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上海市16区2013届高三二模数学理试题分类汇编6:三角函数


上海市 16 区 2013 届高三二模数学理试题分类汇编 三角函数
一、填空、选择题 1、(2013 届长宁、嘉定区二模)函数 f ( x) ? sin( 2 x ? 答案: ?
2

?
3

) 的最小正周期是__________.

2、(2013 届奉贤区二模)函数 f ( x) ? 2 sin x 的最小正周期是_____________ 答案: ? 3 、 ( 2013 届 虹 口 区 二 模 ) 若 ?

?
2

?? ?

?
2

, 0 ? ? ? ? , m?R , 如 果 有 ).

? ? 3 ? sin ? ? m ? 0 , ( ? ? ) 3 ? cos ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 值为(
2

A. ? 1
答案:B

B. 0

C.

1 2
?

D. 1
sin B 的值为 sin C

4 、( 2013 届黄浦区二模) 在 ?ABC 中, ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 , 则 ___________. 答案:

3 5

5 、 ( 2013 届 静 安 、 杨 浦 、 青 浦 、 宝 山 区 二 模 ) 已 知 ? ? (

?
2

, ? ) , sin ? ?

t an ? ( ?
(A)

?
4

3 ,则 5

) 的值等于………………………(
(B) ?

) (C) 7 . (D) ? 7 .

1 . 7

1 . 7

答案:D 6、(2013 届闵行区二模)设 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边长依次为 a、b、c , 若 ?ABC 的面积为 S ,且 S ? a ? (b ? c) ,则
2 2

sin A ? 1 ? cos A



答案:4 7 、( 2013 届浦东新区二模)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、,若

1 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ? ,则 b ? 4
答案:4 8、(2013 届普陀区二模)若 sin ? ? 答案:3

.

3 ? 且 sin 2? ? 0 ,则 tan ? 5 2

.

9 、 ( 2013 届 徐 汇 、 松 江 、 金 山 区 二 模 ) 已 知 ? ? ( ?

?
2

, 0 ), 且 c o s ??

4 ,则 5

tan ? 2 =___________. 24 答案: ? 7
10、(2013 届闸北区二模)函数 y ? sin x(?
2

?
2

? x ? 0) 的反函数为



答案: y ? arcsin(? x )(0 ? x ? 1) 11 、 ( 2013 届 长 宁 、 嘉 定 区 二 模 ) 已 知 cos(? ? ? ) ?

2 33 答案: 65

? ? ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ,则 sin ? ? ______ .
2

3 5 ,且 , sin ? ? ? 5 13

12、(2013 届奉贤区二模)下列命题中正确的是( (A)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 (B)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 (C)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 (D)函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数 答案:C 13、(2013 届黄浦区二模)已知 cos A. ?



?
2

?

24 25

B. ?

24 7

4 ,且 sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为 5 24 24 C. ? D. 7 7

答案:C 14、(2013 届闵行区二模)设函数 f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ? ? 最小值是 ( (A) ?1 . 答案:B 15 、( 2013 届普 陀区二模 )函 数 y ? sin x ? 2 cos x 的 定 义 域为 ? ?
2

? ? ?? ,则函数 f ( x ) 的 , ? 2 2? ?
9 . 8

) (B)0. (C)

1 . 2

(D)

? 2? ? ,? ? , 值 域 为 ? 3 ?

1 [? ,2] ,则 ? 的取值范围是 4 2? 答案: [0, ] 3

.

二、解答题 1、(2013 届长宁、嘉定区二模)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边 a , b , c 成等 比数列.

3 1 ? sin 2 B (2)求 y ? 的取值范围. sin B ? cos B 解:(1)由已知, b 2 ? ac ,所以由余弦定理, a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 得 cos B ? ………………2 分 ? 2ac 2ac 2ac ? ac 1 由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 cos B ? ? .………………4 分 2ac 2 ? ?1 ? 所以 cos B ? ? , 1? .因此, 0 ? B ? .………………6 分 3 ?2 ?
(2) y ?

(1)求证: 0 ? B ?

?



1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? , sin B ? cos B sin B ? cos B 4? ?
………………9 分

由(1), 0 ? B ? 所以, y ?

?
3

,所以

?
4

? B?

?
4

?

1 ? sin 2 B 的取值范围是 1 , 2 . sin B ? cos B

?

7? ?? ? 2 ? ? ,所以 sin ? B ? ? ? ? , 1? , 12 4? ? ? ? 2 ?

?

………………12 分

2、(2013 届奉贤区二模)位于 A 处的雷达观测站,发现其北偏东 45° ,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶,20 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东
45? ? ? 0 ? ? ? 45
0

?

0

?的

C 处, AC ? 5 13 .在离观测站 A 的正南方某处 E ,

cos ?EAC ? ?

