) ? cos C ? 3 3 3
3

2 sin ? C

, 3 又

sin 2 C ? cos2 C ? 1 且 sin C ? 0 ,解得 sin C ? 6 ,而 a ? c ,所以 c ? 3 。
sin A sin C

2

9.在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面 积。

2

9.解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)=
2 2 2

3 , 2

∵△ABC 为锐角三角形∴A+B=120°,C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,
2

2

∴a+b=2 3 ,a?b=2, ∴c =a +b -2a?bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6,

∴c= 6 ,

1 1 3 3 S△ABC= absinC= ?2? = 2 2 2 2

.

3 10 10.(2009· 四川)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos2A= ,sinB= . 5 10 (1)求 A+B 的值;(2)若 a-b= 2-1,求 a、b、c 的值.

10 3 10 3 5 2 5 ,∴cosB= 1-sin2B= ,又 cos2A=1-2sin2A= ,∴sinA= ,cosA= 1-sin2A= . 10 10 5 5 5 2 5 3 10 5 10 2 π ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= ? - ? = .∵0<A+B<π,∴A+B= . 5 10 5 10 2 4 3π 2 a b c (2)由(1)知 C= ,∴sinC= .由正弦定理 = = 得 5a= 10b= 2c,即 a= 2b,c= 5b. 4 2 sinA sinB sinC ∵a-b= 2-1,∴ 2b-b= 2-1,∴b=1.∴a= 2,c= 5. 10.解:(1)∵A、B 为锐角,sinB=

正弦定理、余弦定理应用举例 基础梳理 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1)). (2)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图(2)). (3)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° ,北偏西 45° ,西偏东 60° 等. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 一个步骤 解三角形应用题的一般步骤: (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求 解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. 1.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° 后,就可以计算出 A,B 两点的距离为( ). 25 2 m 2

A.50 2 m B.50 3 m C.25 2 m D.

2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 的关系为( A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°

).

3.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° B.北偏西 15° C.北偏东 10° D.北偏西 10°

).

4.一船向正北航行,看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° , 另一灯塔在船的南偏西 75° ,则这艘船的速度是每小时( A.5 海里 C.10 海里 B.5 3海里 D.10 3海里 ).

5.海上有 A,B,C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里,∠BAC=60° ,∠ABC=75° ,则 B,C 间的距离是________海里.

AC· sin∠ACB AB AC 1.解析 由正弦定理得 = ,又∵B=30° ∴AB= = sin B sin∠ACB sin B 2.解析 根据仰角与俯角的定义易知 α=β.答案 3.解析 如图.答案 B 4.解析 如图所示,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° , 所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10(海里), 在 Rt△ABC 中,得 AB=5(海里),于是这艘船的速度是 B

50? 1 2

2 2 =50 2(m).答案

A

5 =10(海里/时).答案 0.5

C 5 6

BC AB 5.解析 由正弦定理,知 = .解得 BC=5 6(海里).答案 sin 60° sin?180° -60° -75° ?

考点一

测量距离问题

【例 1】?如图所示,为了测量河对岸 A,B 两点间的距离,在这岸定一基线 CD,现已测出 CD=a 和∠ACD=60° ,∠BCD=30° ,∠BDC =105° ,∠ADC=60° ,试求 AB 的长. [审题视点] 在△BCD 中,求出 BC,在△ABC 中,求出 AB.



在△ACD 中,已知 CD=a,∠ACD=60° ,∠ADC=60° ,所以 AC=a.∵∠BCD=30° ,∠BDC=105° ∴∠CBD=45° ,在△BCD 中,由

asin 105° 3+1 正弦定理可得 BC= = a.在△ABC 中,已经求得 AC 和 BC,又因为∠ACB=30° ,所以利用余弦定理可以求得 A,B 两点之间 sin 45° 2 的距离为 AB= AC2+BC2-2AC· cos 30° BC· = 2 a. 2

(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的模型.(2)利用正、余弦定理解出所需要的 边和角,求得该数学模型的解. 【训练 1】 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等, 然后求 B,D 的距离.



