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函数的单调性


§3
教材分析

函数的单调性
代长见

安徽省淮北市第十二中学

函数的单调性是函数的重要特性之一, 它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性 地联系在一起。在初中学习函数时,借助图像的直观性研究了一些函数的增减性。对函数的 增减性有了初步的感性认识, 但是在高中阶段, 研究函数更习惯于借助符号语

言来刻画函数 的性质及图像变化趋势,用理论分析来解释定性结果,以培养学生的理性思维。 这节内容是初中有关内容的深化、 延伸和提高。 这节课通过对具体函数图像的归纳和抽 象, 概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义, 明确指出函数的增减性是相对 于某个区间来说的。而对于函数增减性的判断,教材在安排上,既有从图像上进行观察的直 观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观 察图像得出猜想结论, 进而用推理证明猜想的体系。 这节内容的重点是理解函数单调性的概 念以及利用函数单调性的概念证明函数的单调性,难点是理解函数的单调性。

学法指导
借助于学习过的基本函数进行具体分析,画出图像,分组讨论,观察归纳,得出结论, 抽象概括出函数单调性的概念,然后进行演练巩固,深化对函数单调性的理解,在由具体到 抽象,特殊到一般的推理过程中,培养学生的理性思维,最后引导学生注意学习和掌握规范 的书写格式。

教学目标
1. 知识与技能 ⑴通过具体实例的研究, 归纳推理出函数单调性和单调区间的概念, 借助于实例的分析, 进一步的对函数单调性和单调区间的理解; ⑵对于给定的函数图像,能够观察并写出函数的单调区间; ⑶对于一些给定的简单函数,可以借助于函数单调性的概念,进行判断和证明。 2. 过程与方法 ⑴体会由具体的实例推导出抽象概念的方法,并能够尝试自己借助数学符号语言刻画函 数的定义; ⑵感悟数形结合的数学方法; ⑶在证明简单函数单调性的同时,体会处理数学问题的逻辑性与严密性。 3. 情感态度与价值观 由学生熟悉的例子出发,以图像变化的趋势为突破口,分组讨论,激发学生探求学习知 识的欲望,突出学生的主观能动性,借助于已知的知识来突破未知的领域,体会数学的 前后呼应奥妙之处,培养数学的学习兴趣。

教学重点
⑴函数单调性的概念; ⑵判断和证明简单函数的单调性。

教学难点

⑴学生对函数单调性的认知与理解(数学符号语言、常量到变量的转化) ; ⑵利用定义证明单调性的代数推理论证(变形方向、最简的形式) 。

教具准备
多媒体课件 几何画板

课时安排
1 课时

教学过程
Ⅰ创设情境
(1)近六届世界杯进球数如下表: 年份 1990 1994 1998 2002 2006 2010 进球数 115 137 171 161 147 145 画成折线图:



问题 1:随着年份的不同,进球数有什么变化?进球数的变化和图象的变化有什么联系?

(2)淮北市某天的气温变化曲线图:

问题 2:随着时间的变化,温度的变化趋势是?(上升?下降?) 事实上,在生活中,有很多数据的变化是有规律的,了解这些数据的变化规律,对我们的生 活很有帮助。观察满足函数关系的数据变化规律往往是看:随着自变量的变化,函数值是如 何变化的,这就是我们今天要研究的函数的单调性。 (板书课题) 下面请同学们作出下列函数的图像:

(1) y ? 2 x ? 1

(2) y ? ?2 x ? 1

(3)

y?

x

2

170

几何画板展示上述函数图像 学生讨论:

问题 3:图像自左向右的变化趋势? 问题 4:当自变量 x 的值增加时,函数值

y 是如何变化的?

Ⅱ探索新知
思考:如何借助于数学符号语言来描述函数值的增减变化呢? 学生考察:

y?

x

2

在区间[0, +∞)上时, 当自变量 x 的值增加时, 函数值 y 的变化趋势?

