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2011年辽宁省高考理科试卷与答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(供理科考生使用)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其 他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. a?i ? 2 ,则 a ? 1. a 为正实数, i 为虚数单位, i A.2 B. 3 C. 2 D.1 2.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N ? ? I M ? ? ,则 M ? N ? A.M B.N C.I D. ?

3.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AF ? BF =3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 5 3 7 A. 4 B.1 C. 4 D. 4 4.△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a ,则 A. 2 3 B. 2 2 C. 3 D. 2

b ? a

5.从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和 为偶数” ,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B︱A)= A. 8

1

B. 4

1

C. 5

2

1 D. 2

6.执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 A.8 B.5 C.3 D.2

( 7.设 sin

1 +?) = ,则 sin 2? ? 4 3 1 7 A. ? B. ? 9 9

?

C.

1 9

D.

7 9

8.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是 ... A.AC⊥ SB B.AB∥ 平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

?21? x , x ? 1 9.设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 ?1 ? log 2 x, x ? 1
A. [ ?1 ,2] B.[0,2] C.[1,+ ? ] D.[0,+ ? ] 10.若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为
1

A. 2 ? 1

B.1

C. 2

D.2

11.函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A. ( ?1,1) B. ( ?1,+ ? ) C. ( ? ? , ?1 ) D. ( ? ? ,+ ? )

12.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ? ,则棱锥 S—ABC 的体积为 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题-第 24 题为选考题, 考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 . a2 b2 14.调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具
13.已知点(2,3)在双曲线 C:

? ? 0.254x ? 0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每 有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y
增加 1 万元,年饮食支出平均增加____________万元. 15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯 视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 16.已知函数 f ( x) =Atan( ? x+ ? ) ( ? ? 0, | ? |? .

?
2

) ,y= f ( x) 的部分图像如下图,则 f (

?
24

)?



三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式; 18. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥ 平面 ABCD,PD∥ QA,QA=AB= (I)证明:平面 PQC⊥ 平面 DCQ; (II)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

?a ? (II)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ?

1 P D. 2

19. (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块 地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学期望;
2

(II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2) 如下表: 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?

1 附:样本数据 x1 , x 2 ,? ? ?, x n 的的样本方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均数. n 20. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都 为 e,直线 l⊥ MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D.
(I)设 e ?

1 ,求 BC 与 AD 的比值; 2

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥ AN,并说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 1 1 时, f ( ? x) ? f ( ? x) ; a a a

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明: f ? (x0)<0. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选 题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED. (I)证明:CD//AB; (II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程

? x ? cos ? ? x ? a cos ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 ? (a ? b ? 0, ? y ? sin ? ? y ? b sin ?

? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交
点间的距离为 2,当 ? =

?
2

时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ?

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的

面积. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) =|x-2| ? | x-5|. (I)证明: ? 3 ≤ f ( x) ≤3; (II)求不等式 f ( x) ≥x2 ? 8 x+15 的解集.

3

参考答案
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制 订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决 定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给 分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题不给中间分. 一、选择题 1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 三、解答题 17.解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ? 13.2 14.0.254 15. 2 3 16. 3

?a1 ? d ? 0, ? a1 ? 1, 解得 ? 故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. ? d ? ?1. ?2a1 ? 12d ? ?10,
? an S a a , 故S1 ? 1 , n ? 1 ? 2 ? n ?1 2 2 4 2 ? an . 所以,当 n ? 1 时, 2n

(II)设数列 {

an a }的前n项和为Sn ,即 Sn ? a1 ? 2 ? n ?1 2 2

Sn a ?a a a ? a1 ? a1 ? 2 ? ? n n ?1n ?1 ? n 2 2 2 2n 1 1 1 2?n → ? 1 ? ( ? ? ? n ?1 ? n ) 2 4 2 2 1 2?n ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n 2 2

a n n n . →所以 S n ? n ?1 . 综上,数列 { nn }的前n项和Sn ? n ?1 . n ?1 2 2 2 2

18.解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D—xyz. (I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0). 则 DQ ? (1,1,0), DC ? (0,0,1), PQ ? (1, ?1,0). 所以 PQ ? DQ ? 0, PQ ? DC ? 0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC. 故 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. ????6 分 (II)依题意有 B(1,0,1) ,C B ? , 0 ) ,1 (

(1 2 B ,P .) 1 ??
? ?n ? CB ? 0,

?

