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高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)


向量的概念 一、高考要求: 理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握 向量加法的交换律和结合律. 二、知识要点: 1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以 A 为 始点,B 为终点的有向线段记作 AB ,注意:始点一定要写在前面,已知 AB ,线段 AB 的长度叫做有 向线段 AB 的长(或模)

, AB 的长度记作| AB|.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度. 2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量 ,只有大小和方向的向量叫做自由向量 .在本章中说到向 量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向 量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段 AB 表示向量时,我们就说向量 AB .另 外,在印刷时常用黑体小写字母 a、b、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母 a 、 b 、 c 、…等.与向量有关的概念有: (1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量 .向量 a 和 b 同向且等长, 即 a 和 b 相等,记作 a = b . (2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作 0 .零向量的方向不确定. (3) 位置向量:任给一定点 O 和向量 a ,过点 O 作有向线段 OA ? a ,则点 A 相对于点 O 的位置 被向量 a 所唯一确定,这时向量 a 又常叫做点 A 相对于点 O 的位置向量. (4) 相反向量 : 与向量 a 等长且方向相反的向量叫做向量 a 的相反向量 , 记作 ?a . 显然 , a ? (?a) ? 0 . (5) 单位向量:长度等于 1 的向量,叫做单位向量,记作 e .与向量 a 同方向的单位向量通常记

a 作 a0 ,容易看出: a0 ? . │ a │ (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些 向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量 a 平行于向量 b ,记 b .零向量与任一个向量共线(平行). 作a ∥ 三、典型例题: 例:在四边形 ABCD 中,如果 AB ? DC 且 ,那么四边形 ABCD 是哪种四边形? │AB │ ? │ BC │ 四、归纳小结: 1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据. 2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同, 模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.

五、基础知识训练:
(一)选择题: 1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向 量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点 A 相对于点 B 的位置向量是 BA . 正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2. 设 O 是正△ ABC 的中心,则向量 AO, OB, OC 是( ) A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量 3. a ? b 的充要条件是( )
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A. B. 且 a ∥b []l C. a ∥ b D. 且 a 与 b 同向 │ a │ ? │ b │ │ a │ ? │ b │ │ a │ ? │ b │ 4. AA? ? BB? 是四边形 ABB?A? 是平行四边形的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5. 依据下列条件,能判断四边形 ABCD 是菱形的是( ) A. AD ? BC B. AD ∥ BC 且 AB ∥ CD │AB │ ? │AD │ C. AB ? DC 且 D. AB ? DC 且 AD ? BC 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( ) A.零向量没有方向 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意 7. 设与已知向量 a 等长且方向相反的向量为 b ,则它们的和向量 a ? b 等于( ) A.0 B. 0 C.2 a D.2 b (二)填空题: 8. 下列说法中: (1) AB 与 BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两 个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有 . 9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等 (4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有 个. ∣∣ a =0,则 a =0. (2)若 ∣∣= a ∣∣ b ,则 a ? b 或 a ? ?b .(3)若 a 与 b 是平行向量, 10. 下列命题中: (1)若 则 (4)若 a ? 0 ,则 ?a ? 0 .其中正确的命题是 ∣∣= a ∣∣ b . (三)解答题: 11. 如图,四边形 ABCD 于 ABDE 都是平行四边形. (1) 若 AE ? a ,求 DB ; (2) 若 CE ? b ,求 AB ; (3) 写出和 AB 相等的所有向量; (4) 写出和 AB 共线的所有向量. (只填序号).

