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2.1.1数列的概念


§2.1(一)

课前检测:
1.按照一定顺序排列的一列数称为数列 ,数列中的每一个 数叫做这个数列的 项 .数列中的每一项都和它的序号有 关,排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通常也叫做

首 项),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项,??, ___
排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项. 2.数列的一般形式可以写成 a1,a2,?,an,?,简记为 {an} . 3.项数有限的数列叫做 有穷 数列,项数无限的数列叫做

无穷 数列. _____
4. 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项 公式.

§2.1(一)

问题一:什么是数列?
问题 1:先看下面的几组例子: (1)全体自然数按从小到大排成一列数: 0,1,2,3,4,?; (2)正整数 1,2,3,4,5 的倒数排成一列数: 1 1 1 1 1, , , , ; 2 3 4 5 (3)π 精确到 1,0.1,0.01,0.001, ?的不足近似值排成一列数: 3,3.1,3.14,3.141,?;

§2.1(一)

(4)无穷多个 1 排成一列数: 1,1,1,1,1,?; (5)当 n 分别取 1,2,3,4,5,?时,(-1)n 的值排成一列数: -1,1,-1,1,-1,?. 请你根据上面的例子尝试给数列下个定义.

答案

按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一

个数叫做这个数列的项,依次称为数列的第 1 项(也叫首项), 第 2 项,?.

§2.1(一)

问题 2:数列中的项与数集中的元素进行对比,数列中的项 具有怎样的性质?



(1) 确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定

的,集合中的元素也具有确定性; (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能 重复出现(即互异性); (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且 与这些数的排列次序有关, 而集合中的元素没有顺序(即无 序性); (4)数列中的每一项都是数, 而集合中的元素还可以代表除 数字外的其他事物.

§2.1(一)

问题二: 数列有哪几种表示方法?
问题 1:数列的一般形式是什么?回忆一下函数的表示方法, 想一想除了列举法外,数列还有哪些表示方法?

答 数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,?,an,?. 除了列举法外,数列还可以用公式法、列表法、图象法来 表示.

§2.1(一)

问题 2:下面是用列举法给出的数列,请你根据题目要求补 充完整. (1)数列:1,3,5,7,9,? ①用公式法表示:an= 2n-1,n∈N* ; ②用列表法表示:

n an

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

? ?

§2.1(一)

③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

§2.1(一)

1 1 1 1 (2)数列:1, , , , ,? 2 3 4 5

1 * , n ∈ N ①用公式法表示:an= n .
②用列表法表示:

2 3 4 5 1 1 1 1 an 1 2 3 4 5 ③用图象法表示为(在下面坐标系中绘出):

n

1

? ?

§2.1(一)

问题三:什么是数列的通项公式?
问题 1:数列的通项公式是怎么定义的?谈谈你对数列通项公式 的理解?

答 如果数列{an}的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用 一个式子来表示, 那么这个公式就叫做数列{an}的通项公 式. 和函数不一定有解析式一样, 并不是所有的数列都有 通项公式. 一个数列的通项公式不唯一, 可以有不同的表 现形式,an=(-1)n-1 可以写成 an=(-1)n+1,还可以写成 ? ?1?n为奇数?, an=? ? ?-1?n为偶数?.

§2.1(一)

问题 2:根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察 数列的特征,并进行联想、转化、归纳,同时要熟悉一些 常见数列的通项公式.下表中的一些基本数列,你能准确 快速地写出它们的通项公式吗? 数列 -1,1,-1,1,? 1,2,3,4,? 1,3,5,7,? 2,4,6,8,? 1,2,4,8,? 1,4,9,16,? 1 1 1 1, , , ,? 2 3 4 通项公式
n an= (-1)

an= n an= 2n-1 an= 2n an= 2n-1 an= n2

1 an= n

§2.1(一)

例1

根据数列的通项公式,分别写出数列的前 5 项与第

2 012 项. nπ (1)an=cos ; 2 1 1 1 1 (2)bn= + + +?+ . 1×2 2×3 3×4 n?n+1?
π 解 (1)a1=cos =0,a2=cos π=-1, 2 3π a3=cos =0,a4=cos 2π=1, 2
5π a5=cos =0, 2 2 012π a2 012=cos =cos 1 006π=1. 2

§2.1(一)

1 1 1 1 1 1 1 1 2 (2)b1= = ,b = + =1- + - =1- = , 2 2 3 3 3 1×2 2 2 1×2 2×3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 b3= + + =1- + - + - = , 2 2 3 3 4 4 1×2 2×3 3×4 4 5 2 012 同理 b4= ,b5= ,b2 012= . 5 6 2 013
小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项,要注意 n =1,2,3,?.如果数列的通项公式较为复杂,应考虑运算化简 后再求值.