在△ACD 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,所以 CD=AC=0.1 km.又∠BCD=180° -60° -60° =60° ,故 CB 是△CAD AB AC ACsin 60° 3 2+ 6 = ,所以 AB= = (km), sin 15° 20 sin∠BCA sin∠ABC

底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.又∵∠ABC=15° 在△ABC 中, 同理,BD= 3 2+ 6 3 2+ 6 (km).故 B、D 的距离为 km. 20 20

考点二

测量高度问题

【例 2】?如图,山脚下有一小塔 AB,在塔底 B 测得山顶 C 的仰角为 60° ,在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45° ,已知塔高 AB=20 m,求山 高 CD. [审题视点] 过点 C 作 CE∥DB,延长 BA 交 CE 于点 E,在△AEC 中建立关系.



如图,设 CD=x m,则 AE=x-20 m,tan 60° =

CD CD x 3 ,∴BD= = = x (m). BD tan 60° 3 3

在△AEC 中,x-20=

3 x,解得 x=10(3+ 3) m.故山高 CD 为 10(3+ 3) m. 3

(1)测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念; (2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理. 【训练 2】 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得∠ BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB.



在△BCD 中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得 stan θsin β . sin?α+β? 考点三

CDsin∠BDC BC CD s· β sin = ,所以 BC= = ,在 Rt△ABC 中,AB=BCtan sin∠BDC sin∠CBD sin∠CBD sin?α+β?

∠ACB=

正、余弦定理在平面几何中的综合应用

【例 3】?如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=5,AC=9, ∠BCA=30° ,∠ADB=45° ,求 BD 的长.

[审题视点] 由于 AB=5,∠ADB=45° ,因此要求 BD,可在△ABD 中,由正弦定理求解,关键是确定∠BAD 的正弦值.在△ABC 中,AB =5,AC=9,∠ACB=30° ,因此可用正弦定理求出 sin∠ABC,再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定 sin∠BAD 即可. 解 在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30° .由正弦定理,得 AC· sin∠BCA 9sin 30° 9 AB AC = ,sin∠ABC= = = . AB 5 10 sin∠ACB sin∠ABC 9 9 .同理,在△ABD 中,AB=5,sin∠BAD= ,∠ADB=45° ,由正 10 10

∵AD∥BC,∴∠BAD=180° -∠ABC,于是 sin∠BAD=sin∠ABC= 弦定理: AB BD 9 2 9 2 = ,解得 BD= .故 BD 的长为 . 2 2 sin∠BDA sin∠BAD

要利用正、余弦定理解决问题,需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理.

【训练 3】 如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.



在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 = =- ,∴∠ADC=120° ,∴∠ 2AD· DC 2 2?10?6

ADB=60° .在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AD· sin∠ADB 10sin 60° AB AD 由正弦定理得 = ,∴AB= = = sin B sin 45° sin∠ADB sin B 规范解答 9——如何运用解三角形知识解决实际问 【问题研究】 ?1?解三角形实际应用问题的一般步骤是:审题——建模?准确地画出图形?——求解——检验作答.,?2?三角形应用题常见的类 型:,①实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理解之;,②实际问题经抽象概括后, 已知量与未知量涉及两个三角形,这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解;,③实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个, 但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.,【解决方案】 航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据,这 些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形,根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离,因此解题的关键就是通过这些 三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中. 【示例】?(本题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海 里.问:乙船每小时航行多少海里? 10? 2 2 3 2

=5 6.

(1)分清已知条件和未知条件(待求).(2)将问题集中到一个三角形中.(3)利 余弦定理求解. [解答示范] 如图, 连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, 1A2=30 2? A 20 =10 2, 1A2=A2B2. ∴A 60

用正、

又 ∠

A1A2B2=180° -120° =60° ,∴△A1A2B2 是等边三角形,∴A1B2=A1A2=10 2.由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1· 1B2· 45° A cos =202+(10 2)2-2?20?10 2? 2 1 2 10 2 因此,乙船的速度为 ?60=30 2(海里/时).(12 分) 20 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图,结合示意图构造三角形,然后转化为解三角形的问题进行求解. 【试一试】 如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即 把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处的乙船,现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ. 2 =200,∴B1B2=10 2. 2

[尝试解答]

如图所示,在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° ,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos 120° AC· =2 800,所 AB 21 2 7 · sin∠BAC= .由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= . BC 7 7 2 7 3 21 1 21 ? - ? = . 7 2 7 2 14

以 BC=20 7.由正弦定理,得 sin∠ACB=

故 cos θ=cos(∠ACB+30° )=cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° =


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