当前位置:首页 >> 数学 >>

重庆一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,若复数 A.﹣i B. i
x

=a+bi(a,b∈R) ,则 a+b=() C . ﹣1 D.1

2. (5 分)命题“若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m>1”的否命题是() x A.若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上不是减函数,则 m≤1 x B. 若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m≤1 x C. 若 m>1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数 x D.若 m≤1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上不是减函数 3. (5 分)以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为()

A.5,2

B.5,5

C.8,5

D.8,8

4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A.f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

﹣x

5. (5 分)阅读程序框图,为使输出的数据为 31,则判断框中应填入的条件为()

A.i≤4
0.5

B.i≤5

C.i≤6

D.i≤7

6. (5 分)设 x=3 ,y=log32,z=cos2,则()

A.z<y<x

B.z<x<y

C.y<z<x

D.x<z<y

7. (5 分)若函数 f(x)=asinωx﹣cosωx 的相邻两个零点的距离为 π,且它的一条对称轴为 x= π,则 f(﹣ A.﹣2 )等于() B. ﹣ C. D.2

8. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积为()

A.30

B.24
3

C.10

D.6

9. (5 分)已知函数 f(x)=asinx+bx +cx+1(a,b,c∈R) ,f(lg(lg3) )=3,则 f(lg(log310) ) =() A.3 B . ﹣1 C . ﹣3 D.2014

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,且方程 f(x)=mx+1 在区间[﹣2π,π]

内有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围为() A.[﹣4,2] B.(﹣4,3) C.(﹣4,2)∪{4} D.[2,4]

二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)已知集合 A={x|y= },B={y|y=x },则 A∩B=.
2

12. (5 分)设 , 为非零向量,若| + |=| ﹣ |,则 与 夹角为.

13. (5 分)在不等式组

所表示的平面区域内随机地取一点 P,则点 P 恰好落在

第二象限的概率为.
2

14. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣ ,若抛物线 C:y =2px(p>0)上的 点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2,则抛物线 C 的方程为. 15. (5 分)给出定义:设 f'(x)是函数 y=f(x)的导数,f''(x)是函数 f'(x)的导数,若 方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.重庆武中高 2015 3 2 级某学霸经探究发现:任何一个一元三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该 “拐点”也为该函数的对称中心.若 f(x)=x ﹣ =.
3

x+1,则

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此, 本市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人进行调查,将他们的候车时间作为 样本分成 5 组,如下表所示(单位:min) : 组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (Ⅰ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅱ)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查 ①用列举法列出上述所有可能情况; ②求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若向量 ,且 . ,

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,求△ ABC 的面积的最大值. 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一 个最高点和最低点之间的距离为 .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 sinα+f(α)= 的值.

19. (12 分)已知函数 f(x)=x+alnx(a∈R) . (I)若 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a≤0,函数 f(x)没有零点,求 a 的取值范围. 20. (12 分) 如图, 正方形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直, AE⊥AB, 设 M,N 分别是 DE,AB 的中点,已知 AB=2,AE=1 (Ⅰ)求证:MN∥平面 BEC; (Ⅱ)求点 E 到平面 BMC 的距离.

21. (15 分) 中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

, 且经过点 Q (1,

) . 若

分别过椭圆的左右焦点 F1,F2 的动直线 l1、l2 相交于 P 点,与椭圆分别交于 A、B 与 C、D 不 同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1、k2、k3、k4 满足 k1+k2=k3+k4. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在定点 M、N,使得|PM|+|PN|为定值.若存在,求出 M、N 点坐标;若不存在, 说明理由.

重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. ) 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,若复数 A.﹣i B. i =a+bi(a,b∈R) ,则 a+b=() C . ﹣1 D.1

考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则和复数相等即可得出. 解答: 解:∵a+bi= = = =i,

∴a=0,b=1. ∴a+b=1. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则和复数相等,属于基础题. 2. (5 分)命题“若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m>1”的否命题是() x A.若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上不是减函数,则 m≤1 x B. 若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m≤1 x C. 若 m>1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数 x D.若 m≤1,则函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上不是减函数 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接写出命题的否命题,即可得到选项. 解答: 解:否定命题的条件作条件,否定命题的结论作结论,即可得到命题的否命题. x x 命题“若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上是减函数,则 m>1”的否命题是:若函数 f(x)=e ﹣mx 在[0,+∞)上不是减函数,则 m≤1. 故选:A. 点评: 本题考查命题的否命题的判断与应用,基本知识的考查. 3. (5 分)以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为()
x

A.5,2

B.5,5

C.8,5

D.8,8

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计.

