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极坐标与参数方程试题答案


2015-2016 学年度下学期阶段考试 高二数学(文科)试题 I卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则 CU(A∪B)等于 A{6,8} B{5,7} C{4,6,7} D{1,3,5,6,8} ) 2. 在极坐标系中,圆 ρ=2sin θ 的圆心的极坐标是( π π A.(1, ) B.(2, ) 2 2 C.(1,0) D.(1,π) 3. 在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A. ? =0(? ? R)和? cos=2 C. θ = B. θ = ( )

π ( ? ∈R)和? cos = 2 2

π (ρ∈R)和ρcos =1 2

D. θ = 0(ρ∈R)和ρcos =1

4.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 ? ?x=-1+4t 正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是? (t 为参数),则直线 ?y=3t ?

l 与曲线 C 相交所截的弦长为(
4 A. 5 标系中,该圆的方程为( A.ρ=2cos θ 8 B. 5 )

) C.2 D.3

5.已知圆的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐 C.ρ=-2cos θ D.ρ=-2sin θ ? ?x′=5x, 6. 在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换? 后,曲线 C 变为曲线 2x′2+8y′2 ?y′=3y ? =1,则曲线 C 的方程为(
2 2

B.ρ=2sin θ

).

2 8 A.50x +72y =1 B.9x2+100y2=1 C.25x2+36y2=1 D. x2+ y2=1 25 9 7.由

7 5 9 8 13 9 b?m b ? , ? , ? , …若 a>b>0,m>0,则 与 之间大小关系为( 10 8 11 10 25 21 a?m a
1

)

A.相等

B.前者大

C.后者大

D.不确定

8. 设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? , ( ? 为参数) , 直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数为( 10
(C)3 ) ) (D)4

则曲线 C 上到直线 l 距离为 (A)1

(B)2

9 .下面几种推理过程是演绎推理的是(

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果 ? A 和 ? B 是两条平行直线的同旁内角,则

?A ? ?B ? 180? .
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质. C.某校高三共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班 都超过 50 人. D.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 式.
?x=t, ? 10. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t∈R),圆的参数方程为 ?y=t+1, ? ? ?x=cos θ+1, ? (θ∈[0,2π)),则圆心 C 到直线 l 的距离为( ?y=sin θ, ?

1? 1 ? ? an?1 ? ? ? n ? 2 ? ,由此归纳出 ?an ? 的通项公 2? an?1 ?

)

A.0 C. 2

B .2 2 D. 2 ) π2 4+ 9

π? 11. 在极坐标系中,点? ?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为( A.2 B. C.

π2 1+ D. 3 9 ?x=2+cos θ, ? 12. 已知曲线 C 的参数方程为? (θ∈[0,π]),且点 P(x,y)在曲线 C 上,则 ?y=1+sin θ ? y+x-1 的取值范围是( ) x 4? 3 3 ? 3+ 3? A.?0, ? B.?1,1+ ? C.? D.?1, ? ?1,3? 3? 2? 3 ? ? ? ?

2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在 II 卷对应题号后 的横线上. 13. 直线 3x-4y+5=0 经过变换 ?

? x? ? 3x 后,坐标没变化的点为______. ? y? ? 2y
.

14. 设过原点 O 的直线与圆 C:(x-1)2+y2=1 的一个交点为 P,点 M 为线段 OP 的中 点,则点 M 轨迹的极坐标方程是____________

?x=4cos θ 15 . 曲 线 ? (θ 为 参 数 ) 上 一 点 P 到 点 A( - 2,0) 、 B(2,0) 的 距 离 之 和 为 ?y=2 3sin θ
____________ 16. 在极坐标系中,已知 O 为极点,点 A(4, 则使△OAB 的面积最大的θ =______. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的

? ),B(5,θ ),θ ∈[0,2π ), 3

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数) 参数方程为:? ,曲线 C 的 极坐标方程为: ? ? 4cos ? . 1 ?y ? t ? ? 2
(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并指出 C 是什么曲线; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 P 、 Q 两点,求 PQ 值.

考号



18. (本小题满分 12 分) 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原
2 2

来的 2 倍,得曲线 C. (Ⅰ)写出 C 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为

P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为

姓名

极坐标建立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

3

19. (本小题满分 12 分)分极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正 半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 x= t 2 (2)直线 l: (t 为参数)与曲线 C 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 E,求|EA| 3 y=1+ t 2

? ? ?

+|EB|. 20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C: ?

?x ? 3cos? , 直线 l:ρ (cosθ -2sinθ )=12. ? y ? 2sin?

