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湖南省长沙一中2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷


长沙一中高一上学期期中考试试卷
请考生注 意:本试题卷共三大题 21 小 题,全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟. 请将答案写 在答卷上. 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x | x2 ? 2 x ? 0} ,则

M ? N ? ( ) A. {?1,0,1} 2.已知函数 f ( x) ? ? B. {0,1} C. {1} D. {0}

? x ? 1, x ? 1 ,则 f [ f (2)] ? ( ) ?? x ? 3, x ? 1

A.3 B.2 C.1 D.0 3.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A. y ? ? x ? 4
2

B. y ? 3 ? x )
2

C. y ?

1 x

D. y ? x

4.下列函数是偶函数的是( A. y ? x 5.函数 f ( x) ? 2x A. (??,1]
2

B. y ? 2x
?2 x

C. )

y?x

?

1 2

D. y ? x 2 , x ? [0,1]

的单调递增区间是(

B. [1, ??)

C. ( ??, 2]

D. [2, ??)

6.下列指数式与对数式互化不正确 的一组是( ) ... A. e ? 1与 ln1 ? 0 ;
0

B. 8 ? 2与 log8 2 ?

1 3

1 ; 3

1

C. log3 9 ? 2与9 2 ? 3 ;

D. log3 3 ? 1与31 ? 3 ;

7.函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点( ) A.(1,2)
2

B.(2,1)

C.(-2,1)
0.7

D.(-1,1)

8.三个数 a ? 0.7 , b ? log2 0.7 , c ? 2 之间 的大小关系是( ) A. a ? c ? b .
x

B.

a?b?c

C. b ? a ? c )

D. b ? c ? a

[来源:Zxxk.Com]

9.函数 f ( x) ? log3 ? x ? 3 零点所在大致区间是( A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D.(4,5)

10.当 a ? 1 时, 在同一坐标系中,函数 y ? ( ) 与y ? log a x 的图象是( )
x

1 a

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.) 11.函数 f ( x) ?

3? x ? log 3 ( x ? 2) 的定义域是 x ?1
x



12.当 x ? (?1, 2] 时,函数 f ( x) ? 3 的值域为
2

; ;

13.函数 f ( x) ? ax ? (b ? ) x ? 3 是偶函数,且定义域为 [a ? 1, 2a] ,则 a ? b ?

14.函数 f ( x) 在 (?1,1) 上是奇函数, 且在区间 (?1,1) 上是增函数, f (1 ? t ) ? f (?t ) ? 0 , 则t 的 取值范围是 ;

1 3

15.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔 3 年计算机的价格降低 现在价格为 8100 元的计算机 9 年后的价格为 元;

1 ,则 3

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 8 分) 计算下列各式: (1) log2 3? log3 2 ? log2
1 3

2;

(4 分)

1 ?( ) 7 0 2 3 (2) (0.125) ? (? ) ? 8 ? 16 4 ; 8

(4 分)

17.(本小题满分 8 分) 根据下列条件,求函数解析式: (1)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ? 2 x ? 17 , 求 f ( x) ; (4 分) (2)已知 g ( x ? 1) ? x ? 3x ,求 g ( x) ;
2

(4 分)

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 | x | ?3 , (1)试证明函数 f ( x) 是偶函数; (3 分) (2)画出 f ( x) 的图象; (要求先用铅笔画出草图,再用中性笔描摹,否则不给分) (3 分) (3)请根据图象指出函数 f ( x) 的单调递增区间与单调递减区间; (不必证明) (3 分) (4)当实数 k 取不同的值时,讨论关于 x 的方程 x2 ? 4 | x | ?3 ? k 的实根的个数; (不必求出 方程的解) (3 分)

19.(本小题满分 8 分) 已知幂函数 数, (1)求函数 f ( x) 的解析式; (4 分)
0.7 0.6 (2)若 a ? k ,比较 (ln a) 与 (ln a) 的大小; (4 分)

f ( x) ? xk

2

?2k ?3

(k ? N * ) 的图象关于 y 轴对称,且在区间 (0, ??) 上是减函

20.(本小题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? b ,且 f (log2 a) ? b , log2 f (a) ? 2 , a ? 0 且 a ? 1 , (1)求 a , b 的值; (4 分) (2)当 x 为何值时, f (log 2 x) 有最小值?最小值是多少?(4 分)

21.(本小题满分 11 分) 设 m 是实数, f ( x ) ? m ?

2 ( x ? R) , 2 ?1
x

(1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 m 的值;(3 分 ) (2)试用定义证明:对于任意 m , f ( x) 在 R 上为单调递增函数;(4 分) (3)若函数 f ( x) 为奇函数,且不等式 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 求实数 k 的取值范围。(4 分)

参考答案
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1-5 DBDBB 6-10 CDCAA 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分.) 11. (?2, ?1) ? (?1,3] ;

12. ( , 9] ; 13. 0 ; 14. ( ,1) ; 15. 2400 ; 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 16.(1) 17.

1 3

1 2

1 ; (2)6; 2

(2)∵ g ( x ? 1) ? x2 ? 3x ? ( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ?1 ∴ g ( x) ?

x2 ? x ?1

18.【答案】 (1) f ( x) 的定义域为 R , 且 f (? x) ? (? x) ? 4 | ? x | ?3
2

[来源:学_科_网 Z_X

? x2 ? 4 | x | ?3 ? f ( x)

故 f ( x) 为偶函数; (2)略 (3)递增区间有: (?1, 0], (1, ??) 递减区间 有: (??, ?1],(0,1] ;

(4)根据图象可知, ①当 k ? ?1 时,方程无实数根; ②当 k ? ?1 或 k ? 3 时,方程有两个实数根; ③当 k ? 3 时, 方程有三个实数根; ④当 ?1 ? k ? 3 时,方程有四个实数根;

19.

∴ k ? 1,

故 f ( x) ? x ;

?4

(2)由(1)知, a ? 1 当 1 ? a ? e 时, 0 ? ln a ? 1 , (ln a)
0.7

? (ln a)0.6 ;

0.6 0.7 当 a ? e 时, ln a ? 1 , (ln a) ? (ln a) ; 0.6 0.7 当 a ? e 时, ln a ? 1 , (ln a) ? (ln a) ;

20.【答案】 (1)由 f (log2 a) ? b 得, (log2 a) ? log2 a ? b ? b ,即 log2 a(log2 a ?1) ? 0
2

∴ log2 a ? 0 或 log2 a ? 1 ,∴ a ? 1 (舍去)或 a ? 2 , ∴ f (a) ? f (2) ? 2 ? b , log2 f (a) ? log2 (2 ? b) ? 2 ∴b ? 2

故当 log 2 x ?

7 1 时,即 x ? 2 , f (log 2 x) 有最小值,最小值为 ; 4 2

2 2 ? 2x ? m? 21.【答 案】(1)∵ f (? x) ? m ? ? x ,且 f (? x) ? f ( x) ? 0 2 ?1 1 ? 2x

∴ 2m ?

2(1 ? 2 x ) ? 0 (注:通过 f (0) ? 0 求也同样给分) 1 ? 2x
,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (m ?

(2)证明:设

2 2 ) ? (m ? x2 ) 2 ?1 2 ?1
x1

= ,

=

即 (3)因为 由 即 令 ,问 题等价于

,所以

在 R 上为增函数。

为奇函数且在 R 上为增函数, 得 对任意 对任意 恒成立。 恒成立。



,其对称轴







时,

,符合题意。

当 解得:

时,对任意

恒成立,等价于

综上所述,当

时,不等式

对任意

恒成立


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