分析: 由甲组数据的中位数求出 y 的值,乙组数据的平均数求出 x 的值. 解答: 解:∵甲组数据的中位数为 15, ∴10+y=15,∴y=5; 又∵乙组数据的平均数为 16.8, ∴9+15+(10+x)+18+24=16.8×5, ∴x=8; ∴x,y 的值分别为 8,5; 故选:C. 点评: 本题考查了应用茎叶图求中位数与平均值的问题,是基础题 4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A.f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

﹣x

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出. 解答: 解:只有函数 f(x)= =2
﹣x

,f(x)=x +1 是偶函数,而函数 f(x)=x 是奇函数,f(x)

2

3

不具有奇偶性. ,f(x)=x +1 中,只有函数 f(x)=
2

而函数 f(x)=

在区间(﹣∞,0)上单调递增的.

综上可知:只有 A 正确. 故选:A. 点评: 本题考查了函数函数的奇偶性和单调性,属于基础题. 5. (5 分)阅读程序框图,为使输出的数据为 31,则判断框中应填入的条件为()

A.i≤4

B.i≤5

C.i≤6

D.i≤7

考点: 程序框图. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用 是利用循环求 S 的值,我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况,不难给出答 案. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: S i 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否 所以当 i≤4 时.输出的数据为 31, 故选 A. 点评: 本题主要考查了循环结构,解题的关键是弄清各变量之间的关系,同时考查了分析 问题的能力,属于基础题. 6. (5 分)设 x=3 ,y=log32,z=cos2,则() A.z<y<x B.z<x<y C.y<z<x
0.5

D.x<z<y

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解. 0.5 解答: 解:∵x=3 = >1, 0=log31<y=log32<log33=1, z=cos2<0, ∴z<y<x. 故选:A. 点评: 本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要注意指数函数、对数函数、三 角函数的性质的合理运用. 7. (5 分)若函数 f(x)=asinωx﹣cosωx 的相邻两个零点的距离为 π,且它的一条对称轴为 x= π,则 f(﹣ A.﹣2 )等于() B. ﹣ C. D.2

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 f(x)=asinωx﹣cosωx 的相邻两个零点的距离为 π,求得 ω=1.再根据函 数的一条对称轴为 x= π,可得 asin 的解析式,从而求得 f(﹣ )的值 =π,求得 ﹣cos =± ,平方求得 a= ,可得函数 f(x)

解答: 解:∵函数 f(x)=asinωx﹣cosωx 的相邻两个零点的距离为 π,∴ ? ω=1.

再根据函数的一条对称轴为 x= π,可得 asin 平方可得 则 f(x)= f(﹣ =0,求得 a= sinx﹣cosx=2( ﹣ .

﹣cos





sinx﹣ cosx)=2sin(x﹣ )=﹣2sin

) ,

)=2sin(﹣

)=2sin(﹣

=﹣2,

故选:A. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,三角函数的图象和性质,属于中档题. 8. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积为()

A.30

B.24

C.10

D.6

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱载去一个同底不 等高的三棱锥所得,求出棱柱及棱锥的底面面积和高,代入棱柱和锥体体积公式,相减可得答 案. 解答: 解:由三视图知该几何体是高为 5 的三棱柱截去同底且高为 3 的三棱锥所得几何体, 棱柱的体积等于 所截棱锥的体积为: =30, =6,

故组合体的体积 V=30﹣6=24, 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中分析出几何体的形状是解答的关键.

9. (5 分)已知函数 f(x)=asinx+bx +cx+1(a,b,c∈R) ,f(lg(lg3) )=3,则 f(lg(log310) ) =() A.3 B . ﹣1 C . ﹣3 D.2014 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数性质和函数性质求解. 解答: 解:∵f(x)=asinx+bx +cx+1(a,b,c∈R) ,f(lg(lg3) )=3, 3 ∴asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )+1=3, 3 ∴asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )=2, 3 ∴f(lg(log310) )=f[﹣( (lg(lg3) )]=﹣[asin(lg(lg3) )+b(lg(lg3) ) +c(lg(lg3) )]+1 =﹣2+1=﹣1. 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用.
3

3

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,且方程 f(x)=mx+1 在区间[﹣2π,π]