§2.1(一)

变式练习:根据下面数列的通项公式,写出它的前 4 项. n - 1 + ? - 1 ? (1)an=2n+1;(2)bn= . 2

答案

(1)a1=3,a2=5,a3=9,a4=17;

(2)b1=-1,b2=0,b3=-1,b4=0.

§2.1(一)

例 2 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)1,-3,5,-7,9,?; 1 9 25 (2) ,2, ,8, ,?; 2 2 2 (3)9,99,999,9 999,?; (4)0,1,0,1,?.
解 (1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,?,是连续的正奇数, 考虑(-1)n 1 具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式


为 an=(-1)n 1(2n-1),n∈N*.


(2)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成 1 4 9 16 25 分数再观察: , , , , ,?,所以,它的一个通项公 2 2 2 2 2 n2 式为 an= ,n∈N*. 2

§2.1(一)

(3)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,?,此数列的通 项公式为 10n,可得原数列的一个通项公式为 an=10n-1, n∈N*.
? ?0 (4)an = ? ? ?1

?n为奇数? 1+?-1?n 或 an = (n∈N*) 或 an = 2 ?n为偶数?

1+cos nπ * ( n ∈ N ). 2
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分 析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相 邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对 值特征.并对此进行联想、转化、归纳.

§2.1(一)

变式练习:写出下列数列的一个通项公式: 1 1 1 1 (1)2 ,4 ,6 ,8 ,?; 2 4 8 16 (2)0.9,0.99,0.999,0.999 9,?; 1 1 1 1 (3)- , ,- , ,?. 2 6 12 20 1 答案 (1)an=2n+ n; 2

(2)an=1-0.1n; ?-1?n (3)an= . n?n+1?

§2.1(一)

?-1?n?n+1? 例 3 已知数列{an}的通项公式 an= . ?2n-1??2n+1? (1)写出它的第 10 项; 2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33 ?-1?10×11 11 解 (1)a10= =399. 19×21
n+1 2 (2)令 =33,化简得:8n2-33n-35=0, ?2n-1??2n+1? 2 2 解得 n=5.当 n=5 时,a5=-33≠33. 2 ∴33不是该数列中的项.

小结

判断某数列是否为数列中的项, 只需将它代入通项

公式中求 n 的值,若存在正整数 n,则说明该数是数列中 的项,否则就不是该数列中的项.

§2.1(一)

1 变式练习:已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*), n?n+2? 1 那么 是这个数列的第______ 10 项. 120 1 1 解析 ∵ = , n?n+2? 120

∴n(n+2)=10×12,∴n=10.

§2.1(一)

目标检测:
1.下列叙述正确的是 A.数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列 B.数列 0,1,2,3,?可以表示为{n} C.数列 0,1,0,1,?是常数列 n D.数列{ }是递增数列 n+1
2.观察下列数列的特点,用适当的一个数填空:1, 3, 5,

( D )

3 , 11,?. 7,___

§2.1(一)

3.已知下列数列: (1)2 000,2 004,2 008,2 012; n-1 1 2 (2)0, , ,?, n ,?; 2 3 1 1 1 (3)1, , ,?, n-1,?; 2 4 2 ?-1?n-1· n 2 3 (4)1,- , ,?, ,?; 3 5 2n-1 nπ (5)1,0,-1,?,sin ,?; 2 (6)6,6,6,6,6,6. 其中,有穷数列是 递增数列是 常数列是 是

(1)(6)

,无穷数列是 ,递减数列是

(2)(3)(4)(5) (3)

, ,

(1)(2) (6)


,摆动数列是

(4)(5)

,周期数列

(5)

§2.1(一)

4.写出下列数列的一个通项公式: (1)a,b,a,b,?; 8 15 24 (2)-1, ,- , ,?. 5 7 9
a+b n-1 a-b 答案 (1)an= +(-1) · ; 2 2 2 n +2n n (2)an=(-1) · . 2n+1

§2.1(一)

课堂小结:
1.{an}与 an 是不同的两种表示,{an}表示数列 a1,a2,?, an,?,是数列的一种简记形式.而 an 只表示数列{an}的 第 n 项,an 与{an}是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法:①图象法;②列表法;③通项公式法; ④递推公式法. 3.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项 与对应的项数之间的联系.同时,要善于利用我们熟知的 一些基本数列, 通过合理的联想、 转化而达到问题的解决.


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