设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,则 ?

? x ? 0, 即? 因此可取 n ? (0, ?1, ?2). ? ?n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0.
4

设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ?

? ? m ? BP ? 0, ? ? m ? PQ ? 0.

可取 m ? (1,1,1).所以 cos ? m, n ?? ?

15 . 5

故二面角 Q—BP—C 的余弦值为 ?

15 . 5

19.解: (I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且

P ( X ? 0) ? P ( X ? 1) ?

1 1 ? , 4 C8 70
1 3 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

2 2 C4 C4 18 P ( X ? 2) ? ? , 35 C84

P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ?

3 1 C4 C4 8 ? , 4 35 C8

1 1 ? . 4 C8 70

即 X 的分布列为

??????4 分 X 的数学期望为

E( X ) ? 0 ?

1 8 18 8 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2. ??????6 分 70 35 35 35 70

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x甲 ? (403 ? 397 ? 390 ? 404 ? 388 ? 400 ? 412 ? 406) ? 400, 8 1 S甲 ? (32 ? (?3) 2 ? (?10) 2 ? 42 ? (?12) 2 ? 0 2 ? 12 2 ? 6 2 ) ? 57.25. 8
??????8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:

1 x乙 ? (419 ? 403 ? 412 ? 418 ? 408 ? 423 ? 400 ? 413) ? 412, 8 1 2 S乙 ? (7 2 ? (?9) 2 ? 02 ? 62 ? (?4) 2 ? 112 ? (?12) 2 ? 12 ) ? 56. 8
??????10 分 由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植 品种乙. 20.解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设
5

C1 :

x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? ? 1, C : ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a 2 b2 a4 a
(| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
??????4 分

设直线 l : x ? t

A(t ,

a 2 2 b 2 2 a ? t ), B(t , a ? t ). b a

当e ?

1 3 时, b ? a, 分别用y A , yB 表示 A,B 的纵坐标,可知 2 2

| BC |:| AD |?

2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4

??????6 分

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即

b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a b ? , t t ?a
ab2 1 ? e2 ? ? 2 ? a. 解得 t ? ? 2 a ? b2 e
因为 | t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以

1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

所以当 0 ? e ?

2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN; 2
??????12 分



2 ? e ? 1 时,存在直线 l 使得 BO//AN. 2
f ?( x) ?

21.解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??),

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . x x

(i)若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 单调增加.

1 , a 1 1 且当 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0, 当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a 1 1 所以 f ( x)在(0, ) 单调增加,在 ( , ??) 单调减少. ??????4 分 a a 1 1 (II)设函数 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), 则 a a
(ii)若 a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ?

g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2
6

1 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 . a 1 1 1 故当 0 ? x ? 时 , f ( ? x) ? f ( ? x ). ??????8 分 a a a
当0 ? x ? (III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a ? 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) ? 0. 不妨设 A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ? 由(II)得 f ( 从而 x2 ?

1 a

1 a

1 ? x2 . a

2 1 1 ? x1 ) ? f ( ? ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 0. a a a

x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a
??????12 分

由(I)知, f ?( x0 ) ? 0.

22.解: (I)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA, 所以 CD//AB. ????5 分 (II)由(I)知,AE=BE,因为 EF=FG,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. 连结 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE, 又 CD//AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°. 故 A,B,G,F 四点共圆 ????10 分 23.解: (I)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(1,0) , (a,0) ,因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. 当? ?

?

2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1) , (0,b) ,因为这两点重合,所以 b=1.
2 2

(II)C1,C2 的普通方程分别为 x ? y ? 1和

x2 ? y 2 ? 1. 9

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 交点 B1 的横坐标为 2

x? ?

3 10 . 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 A1,B1 关于 x 轴对称,因此,

四边形 A1A2B2B1 为梯形.
7

故四边形 A1A2B2B1 的面积为 24.解:

(2 x ? ? 2 x)( x ? ? x) 2 ? . 2 5

????10 分

x ? 2, ??3, ? (I) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ?2 x ? 7, 2 ? x ? 5, ?3, x ? 5. ?
所以 ?3 ? f ( x) ? 3. (II)由(I)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集; ??????5 分

当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2 x ? 7 ? 3.

当 2 ? x ? 5时, f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5时, f ( x) ? x ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

????10 分

8


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