内有两个不等的实根,则实数 m 的取值范围为() A.[﹣4,2] B.(﹣4,3) C.(﹣4,2)∪{4} D.[2,4] 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作出函数 f(x)的图象,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:直线 y=mx+1 过定点(0,1) , 作出函数 f(x)的图象如图: 由图象可知, 当直线 y=mx+1y 与 f(x)=x +2 在第一象限相切时,满足方程 f(x)=mx+1 在区间[﹣2π,π] 内有三个不等的实根, 2 2 2 此时 x +2=mx+1,即 x ﹣mx+1=0,则判别式△ =m ﹣4=0,解得 m=2 或 m=﹣2(舍去) . 当直线 y=mx+1 在 x=0 时与 f(x)=4xcosx+1 相切时,有两个不等的实根, 此时 f′(x)=4cosx﹣4sinx,m=f′(0)=4,此时满足条件. 当 m<0,由 4xcosx+1=mx+1, 即 m=4cosx,当此时方程 m=4cosx 在[﹣2π,0)只有一个解时,即 m=﹣4,此时方程 f(x) =mx+1 在区间[﹣2π,π]内有 1 个实根, 此时不满足条件. 综上满足条件的 m 的取值范围为﹣4<m<2 或 m=4, 故选:C
2

点评: 本题主要考查方程根的个数的判断和应用,利用分段函数的表达式,利用数形结合 是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 二、填空题: (每小题 5 分,共计 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) 11. (5 分)已知集合 A={x|y= },B={y|y=x },则 A∩B=(0,+∞) .
2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 利用交集定义求解. 解答: 解:∵集合 A={x|y= }={x|x≠0}, B={y|y=x }={y|y≥0}, ∴A∩B={x|x>0}=(0,+∞) . 故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题.
2

12. (5 分)设 , 为非零向量,若| + |=| ﹣ |,则 与 夹角为



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: 由 , 为非零向量,且| + |=| ﹣ |,知| + | =| ﹣ | ,由此得到 得到 与 夹角为 .
2 2

,从而

解答: 解:∵ , 为非零向量,且| + |=| ﹣ |, ∴| + | =| ﹣ | , ∴ 即 , . = ,
2 2

∴ 与 夹角为 故答案为: .

点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,解题时要认真审题,注意两个向量互相垂直的 条件的灵活运用.

13. (5 分)在不等式组

所表示的平面区域内随机地取一点 P,则点 P 恰好落在

第二象限的概率为 .

考点: 几何概型;简单线性规划. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先根据不等式组画出平面区域,然后求出区域的面积,以及点 P 恰好落在第二象限 区域内的面积,最后利用几何概型的概率公式解之即可.

解答: 解:不等式组

所表示的平面区域为一直角三角形,其面积为

= , 点 P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形,其面积为 = ,

∴点 P 恰好落在第二象限的概率为 = .

故答案为: .

点评: 本题主要考查了二元一次不等式(组)与平面区域,以及几何概型的概率,同时考 查了画图能力,属于中档题.
2

14. (5 分)已知直线 l1:4x﹣3y+6=0 和直线 l2:x=﹣ ,若抛物线 C:y =2px(p>0)上的 点到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2,则抛物线 C 的方程为 y =4x. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出抛物线上一点 P 的坐标,然后利用点到直线的距离公式分别求出 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离 d1 和 d2,求出 d1+d2,利用二次函数求最值的方法,求出距离之和的最小值, 即可得出结论. 解答: 解: 设抛物线上的一点 P 的坐标为 ( a, 2a) , 则 P 到直线 l2: x=﹣ 的距离 d2= a + ;
2 2 2

P 到直线 l1:4x﹣3y+6=0 的距离 d1=



则 d1+d2=

+ a+ =

2

a ﹣ a+ + ,

2

当 a= 时,P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2, ∴p=2, 2 ∴抛物线 C 的方程为 y =4x 2 故答案为:y =4x. 点评: 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题,灵活运用点到直线的距离 公式化简求值,是一道中档题. 15. (5 分)给出定义:设 f'(x)是函数 y=f(x)的导数,f''(x)是函数 f'(x)的导数,若 方程 f''(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的“拐点”.重庆武中高 2015 3 2 级某学霸经探究发现:任何一个一元三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)都有“拐点”,且该

“拐点”也为该函数的对称中心.若 f(x)=x ﹣ =2014.