2 13 13

(1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时);

2 13 3 13 ,? sin ?EAC ? 1 ? cos 2 ?EAC ? 13 13 3 ? 3 ? 3 ? ? ? cos ? ? cos? ? ?EAC ? ? cos ? cos ?EAC ? sin ? sin ?EAC 4 4 ? 4 ? 2 2 13 2 3 13 5 26 ?? ? (? )? ? ? 2 13 2 13 26 2 2 2 (2)利用余弦定理 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos ? ? 125,? BC ? 5 5
(1)? cos ?EAC ? ? 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里, 该船的行驶速度 v ?

2分

6分 10 分

5 5 ? 15 5 (海里/小时) 1 3

14 分

3、(2013 届静安、杨浦、青浦、宝山区二模)如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.
小等于

解:(1)在△ POC 中, ?OCP ?
2 2 2

2? , OP ? 2, OC ? 1 3

由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos

2? 3

得 PC 2 ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?

? 1 ? 13 . 2

(2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ?

?
3

?? ,

2 CP ? OP CP ? 2? sin ? 在△ POC 中,由正弦定理得 ,即 sin sin ?PCO sin ? 3
∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

?

??)

CP 4 ? sin( ? ? ) . 2? ? OC ? sin 3 3 3
1 2? CP ? OC sin , 2 3

解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

?

1 4 4 ? 3 ? 4 sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 3 2 3 3 2 3 4 3 sin ? (
2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 3 2 2

?

? sin 2? ?
∴? ?

? 3 3 3 2 3 ? (sin 2? ? ) ? cos 2? ? 3 6 3 3 3

? 3. 时, S (? ) 取得最大值为 6 3

解法二: cos

2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2

即 OC 2 ? PC 2 ? OC ? PC ? 4 ,又 OC 2 ? PC 2 ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4 当且仅当 OC ? PC 时等号成立, 所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?

? 3. 时, S (? ) 取得最大值为 6 3

4、(2013 届闵行区二模)如图,在半径为 20cm 的半圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块 矩形材料 ABCD ,其中点 A 、 B 在直径上,点 C 、 D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题作答 即可: ...... ①设 ?BOC ? ? ,矩形 ABCD 的面积为 S ? g (? ) ,求 g (? ) 的表达式,并写出 ? 的范围. ②设 BC ? x(cm) ,矩形 ABCD 的面积为 S ? f ( x) ,求 f ( x ) 的表达式,并写出 x 的范围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积. D C

A [解]①由 ?BOC ? ? ,得 OB ? 20cos ? , BC ? 20sin ? ,其中 ? ? ? 0, 所以 S ? g (? ) ? AB ? BC ? 2OB ? BC ? 800sin ? cos ? ? 400sin 2? 即 g (? ) ? 400sin 2? , ? ? ? 0,

O

B

? ?

??
? 2?

2分

? ?? ? ? 2?

………………………………4 分

②连接 OC ,则 OB ? 400 ? x2 (0 ? x ? 20)

……………………2 分

所以 S ? f ( x) ? AB ? BC ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) 即 f ( x) ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) . (2)①由 S ? g (? ) ? 400sin 2? 得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? ……………………4 分

?
4

时, S 取最大值 400cm .…… 4 分

2

此时 BC ? 20sin

?
4

? 10 2cm ,
2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .… 2 分
2 2 2 2 2 ② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,

当且仅当 x ? 400 ? x ,即 x ? 10 2 时, S 取最大值 400cm .……4 分,
2 2 2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .… 2 分

2

5、(2013 届普陀区二模)已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 ,? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x 0 ,2) 和

( x0 ? 2? ,?2)
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若锐角 ? 满足 cos ? ?
1 ,求 f (2? ) 的值. 3

第 19 题

解:(1)由题意可得 A ? 2 ……………………………………………………………1 分

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? ……………………………………………… 3 分 2 2 1 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ………………………………………5 分 2 3 2 1 ? 函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) …… ………………………………………………6 分 2 3
由于 cos ? ? 分

2 2 1 且 ? 为锐角,所以 sin ? ? …… ……………………………… 8 3 3

f (2? ) ? 2 cos(? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?

? sin ? sin ) …………………………………10 分 3 3

?

1 1 2 2 3 1? 2 6 ………………12 分 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
6、(2013 届徐汇、松江、金山区二模)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且

sin A cos C ? cos A sin C ?

3 3 3 ,求 a ? c 的值. ,若 b ? 7, ?ABC 的面积 S ?ABC ? 4 2

解:由条件可得 sin( A ? C ) ?

3 ,……………2 分 2

即 sin B ?

3 ,……………4 分 2
1 3 ac sin B ? 3. ? ac ? 3. ………………………………8 分 2 4

? S?ABC ?

2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B, …………10 分
2 于是, 7 ? (a ? c) ? 2 ? 3(1 ? ). ? a ? c ? 4 .

1 2

………………………12 分


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