向量的加法与减法运算 一、高考要求: 掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律. 二、知识要点: 1. 已知向量 a 、 b ,在平面上任取一点 A,作 AB ? a , BC ? b ,作向量 AC ,则向量 AC 叫做向量 a 与 b 的和(或和向量),记作 a + b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC .这种求两个 向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则. 2. 已知向量 a 、b ,在平面上任取一点 A,作 AB ? a , AD ? b ,如果 A、 B、 D 不共线, 则 以 AB 、 AD 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ABCD, 则 对 角 线 上 的 向 量 AC = a + b = AB + AD .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四 边形法则. 3. 已知向量 a 、b ,在平面上任取一点 O,作 OA ? a , OB ? b ,则 b + BA = a ,向量 BA 叫做向量 a 与 b 的差,并记作 a - b ,即 BA = a ?b ? OA ? OB .由此推知: (1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点 到被减向量的终点的向量;
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(2) 一个向量 BA 等于它的终点相对于点 O 的位置向量 OA 减去它的始点相对于点 O 的位 置向量 OB ; (3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量. 4. 向量加法满足如下运算律: (1) a ? b ? b ? a ; (2) (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) . 三、典型例题: 例 1:已知任意两个向量 a 、 b ,不等式 ≤ 是否正确?为什么? │ a?b │ │ a │ ? │ b │ 例 2:作图验证: ?(a ? b) ? ?a ? b . 四、归纳小结: 1. 向量的加法有三角形法则 ( AB ? BC ? AC )或平行四边形法则 ( AB + AD = AC ),向量的减法法 则( AB ? OB ? OA ). 2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾 相接,和向量是首指向尾 .向量减法的三角形法则的特点是 ,减向量和被减向量同起点 ,差向量 是由减向量指向被减向量. 3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点). 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 化简 AB ? AC ? BD ? DC 的结果为( ) A. AC B. AD C. 0 D.0 2. 在△ ABC 中, BC ? a, CA ? b ,则 AB 等于( ) A. a ? b B. ?(a ? b) ) B. ( AD ? MB) ? (BC ? CM ) C. a ? b D. b ? a 3. 下列四式中不能化简为 AD 的是( A. ( AB ? CD) ? BC

C. MB ? AD ? BM D. OC ? OA ? CD 4. 如图,平行四边形 ABCD 中,下列等式错误的是( ) A. AD ? AB ? BD B. AD ? AC ? CD C. AD ? AB ? BC ? CD D. AD ? DC ? CA 5. 下列命题中,错误的是( ) A.对任意两个向量 a 、 b ,都有? B.在△ ABC 中, AB ? BC ? CA ? 0 ?a? ?? ? ?b? ? ?a ? b? ? ≤? C.已知向量 AB ,对平面上任意一点 O,都有 AB ? OB ? OA D.若三个非零向量 a 、 b 、 c 满足条件 a ? b ? c ? 0 ,则表示它们的有向线段一定能构成三角形 6.下列等式中,正确的个数是( ) ① a ? 0 ? a ;② b ? a ? a ? b ;③ ?(?a) ? a ;④ a ? (?a) ? 0 ;⑤ a ? (?b) ? a ? b . A.2 B.3 C.4 D.5 (二)填空题: 6. 在△ ABC 中, AB ? CA = , BC ? AC = . 7. 化简: AB ? AC ? BD ? CD = , A0 A1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A0 = . (三)解答题: 8. 若某人从点 A 向东位移 60m 到达点 B,又从点 B 向东偏北 30 方向位移 50m 到达点 C,再从点 C 向北偏西 60 方向位移 30m 到达点 D,试作出点 A 到点 D 的位移图示. 数乘向量 一、高考要求:
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掌握数乘向量的运算及其运算律. 二、知识要点: 1. 数乘向量的一般定义:实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ? a . 当 ? ? 0 时, ? a 与 a 同方向│ , ?a ; │ =│ ? ∣ │ a │ 当 ? ? 0 时, ? a 与 a 反方向│ , ?a ; │ =│ ? ∣ │ a │ 当 ? ? 0 或 a ? 0 时, 0 ? a ? ? ? 0 ? 0 . 2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1 a = a ,(-1) a = ?a ; (2) ? (? a) ? (??)a ; (3) (? ? ? )a ? ? a ? ? a ; (4) ?(a ? b) ? ? a ? ?b . 三、典型例题: 1 1 1 1 1 例 1:化简: (a ? 2b) ? (5a ? 2b) ? b 例 2:求向量 x : 2( x ? a) ? (b ? 3x ? c) ? c 4 6 3 4 2 四、归纳小结: 向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( ) A. ? (? a) ? (?? )a B. (? ? ? )a ? ? a ? ? a C. ?(a ? b) ? ? a ? ?b D. ? (a ? b) ? ? a ? b 2. D,E,F 分别为△ ABC 的边 BC,CA,AB 上的中点,且 BC ? a, CA ? b ,给出下列命题,其中正确命题的个 1 1 1 1 AD ? ? a ? b ; ② BE ? a ? b ; ③ CF ? ? a ? b ; ④ 数是( ) ① AD ? BE ? CF ? 0 . 2 2 2 2 A.1 B.2 C.3 D.4 3. 已知 AM 是△ ABC 的 BC 边上的中线,若 AB ? a, AC ? b ,则 AM 等于( ) 1 1 1 1 A. ( a ? b) B. (b ? a ) C. ( a ? b) D. ? ( a ? b) 2 2 2 2 1 4. 设四边形 ABCD 中,有 DC ? AB ,且 ,则这个四边形是( ) ∣AD ∣ ? ∣ BC ∣ 2 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 (二)填空题: 5. 化简: 2(3a ? 4b ? c) ? 3(2a ? b ? 3c) = . 6. 若向量 x 满足等式: x ? 2(a ? x) ? 0 ,则 x = 7. 数乘向量 ? a 的几何意义是 (三)解答题:
1 8. 已知向量(也称矢量) a, b ,求作向量 x ? 2a ? b . 2