3

x+1,则

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于 0 求出 x 的 值,可得 f(1﹣x)+f(x)=2,从而得到则 解答: 解:由 f(x)=x ﹣ ∴f′(x)=3x ﹣3x﹣ , ∴f (x)=6x﹣3,由 f (x)=6x﹣3=0,得 x= , ∴f( )=1, ∴f(x)的对称中心为( ,1) , ∴f(1﹣x)+f(x)=2, ∴f( )+f( )=f( )+f( )=…=f( )+f( )=2
′′ ′′ 2 3

的值.

x+1,得,



=2014

故答案为:2014 点评: 本题是新定义题,考查了函数导函数的零点的求法,考查了函数的性质,解答的关 键是寻找函数值所满足的规律,是中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此, 本市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人进行调查,将他们的候车时间作为 样本分成 5 组,如下表所示(单位:min) : 组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (Ⅰ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅱ)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查 ①用列举法列出上述所有可能情况; ②求抽到的两人恰好来自不同组的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ) 候车时间少于 10 分钟的人数所占的比例为 , 用 60 乘以此比例, 即得所求.

(Ⅱ) 从这 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查, ①用列举法列出上述所有可能情况共有 15 种, ②用列举法 求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计 8 种,由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概 率. 解答: 解: (Ⅰ)候车时间少于 10 分钟的人数所占的比例为 故这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 60× =32. = ,

(Ⅱ)设表中第三组的 4 个人分别为 a1、a2、a3、a4、第四组的 2 个人分别为 b1、b2, 从这 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查, ①用列举法列出上述所有可能情况: (a1,a2 ) 、 ( a1,a3 ) 、 ( a1,a4 ) 、 (a1,b1) 、 ( a1,b2) 、 (a2,a3) 、 (a2,a4) 、 (a2,b1) 、 (a2,b2) 、 (a3,a4) 、 (a3,b1) 、 (a3,b2) 、 (a4,b1) 、 (a4,b2) 、 (b1,b2) ,共计 15 种. ②抽到的两人恰好来自不同组的情况有 (a1,b1) 、 ( a1,b2) 、 (a2,b1) 、 (a2,b2) 、 (a3,b1) 、 (a3,b2) 、 (a4,b1) 、 (a4,b2) ,共计 8 种, 故抽到的两人恰好来自不同组的概率为 .

点评: 本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,应用 列举法来解题是这一 部分的最主要思想,属于基础题. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若向量 ,且 .



(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a= ,求△ ABC 的面积的最大值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由两向量的坐标及两向量数量积为 0,列出关系式,再利用余弦定理表示出 cosA,将得出关系式代入求出 cosA 的值,即可确定出角 A 的大小; (Ⅱ) 利用余弦定理列出关系式, 把 cosA 与 a 的值代入, 并利用基本不等式求出 bc 的最大值, 即可确定出三角形 ABC 面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)∵ =(b+c,a +bc) , =(b+c,﹣1) ,且 ? =0, ∴(b+c) ﹣a ﹣bc=0,即 b +c ﹣a =﹣bc, ∴cosA= = =﹣ ,
2 2 2 2 2 2

又 A∈(0,π) ,∴A= (Ⅱ)∵cosA=﹣ ,a=
2 2

; ,
2 2 2

∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c =3﹣bc, 2 2 又 b +c ≥2bc(当且仅当 b=c 时取等号) , ∴3﹣bc≥2bc,即 bc≤1. ∴S△ ABC= bcsinA≤ , .

则△ ABC 的面积的最大值为

点评: 此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,三角形面积公式,以及基本不等式 的运用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一 个最高点和最低点之间的距离为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 sinα+f(α)= 的值. .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: (1)函数 f(x)=sin(ωx+?) (ω>0,0≤?≤π)为偶函数,其图象上相邻的一个最 高点和最低点之间的距离,确定函数的周期,求出 ω,确定 ? 的值,求出 f(x)的解析式; (2)把上一问求出的结果代入函数的解析式,得到角的正弦与余弦的和,用诱导公式和二倍 角公式把所给的式子进行整理,根据同角的三角函数之间的关系得到结果. 解答: 解: (1)∵f(x)为偶函数,∴sin(﹣ωx+φ)=sin(ωx+φ) , 2sinωxcosφ=0 恒成立 ∴cosφ=0 又 0≤φ≤ ∴φ= , .其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 =π, ,