学生结论:从函数

y?

x

2

的图象可以看到:图象在 y 轴的右侧部分是上升的,也就是说,

当在区间[0,+∞)上取值时,随着 x 的增大,相应的 y 值也随着增大,即如果任取 [0,+∞ ),得到

x ,x ∈
1 2

y

1

? f ( x1),

y

2

? f ( x2)

,那么当

x ? x 时,有 f ( x ) ? f ( x ) .这时我们
1 2 1 2

就说函数 y ? f ( x) 在[0,+ ∞ )上是增函数;同理,我们可以说函数在 y ? f ( x) (-∞,0]上 是减函数. (借助几何画板演示,同时引导学生归纳总结出函数单调性的定义)

函数单调性定义
1.增函数 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 A 内的任意 两个自变量

x , x ,当 x ? x 时,都有 f ( x ) ? f ( x ) ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 A 上
1 2 1 2 1 2

是增函数. 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意: ○ 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 A 内的任意两个自变量

x ,x
1

2

;当

x ?x
1

2

时,总有

f ( x1) ? f ( x2) ;
③增函数与减函数图像. 2.函数的单调性定义 如果函数 y ? f ( x) 在某个区间 A 上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 A 叫做 y ? f ( x) 的单调区间:

Ⅲ 巩固反馈
例 1 说出函数 y ?

1 的单调区间,并指明在该区间上的单调性。 x

分析:⑴画出函数的图像 ⑵确定函数的定义域

⑶(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数 y ? 减少的。 ⑷(-∞,0)和(0,+∞)与(-∞,0)∪(0,+∞)的区别

1 是 x

小试牛刀:
如图是定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的图象, 根据图象说出 y ? f ( x) 的单调区间, 以及在每一单调区间上,函数 y ? f ( x) 是增函数还是减函数.

分析:⑴函数的定义域; ⑵单调区间: (-∞,-2], (-2,1], (1,3], (3,+∞) ; ⑶在区间(-∞,-2], (1,3]上是增函数;在区间(-2,1], (3,+∞)上是减函数 例 2 画出函数 f ( x) ? 3x ? 2 的图像,判断它的单调性,并加以证明。 分析:⑴函数的定义域 ⑵函数的图像(直观判断) ⑶函数单调性的证明方法 证明:任取

x , x ? R且 x ? x , 则 x ? x
1 2 1 2 1 1 2 1

2

? 0.
2 1 2

所以 f ( 即 f(

x ) ? f ( x ) ? (3 x ? 2) ? (3 x ? 2) ? 3( x ? x ) ? 0,
2

x ) ? f (x ) .
1

由单调函数的定义可知,函数 f ( x) ? 3x ? 2 是 R 上的增函数。 学生总结:判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 y ? f ( x) 在给定的区间 A 上的单调性的一般步骤: ○ 1 任取

x , x ∈A,且 x ? x ;
1 2 1 2

○ 2 作差 f (

x ) ? f (x ) ;
1 2

○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○ 4 定号(即判断 f ( ; x ) ? f ( x ) 差的正负)
1 2

○ 5 下结论(即指出函数 y ? f ( x) 在给定的区间 A 上的单调性) .

学生练习:
⑴证明:函数 y ? ?2 x ? 1在R上是减函数 . ⑵证明:函数

y?

x

2

在[0,+∞)上单调递增.

⑶证明:函数 y ?

1 在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数. x

说明:由学生板演,发现学生存在的问题,及时纠正,特别强调符号语言和书写的规范性。

Ⅳ 总结归纳
1. 2. 3. 4. 定义的发现与推理过程; 定义的注意事项; 函数单调性的证明方法; 符号语言和图形语言的相互转化.

Ⅴ 布置作业
必做题:习题 2—3A 组 3、4 选做题:习题 2—3A 组 5 拓展题:1、证明:函数 y ? x ? 的图像. 2、证明:函数 y ? x ?

1 在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数;并试着去画出函数 x 1 在(-∞,-1]和[1, +∞)上是增函数在(-1,0)和 x

(0,1)上是减函数. 并试着去画出函数的图像.

Ⅵ 板书设计
(一) 1. 2. 3. 函数单调性定义 增函数 减函数 单调区间 例 1: 学生练习 例 2: 学生练习

Ⅶ 教学反思
学生在初中阶段,通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初 步的认识,但在高中阶段,用符合语言来刻画文字语言,用图形语言来解释自变量的变化趋 势,用定性分析来解释定性结果都是学生学习的难点,在本节课处理时,借助于二次函数的 图像,引导学生观察自变量的变化趋势,逐步的用符合语言来表达,顺其自然的推广出函数 单调性的定义,由特殊到一般,形成概念。在突破重难点时,要注意学生的认知规律,数形 结合,形象直观的展示,慢慢的渗透,从而最终理解。同时在教学时注重解题的规范性,在 处理作差变形这一难点时,可以对配方、因式分解、通分等作简单复习。


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