. .

b
a

9. 已知 a 、 b 不平行,求实数 x、y 使向量等式 3xa ? (10 ? y)b ? (4 y ? 7)a ? 2xa 恒成立. 1 10. 任意四边形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,F 是 BC 的中点,求证: EF ? ( AB ? DC ) . 2 平行向量和轴上向量的坐标运算 一、高考要求:
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掌握向量平行的条件,理解平行向量基本定理和轴上向量的坐标及其运算. 二、知识要点: 1. 平行向量基本定理:如果向量 b ? 0 ,则 a ∥ b 的充分必要条件是,存在唯一的实数 ? ,使 a ? ? b . 该定理是验证两向量是否平行的标准. 2. 已知轴 ,取单位向量 e ,使 e 与 同方向,对轴 上任意向量 a ,一定存在唯一实数 x,使 a ? xe .这 里的 x 叫做 a 在轴 上的坐标(或数量),x 的绝对值等于 a 的长,当 a 与 e 同方向时,x 是正数,当 a 与 e 反方向时,x 是负数. (1) 设 a ? x1 e , b ? x2 e ,则① a = b 当且仅当 x1 ? x2 ;② a + b = ( x1 ? x2 )e . 这就是说,轴上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两 个向量的坐标的和. (2) 向量 AB 的坐标通常用 AB 表示,常把轴上向量运算转化为它们的坐标运算,得著名的沙 尔公式:AB+BC=AC. (3) 轴上向量的坐标运算 : 起点和终点在轴上的向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐 标.即在轴 x 上,若点 A 的坐标为 x1 ,点 B 的坐标为 x2 ,则 AB= x2 ? x1 .可得到数轴上两点的距离公 式│ : AB │ = x2 ? x1 . 三、典型例题: 例 1:已知:MN 是△ ABC 的中位线,求证: MN ?
1 BC , MN ∥ BC . 2

1 例 2:已知: a ? 3e, b ? ? e ,试问向量 a 与 b 是否平行?并求 . │ a │ │ :b │ 3 例 3:已知:A、B、C、D 是轴 上任意四点,求证: AB ? BC ? CD ? DA ? 0 四、归纳小结: 1. 平面向量基本定理给出了平行向量的另一等价的代换式 ,可以通过向量的运算解决几何中的 平行问题.即判断两个向量平行的基本方法是,一个向量是否能写成另一向量的数乘形式. 2. 数轴上任一点 P 相对于原点 O 的位置向量 OP 的坐标,就是点 P 的坐标,它建立了点的坐标与 向量坐标之间的联系. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 如果 a ? mb(m ? R, b ? 0) ,那么 a 与 b 的关系一定是( ) A.相等 B.平行 C.平行且同向 D.平行且反向 2. 若 AB ? 3e, CD ? ?5e ,且 ,则四边形 ABCD 是( ) │AD │ =│ CB │ A.平行四边形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形 3. “ a1 e1 ? a2 e2 ? 0 ”是“ a1 ? 0 且 a2 ? 0 ”的( )

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 (二)填空题: 4. 若 a ? 3e, b ? ?6e ,那么 a 与 b 的关系是 5. 在轴上,若 AB ? ?8, BC ? 23,则 AC = .