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 距离的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,

1 ? x? t ? ? 2 曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cosθ ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数). 1 ?y ? t ? ? 2
(1)写出曲线 C 在直角坐标系的标准方程和直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,点 M 在曲线 C 上移动,试求△ABM 的面积的最大 值. 22.(本小题满分 12 分) 在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l:ρ cosθ =4 相 交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM·OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值.

2015-2016 学年度第二学期高二数学 4 月月考试题答案
文科
1.A 2. A 7.B 8.B 3.B 9.A 4.B 5.B 6.A 10. C 11.D 12.D

4

13(5,5). 16.

14.ρ=cos θ

15. 8 .

5? 11? 或 6 6

17. .解: (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,它是以 (2, 0) 为圆心, 半径为 2 的圆. (Ⅱ) PQ ? t1 ? t2 ? 18. 【解析】 (Ⅰ)设

(t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 7

? x1, y1 ? 为圆上的点,在已知变换下变为 C 上的点 ? x, y ? .依题意得
2 2

? x ? x1 , ? ? y ? 2 y1.

? y? y2 x ?? ? ?1 x2 ? ?1 2 2 x1 ? y1 ? 1得 ?2? 4 由 ,即曲线 C 的方程为

? x ? cos t , ? y ? 2sin t , ( t 为参数). 故 C 的参数方程为 ?
? 2 y2 ? 1, ?x ? ? x ? 1, ? x ? 0, 4 ? ? ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 y ? 0 或 ? y ? 2. (Ⅱ)由 ? 解得 ?
?1 ? 1 k? . ? ,1? . P 1,0 , P 0,2 PP ? ? ? ? 2 2 不妨设 1 ,则线段 1 2 的中点坐标为 ? 2 ? 所求直线斜率为 1? 1? y ?1 ? ? x ? ?. 2? 2 ? 化为极坐标方程,并化简得 于是所求直线方程为

??

3 . 4sin ? ? 2 cos ?

19 解析:(1)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中, 两边同乘以 ρ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 5. 20【解析】(1)∵ρ (cosθ -2sinθ )=12,

5

∴ρ cosθ -2ρ sinθ =12,∴x-2y-12=0. (2)设 P(3cosθ ,2sinθ ), |3cosθ -4sinθ -12| 5 3 4 ∴d= = |5cos(θ + ? )-12|(其中,cos ? = ,sin ? = ), 5 5 5 5 当 cos(θ + ? )=1 时,dmin= 7 5 , 5

7 5 ∴P 点到直线 l 的距离的最小值为 . 5 21【解析】(1)由ρ=2cosθ得ρ =2ρcosθ,即 x +y -2x=0,所以曲线 C 的标准方 程为(x-1) +y =1,直线 l 的普通方程为 x-y=0. (2)圆心(1,0)到直线 l 的距离为 d= 1 2 = <r=1,∴直线与圆相交,则圆上的点到直 2 2
2 2 2 2 2

线 l 的最大距离为 d+r=

2 +1(r 为圆的半径), 2

又∵|AB|=2

1-(

2 2 ) = 2, 2

1 1 2 2+1 ∴S△ABM≤ |AB|(d+r)= × 2×( +1)= , 2 2 2 2 ∴△ABM 面积的最大值为 2+1 . 2

22. 【解析】方法一:(1)设动点 P 的极坐标为(ρ,θ),则点 M 为(ρ0,θ). 12 ∵OM·OP=12,∴ρ0ρ=12,得ρ0= . ρ 12 ∵M 在直线ρcosθ=4 上,∴ρ0cosθ=4,即 cosθ=4, ρ 于是ρ=3cosθ(ρ>0)为所求的点 P 的轨迹方程. 3 (2)由于点 P 的轨迹方程为ρ=3cosθ=2· cosθ, 2 3 3 所以点 P 的轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆(去掉原点). 2 2 又直线 l:ρcosθ=4 过点(4,0)且垂直于极轴,点 R 在直线 l 上,由此可知 RP 的最小值

6

为 1. 方法二:(1)直线 l:ρcosθ=4 的直角坐标方程为 x=4,设点 P(x,y)为轨迹上任意一 点,点 M(4,y0),

??? ? ???? ? 4y 由 OP ∥ OM ,得 y0= (x>0). x
又 OM·OP=12,则 OM ·OP =144. 16y ∴(x +y )(16+ 2 )=144, x
2 2 2 2 2

整理得 x +y =3x(x>0), 这就是点 P 的轨迹的直角坐标方程. 3 3 (2)由上述可知,点 P 的轨迹是圆心为( ,0),半径为 的圆(去掉原点). 2 2 又点 R 在直线 l:x=4 上,故 RP 的最小值为 1.

2

2

7


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