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导函数专题(含有答案)


专题:导函数的基本应用 题型一:利用导函数求单调性、极值、最值问题
(难度:简单 题型:求极值问题) 的导数为 . ,若函数 例题 1.1 (2011 重庆 文 19) 设 的图象关于直线 对称,且

(Ⅰ)求实数 , 的值; (Ⅱ)求函数 的极值.

(难度:中档 题型:利用导函数的几何意义求单调性及极值问题.含参数的.) 例题

1.2(2009 北京文)设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x ? ? 3x 2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,
' ? ?a ? 4, ? f ? 2? ? 0 ? ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ∴? ?? ?? ? ? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8

(Ⅱ)∵ f

'

? x ? ? 3 ? x2 ? a ? ? a ? 0? ,
'

当 a ? 0 时, f

? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,

此时函数 f ( x) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f
'

? x? ? 0 ? x ? ?

a,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' 当 x ? ??, ? a 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x) 的极大值点, x ? a 是 f ( x) 的极小值点.

1

例题 1.21(2009 天津卷文)设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ) 已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, 且 x1 ? x2 。 若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] , x1 , x 2 ,

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。(不要)
【解析】解: (1)当 m ? 1时,f ( x) ?

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1 3

所以曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率为 1. 1,f( 1 )) (2)解: f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,令 f ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m
' 2 2 '

因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ( x) 的变化情况如下表:
'

x
f ' ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x)

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解:由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x 2 ? 3 , 且 3 4 2 1 1 ? ? 1 ? (m ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x2 ? x1 ? x2 ? 3, 故x2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f ( x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

2

1 所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x 2 ] 的最小值 x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 , 3 1 为 0,于是对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m 2 ? ? 0 ,解 3
则 f ( x) ?? ? 得?

3 3 ?m? 3 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

1 2

3 ) 3

(难度:难 题型:求极值问题) 例题 1.3(2009 湖南卷文) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.
3 2

(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。 (难度:简单 题型:利用导函数的几何意义求单调性及极值问题)
2

解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x) 的图象关于直线 x=2 对称, 所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 6 x ? cx , f ?( x) ? 3x ? 12 x ? c ? 3( x ? 2) ? c ? 12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 . 于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t ? 12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

2

于是

g (t ) ? f (t ) ? t 3 ? 6t 2 ? ct ? ?2t 3 ? 6t 2 , t ? (2, ??) .
2

当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数, 故 g (t ) 的值域为 (??,8).

3

(难度:简单 题型:求单调性问题) 例题 2.1(2010 重庆 文)(19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx (其中常数 a,b∈R), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数.
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

(难度:简单 题型:求最值问题) 例题 2.2(06 四川文)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处
3

的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 . (冲刺三上的题) (Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值. 解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推 理能力和运算能力. (Ⅰ)∵ f ( x) 为奇函数, ∴c ? 0 ∵ f '( x) ? 3ax ? b 的最小值为 ?12
2

∴ f ( ? x) ? ? f ( x)

即 ?ax ? bx ? c ? ?ax ? bx ? c
3 3

∴ b ? ?12 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6

又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2 x ? 12 x .
3

1 6

f '( x) ? 6 x 2 ? 12 ? 6( x ? 2)( x ? 2) ,列表如下:

x
f '( x)
f ( x)

(??, ? 2)

? 2

(? 2, 2)
?

2

( 2, ??)

?
?

0
极大

0
极小

?
?

?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ( ??, ? 2) 和 ( 2, ??) ∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 (难度:简单 题型:求最值问题)
4

例题 2.3(20) (07 全国一文) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0, 3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

解: (Ⅰ) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3

解得 a ? ?3 , b ? 4 .
2 2

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知,f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c ,f ?( x) ? 6 x ? 18 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) . 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? ? 0, 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 所以 因为对于任意的 x ? ? 0,
2

9 ? 8c ? c2 ,

解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,

因此 c 的取值范围为 (??, ? 1) ? (9, ? ?) .

题型二:已知单调性、极值、最值求参数范围(值)的问题
(难度:中档 题型:己知单调性求参数范围问题) 例题 1.1(2009 浙江文)已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...
2 解析: (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

又?

?

f (0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a (a ? 2) ? ?3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有 f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即:

[3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1
2

5

例题 1.2 (10 全国卷 I 本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2(3a ? 1) x ? 4 x
4 2

(I)当 a ?

1 时,求 f ( x) 的极值; 6

(II)若 f ( x) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围。

例题 1.3(陕西文)已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??)
3 2

上是减函数,又 f ?( ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

1 2

3 . 2

(Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

(难度:中档 题型:求单调性;己知极值参数范围问题) 例题 2.1(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ?
的取值范围。

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m

例题 2.2(10 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)=x -3ax +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。

3

2

(难度:中档

题型:求含参数的单调性;己知极值点求参数范围问题)

6

例题 2.3(06 湖南卷)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ?

3 . a

(I)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ( x) 上两点 A、 B 处的切线都与 y 轴垂直, 且线段 AB 与 x 轴有公共点, 求实数 a 的取值范围. (难度:简单 题型:已知极值求参数范围、极值存在的条件问题) 例 题 3.1 ( 2010 北 京 文 18 ) 设 定 函 数 f ( x) ? 的两个根分别为 1,4。 f ' ( x) ? 9 x? 0 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , 且 方 程 3

(难度:中档 题型:导数几何意义、求极值问题) 例题 3.21 (2009 四川卷文) 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切
3 2

线方程是 y ? 5 x ? 10 。 (I)求函数 f ( x) 的解析式; ( II)设函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 3

g ( x) 取得极值时对应的自变量 x 的值.
【解析】 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①
2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

…………………………………4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3
2

当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3x ? 4 x ? 1 ? 由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 .

1 m ? 0 有实数解, 3

7

①当 m ? 1时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 极值

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无 3 3
1 1 (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 3 3
( x1 , x2 )


②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? 情况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

题型三:导函数的综合应用
(难度:简单) 例题 1.1(2009 江西卷文)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

难度:难 例题 1.2(06 四川卷)已知函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 1, g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f
3

'

? x? 是

的导函数。 (Ⅰ)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ) 设 a ? ?m2 , 当实数 m 在什么范围内变化时, 函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只 有一个公共点。

(难度:中档

题型:利用最值求参数范围问题)

例题 2.1(09 年)10.设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
8

(难度:简单 题型:利用最值求参数范围问题) 例题 2.2(07 福建文) 设函数 f ( x) ? tx ? 2t x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (难度:中档 题型:导数几何意义、利用最值求参数范围问题)
3

例题 2.3(10 天津)已知函数 f(x)= ax ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

(难度:难)
例题 3(2009 宁夏海南卷文) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .
3 2 2 3

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2) 若 a ?

1 ' ,且当 x ? ?1, 4a ? 时, f ( x) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

9


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