D.既非充分又非必要条件 . .

CB │ 6. 已知:数轴上三点 A、B、C 的坐标分别是-5、-2、6,则 AB = , CA = ,│ = (三)解答题: 7. 已知:点 E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点,求证:EF=HG.

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向量的分解 一、高考要求: 理解平面向量的分解定理. 二、知识要点: 1. 平面向量的分解定理 : 设 a1 , a2 是平面上的两个不共线的向量 , 则平面上任意一个向量 c 能唯 一地表示成 a1 , a2 的线性组合,即 c ? x1 a1 ? x2 a2 ( x1, x2 ? R) . 2. 直线的向量参数方程: (t 为参数):① AP ? t AB ;② OP ? OA ? t AB ;③ OP ? (1 ? t )OA ? tOB .特别地 ,当 1 1 t ? 时, OP ? (OA ? OB) ,此为中点向量表达式. 2 2 三、典型例题: 例 1:如图,在△ ABC 中,M 是 AB 的中点,E 是中线 CM 的中点,AE 的延长线 交 BC 于 F,MH∥ AF,交 BC 于点 H,设 AB ? a, AC ? b ,试用基底 a 、 b 表示
BH 、 MH 、 EC .

例 2:如图,A、B 是直线 上任意两点,O 是 外一点,求证:点 P 在直线 上 的充要条件是:存在实数 t,使 OP ? (1 ? t )OA ? tOB . 四、归纳小结: 平面向量分解定理告诉我们:平面上取定两个不平行的向量作为基 向量,则平面上的任一向量都可以表示为基向量的线性组合 .于是,向量 之间的运算转化为对两个向量的线性运算. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 如图,用基底向量 e1 、e2 表示向量 a 、b 、c 、d ,不正确的一个是( ) A. a = ?e1 +2 e2 B. b =2 e1 +3 e2 C. c =3 e1 + e2 D. d = e1 +3 e2 ) 2. 在平行四边形 ABCD 中,O 是对角线 AC 和 BD 的交点, AB ? 2e1, BC ? 4e2 ,则 2e2 ? e1 等于(

A. AO B. BO C. CO D. DO 3. 已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 和 BD 相交于点 M,设 AB ? a, AD ? b ,则用基底向量 a 、

b 分别表示 MA 、 MB 、 MC 、 MD 中,错误的一个是( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ? a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 2 2 2 2 2 2 2 2 4. 若点 P 满足向量方程 AP ? t AB ,当 t 在 R 内任意取值时,点 P 的轨迹是( ) A.直线 OA B.直线 OB C.直线 AB D.一条抛物线 (二)填空题: 5. 已知 O、A、B 三点不共线,则用向量 OA 、 OB 分别表示线段 AB 的三等分点 P、Q 相对于点 O 的位置向量为 . 1 6. 在△ ABC 中,DE∥ BC,并分别与边 AB、 AC 交于点 D、 E,如果 AD= AB, AB ? a, AC ? b ,则用 a 、b 表 3 示向量 DE 为 . 7. 正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点, AB ? a, AD ? b ,则 BE = .
8. 平行四边形的边 BC 和 CD 的中点分别为 E、 F,把向量 EF 表示成 AB 、AD 的线性组合为
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.

(三)解答题: 9. ABCD 是梯形,AB∥ CD 且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点, AB ? a, AD ? b ,求 BC 和 MN . 向量的直角坐标 一、高考要求: 掌握向量的直角坐标和点的坐标之间的关系,熟练掌握向量的直角坐标运算,会求满足一定 条件的点的坐标,掌握平行向量坐标间的关系. 二、知识要点: 1. 在直角坐标系 XOY 内,分别取与 x 轴、与 y 轴方向相同的两个单位向量 e1 、 e2 ,在 XOY 平面上 任作一向量 a , 由平面向量分解定理可知 , 存在唯一的有序实数对 ( x1 , x2 ) ,使得 a ? x1 e1 ? x2 e2 , 则 ( x1 , x2 ) 叫做向量 a 在直角坐标系 XOY 中的坐标,记作 a ? ( x1 , x2 ) . 2. 向量的直角坐标:任意向量 AB 的坐标等于终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标,即若 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) , 则 AB ? OB ? OA ? ( x2 , y2 ) ? ( x1, y1 ) ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . 向量 a 的直角坐标 (a1 , a2 ) ,也常 根据向量的长度和方向来求: a1 ? ∣∣ a cos ? ,a2 ? ∣∣ a s i n? . 3. 向量的坐标运算公式:设 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则:

a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ) ; a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1 ? b1, a2 ? b2 ) ;

