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吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.2.3.6三垂线定理(2)教案 新人教A版必修2


课题:2.2.3.6 三垂线定理(2)
课 型:新授课 一、课题:三垂线定理(2) 二、教学目标:1.进一步明确三垂线定理及逆定理的内容; 2.能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线” ,并能正确应用. 三、教学重、难点:三垂线定理的应用。 D1 C1 四、教学过程: B1 A1 (一)复习: 1.三垂线定理及其逆定理的内容; D 2.练习: C 已知:在正方体 AC1 中,求证: (1) BD1 ? AC (2) BD1 ? B1C . 1 1;
A B

(二)新课讲解: 例 1 . 点 A 为 ?BCD 所 在 平 面 外 的 一 点 , 点 O 为 点 A 在 平 面 BCD 内 的 射 影 , 若

AC ? BD, AD ? BC ,求证: AB ? CD .
证明:连结 OB, OC , OD , ∵ AO ? 平面BCD ,且 AC ? BD ∴ BD ? OC (三垂线定理逆定理) 同理 OD ? BC ,∴ O 为 ?ABC 的垂心, ∴ OB ? CD , 又∵ AO ? 平面BCD ,
B

A

D O C

∴ AB ? CD (三垂线定理) 【练习】 : ?BCD 所在平面外的一点 A 在平面 BCD 内的射影 O 为 ?BCD 的垂心, 求证:点 B 在 ?ACD 内的射影 P 是 ?ACD 的垂心. 例 2.已知:四面体 S ? ABC 中, SA ? 平面ABC, ?ABC 是锐角三角形, H 是点 A 在面

SBC 上的射影,求证: H 不可能是 ?SBC 的垂心. 证明:假设 H 是 ?SBC 的垂心,连结 BH ,则 BH ? SC , S ∵ BH ? 平面SBC ∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影, ∴ SC ? AB (三垂线定理) A 又∵ SA ? 平面ABC , AC 是 SC 在平面 ABC 内的射影 ∴ AB ? AC (三垂线定理的逆定理) ∴ ?ABC 是直角三角形,此与“ ?ABC 是锐角三角形”矛盾 ∴假设不成立,所以, H 不可能是 ?SBC 的垂心.

H C

B

例 3.已知:如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E 是 CC1 的中点,

F 是 AC , BD 的交点,求证: A1F ? 平面BED .
证明: AA 1 ? 平面ABCD , AF 是 A 1 F 在面 ABCD 上的射影 又∵ AC ? BD ,∴ A1F ? BD
A A1

D1 B1

C1

E

D F B G

C

1

取 BC 中点 G ,连结 FG, B1G , ∵A 1B 1 ? 平面BCC1B 1 , FG ? 平面BCC1B 1, ∴ B, G 为 A1F 在面 BCC1B1 上的射影, 又∵正方形 BCC1B1 中, E , G 分别为 CC1 , BC 的中点,∴ BE ? B1G , ∴ A1F ? BE (三垂线定理)又∵ EB ? BD ? B ,∴ A 1F ? 平面BED . 五、课堂小结:三垂线定理及其逆定理的应用. 六、作业: 1.已知 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA, PB, PC 两两垂直, H 是 ?ABC 的垂心, 求证: PH ? 平面 ABC . 2.已知 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA, PB, PC 两两垂直,

B
F

C 求证: P 在平面 ABC 内的射影 O 是 ?ABC 的垂心. 3.如图, ?ABC 是正三角形, F 是 BC 的中点, DF ? 平面 ABC ,四边形 ACDE 是菱形, D 求证: AD ? BE . E 4.如图,过直角三角形 BPC 的直角顶点 P 作线段 PA ? 平面 BPC , A 求证: P 在平面 ABC 内的射影 H 是 ?ABC 的垂心.

A

H P B C

课后记:

2


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