? a ? ?(a1, a2 ) ? (?a1, ?a2 ) .
三、典型例题: 例 1:已知 A(-2,1)、B(1,3),求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P、 Q 的坐标及向量 PQ 的坐标. 例 2:若向量 a ? (1,1)、 b ? (1, ?1)、 c ? (?1, 2) ,把向量 c 表示为 a 和 b 的线性组合. 四、归纳小结: 1. 向量在直角坐标系中的坐标分别是向量在 x 轴和 y 轴上投影的数量,向量的直角坐标运算公 式是通过对基向量的运算得到的. 2. 要求平面上一点的坐标,只须求出该点的位置向量的坐标. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 已知向量 a ? (2,3) ,向量 b ? (?1,1) ,下列式子中错误的是( ) A. a ? b ? (1, 4) B. a ? b ? (3, 2) C. 5a ? (10,15) ) D. a1 ? b1 或 a2 ? b2 D. ?2a ? (4,6) 2. 已知 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则 a ? b 的充要条件是( A. a1 ? b1 B. a2 ? b2 C. a1 ? b1 且 a2 ? b2

3. 已知点 A(-1,1),B(-4,5),若 BC ? 3BA ,则点 C 的坐标是( ) A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7) 4. 已知点 A(1,2),B(-1,3), OA? ? 2OA , OB? ? 3OB ,则 A?B? 的坐标是( ) A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-1,13) D.(1,-13) 5. 已知 A(1,5),B(-3,3),则△ AOB 的重心的坐标为( ) 1 1 4 2 8 2 8 A. (? , 2) B. (? , ) C. ( , ) D. (? , ) 3 3 2 3 3 3 3 6. 已知向量 a ? (1, ?2) ,向量 b ? (?2,3) ,则 3a ? 2b 等于( ) A.(-1,-12) B.(3,-5) C.(7,-12) D.(7,0) 7. 已知 a =(-4,4),点 A(1,-1),B(2,-2),那么( )
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A. a ? AB B. a ? AB C.|a|? D. a ∥ AB | AB| 8. 已知点 A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且 A,B,C 三点共线,则 k=( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 9. 已知 m ? (3, 2), n ? ( x, 4) , m ∥ n ,则 x=( ) 8 8 A.6 B.-6 C. ? D. 3 3 (二)填空题: 10. 设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O, AD ? (3,7) , AB ? (?2,1) ,则 OB 的坐标是 11. 已知 a ? (?1, 2), b ? (1, ?1), c ? (3, ?2) ,且 c ? pa ? qb ,则 p,q 的值分别为 12. 若向量 a ? (2, m) 与 b ? (m,8) 是方向相反的向量,则 m= (三)解答题: 13. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?2, ?3) ,实数 x,y 满足等式 xa ? yb ? (3, ?4) ,求 x,y. . .

.

14. 已知向量 OA ? (3, 4) ,将向量 OA 的长度保持不变绕原点 O 沿逆时针方向旋转 置,求点 A? 的坐标. (1) 向量 a =(-3,4)、 b =(-1,1),点 A 的坐标为(1,0).求 3a ? 2b ; 向量的长度和中点公式 一、高考要求: 熟练掌握向量的长度(模)的计算公式(即两点间的距离公式)、中点公式. 二、知识要点: 1.
∣∣ a ? a12 ? a2 2 ; 向量的长度(模)公式:若 a ? (a1 , a2 ) ,则

3? 到 OA? 的位 4

1 (2)若 AB ? ? a ,求 B 点的坐标. 3

若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 ∣AB ∣ ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

.
x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 . 2 2

2. 中点公式:若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 x ?

三、典型例题: 例 1:已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求顶点 D 的坐标. 例 2:已知 A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求证:△ ABC 为等腰三角形. 四、归纳小结: 向量的长度公式、距离公式是几何度量的最基本公式,中点公式是中心对称的坐标表示. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 已知向量 a =(3,m)的长度是 5,则 m 的值为( ) A.4 B.-4 C.±4 D.16 2. 若 A(1 , 3),B(2 , 5),C(4 ,2),D(6,6),则( ) A. AB ? CD B. C. AB ∥ CD D. AB ? CD ∣ AB ∣ ? ∣ CD ∣ 3. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),则顶点 D 的坐标是( ) A.(0,4) B.(2,2) C.(-1,5) D.(1,5) 4. 已知点 P 的横坐标是 7,点 P 到点 N(-1,5)的距离是 10,则点 P 的坐标是( ) A.(7,11) B.(7,-1) C.(7,11)或(7,-1) D.(7,-11)或(7,1) (二)填空题:
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5. 已知 A(-3 , 4),B(4 , -3),则 AB = , AB = ,线段 AB 的中点坐标是 ∣ ∣ 6. 已知点 P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且 ,则 x 的值是 . ∣ PQ ∣= ∣ PM∣ (三)解答题: 7. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点 D 的坐标. 1 1 8. 已知点 A(5,1),B(1,3),及 OA? ? OA , OB? ? OB ,求 A?B? 的坐标和长度. 3 3 平移公式

.

一、高考要求: 掌握平移公式,会求满足一定条件的点的坐标. 二、知识要点: 1. 平移是一种基本的几何(保距)变换,它本身就是一个向量.教材中有点的平移和坐标轴的平移 2. 在图形 F 上任取一点 P(x,y),设平移向量 a ? (a1 , a2 ) 到图形 F ? 上的点 P?( x?, y?) ,则点的平移公 式为: x? ? x ? a1 , y? ? y ? a2 . 三、典型例题: 例 1:一种函数 y ? x2 的图象 F 平移向量 a ? (2, ?3) 到 F ? 的位置,求图象 F ? 的函数解析式. 例 2:已知抛物线 F: y ? x2 ? 6 x ? 11经一平移变换为 F ? : y ? x2 ,求平移变换公式. 四、归纳小结: 点的平移法则:函数 y=f(x)的图象平移向量 a ? (a1 , a2 ) 后,得到新图形的方程是:y- a2 =f(x- a1 ).这就 是说,在方程 y=f(x)中,把 x,y 分别换成 x- a1 ,y- a2 ,即可得到图象 F ? 的方程. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 点 A(-2,1)平移向量 a =(3,2)后,得到对应点 A? 的坐标是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3) 2. 将函数 y ? 2x2 的图象 F,平移向量 a =(-3,1)到图象 F ? ,则 F ? 对应的解析式是( ) A. y ? 2( x ? 3)2 ? 1 B. y ? 2( x ? 3)2 ?1 C. y ? 2( x ? 3)2 ? 1 D. y ? 2( x ? 3) 2 ?1 3. 将函数 y=2x 的图象 ,平移向量 a =(0,3)到 ? ,则 ? 的方程是( ) 2 A.y= x B.y=2(x+3) C.y=6x D.y=2x+3 3 1 4. 将函数 y ? sin ? x 的图象右移 个单位,平移后对应的函数为( ) 2 1 1 A. y ? sin(? x ? ) B. y ? sin(? x ? ) C. y ? cos ? x D. y ? ? cos ? x 2 2 ? 5. 将函数 y=sin2x 的图象平移向量 a 得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,则 a 为( ) 3 ? ? ? ? A.( ? ,0) B.( ,0) C. ( ? ,0) D. ( ,0) 6 3 6 3 6. 将方程 x2-4x-4y-8=0 表示的图形经过平移向量 a 变换到 x2=4y 的图形,则 a =( A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3) 7. 函数 y ? 2( x ? 2)2 ? 1的图象平移向量 a 后得到函数 y ? 2x2 的图象,则 a 为( A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) (二)填空题:
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) )

8. 在平移变换下,点 A(1,0)变为 A? (4,3),则平移向量 a = . 2 2 9. F:抛物线 y ? x ?14x ? 57 经一平移变换到 F ? : y ? x ,其平移变换公式为

.

10. 把图形 F 平移向量 a =(2,3)后得到图象 F ? ,已知 F ? 的解析式为 y ? x2 ? 6 x ? 14 ,则 F 对应的函数 解析式为 . (三)解答题: 1 11. 已知函数 y ? 的图象为 F,把 F 平移向量 a =(3,2)到图象 F ? ,求图象 F ? 的表达式. x 向量的射影与内积 一、高考要求: 了解向量在轴上投影的概念,掌握向量在轴上投影的数量计算,熟练掌握向量内积的概念及 其运算性质,初步掌握向量的应用. 二、知识要点: 1. 以 x 轴的正半轴为始边,以射线 OA 为终边的角 ? ,叫做向量 a 的方向角.向量 a 在轴 上的投影 数量为 a ? ∣∣ a cos ?. 2. 两个向量 a , b 的内积揭示了长度、角度与向量投影之间的深刻联系: (1) 两个向量的内积等于一个向量的长与另一个向量在这个方向上正投影数量的乘积,即 a ?b ? ∣∣ a ( ∣∣ b cos< a, b > )= ∣∣ b ( ∣∣ a cos< a, b > ); (2) 两个向量的内积等于这两个向量的模与它们夹角的余弦的积,即 a ? b ? ∣∣ a│ b ∣ cos< a, b > ; (3) 两个向量的内积是数量而不是向量. 3. 内积运算的性质: (1)如果 e 是单位向量,则 a ? e ? e ? a = ∣∣ a cos< a, e > ; (2) a ? b ? a ? b ? 0 ;

a ?b ; (5) ∣ a ?b ∣ ? ∣∣ a ∣∣ ? b . a ? a ; (4) cos< a, b > ? ∣∣ a │∣ b 4. 向量内积的坐标运算与运算律: (1) 向量内积的坐标运算:已知 a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ) ,则 a ? b ? a1b1 ? a2b2 ;
(3) a ? a ? ∣∣ a 2或 ∣∣= a (2) 内积的运算律:交换律 a ? b ? b ? a ;结合律 ? (a ? b) ? (? a) ? b ? (?b) ? a ; (3) 分配律 (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c . 三、典型例题: 例 1:在直角坐标系 xOy 中,已知 OA 的方向角为 60 , OB 的方向角为 180 , OC 的方向角为 300 , 且它们的长度都等于 2. (1)求 OA , OB , OC 的坐标; (2)求证: OA + OB + OC = 0 . ∣∣ a 、 例 2:已知 a ? (3, ?1) , b ? (1, ?2) ,求 a ? b 、 ∣∣ b 、 < a, b > . 四、归纳小结: 要求会根据已知条件,求向量在轴上的投影数量;能直接用向量的内积公式 ,求两向量的内 积或夹角;会证明两向量互相垂直. 五、基础知识训练: (一)选择题: 1. 下面命题正确的是( ) A.向量的方向角在[0, ? ]之间 B.向量在 x 轴的正投影的数量总是正数 C.0≤≤ < a, b > ≤ ? ,( a, b 是两个非零向量) D.两个向量的内积仍是向量
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2. 若 a ? b =0,则( ) A. a ? 0 B. b ? 0 C. a ? 0 或 b ? 0 D. a ? b 3. 四边形 ABCD 中, AB ? BC ? 0 , AB ? DC ,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 (二)填空题: 4. 已知 ∣∣ a =6, b 在 a 方向上的正投影数量为-8,则 a ? b = 5. 若 a ? (3, 4) , b ? (1, ?7) ,则 a ? b = , < a, b > =

)

. .

6. 已知 . ∣∣ a =50, a 的方向与轴 的正方向转角为 135 ,则 a 在 上的正射影的数量是 (三)解答题: 7. 在直角坐标系 xOy 中,已知 OA 的方向角为 0 , OB 的方向角为 120 , OC 的方向角为 240 ,且它 们的长度都等于 5. (1)求 OA , OB , OC 的坐标; (2)求证: OA + OB + OC = 0 . 8. 已知点 A(2 , 1),B(3 , 5),C(-2 ,2),求证△ ABC 为等腰直角三角形.

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