设其最小正周期为 T,则 ∴T=2π,∴ω=1, ∴f(x)=cosx (2)∵原式=

=2sinαcosα,又 sinα+cosα= ,

∴1+2sinαcosα= ,

∴2sinαcosα=﹣ , ∴原式=﹣ 点评: 本题是中档题,考查函数解析式的求法,诱导公式和二倍角的应用,考查计算能力, 根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x+alnx(a∈R) . (I)若 a=﹣1 时,求曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)若 a≤0,函数 f(x)没有零点,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单 调性. 专题: 计算题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (I)求出 a=﹣1 时,函数 f(x)和导数,求得切点和切线的斜率,即可得到切线方 程; (II)讨论当 a=0 时,当 a<0 时,求出函数的单调区间和极值,判断也是最值,且与 0 的关 系,即可判断零点的情况. 解答: 解: (I)若 a=﹣1 时,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ , 则切点为(1,1) ,切线的斜率为 f′(1)=0, 故切线方程为 y=1. (II)当 a=0 时,f(x)=x 在定义域(0,+∞)上没有零点,满足题意; 当 a<0 时,函数 f(x)与 f′(x)=1 在定义域上的情况如下表:

x (0,﹣a) ﹣a (﹣a,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 则 f(﹣a)是函数 f(x)的极小值,也是函数 f(x)的最小值, 所以,当 f(﹣a)=a(ln(﹣a)﹣1)>0,即 a>﹣e 时,函数 f(x)没有零点. 综上所述,当﹣e<a≤0 时,f(x)没有零点. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,求极值,同时考查函数的零点问 题与函数最小值的关系,属于中档题. 20. (12 分) 如图, 正方形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直, AE⊥AB, 设 M,N 分别是 DE,AB 的中点,已知 AB=2,AE=1 (Ⅰ)求证:MN∥平面 BEC; (Ⅱ)求点 E 到平面 BMC 的距离.

考点: 直线与平面平行的判定;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;作图题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)取 EC 中点 F,连接 MF,BF.由线线平行证明线面平行, (Ⅱ)将体积等价 转化,求出体积,再求出底面面积,从而求高,得距离. 解答: 解: (Ⅰ)证明:取 EC 中点 F,连接 MF,BF. ∵MF 为△ CDE 的中位线, ∴ 又∵ ; ,

∴NB∥MF,NB=MF ∴四边形 NBFM 为平行四边形, ∴MN∥BF,又∵BF?平面 BEC,MN?平面 BEC, ∴MN∥平面 BEC; (Ⅱ)∵MN∥平面 BEC, ∴ ∵AB⊥AD,AB⊥AE, ∴AB⊥平面 EAD, ∴AB⊥AM, 则 ∵CD∥AB, ∴CD⊥平面 EAD,故 CD⊥DM, 则 在△ BMC 中,





∴ 即 解得, , ,

(其中 h 表示点 E 到平面 BMC 的距离) ,

即点 E 到平面 BMC 的距离为



点评: 本题综合考查了空间中线面的位置关系及距离问题,属于中档题.

21. (15 分) 中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

, 且经过点 Q (1,

) . 若

分别过椭圆的左右焦点 F1,F2 的动直线 l1、l2 相交于 P 点,与椭圆分别交于 A、B 与 C、D 不 同四点,直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 k1、k2、k3、k4 满足 k1+k2=k3+k4. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在定点 M、N,使得|PM|+|PN|为定值.若存在,求出 M、N 点坐标;若不存在, 说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)设椭圆方程为

,则由题意

解得即可;

(2)当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) .当直线 l1、l2 斜率存在 时,设斜率分别为 m1,m2.可得 l1 的方程为 y=m1(x+1) ,l2 的方程为 y=m2(x﹣1) .设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,与椭圆方程联立即可得出根与系数的关 系,再利用斜率计算公式和已知即可得出 m1 与 m2 的关系,进而得出答案. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 ,

则由题意

解得

∴椭圆方程为



(2)当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) . 当直线 l1、l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2. ∴l1 的方程为 y=m1(x+1) ,l2 的方程为 y=m2(x﹣1) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 联立 ,得到 ,







同理



. (*)

∵ 又满足 k1+k2=k3+k4. ∴

=









=2m2﹣



把(*)代入上式化为: 化为 m1m2=﹣2. 设点 P(x,y) ,则 , (x≠±1)



. (m1≠m2) .

化为



由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0)也满足, ∴点 P 在椭圆上,则存在点 M、N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) ,使得|PM|+|PN|= 为 定值. 点评: 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得出根与系数的关系、斜率计算公式等是解题的关键.


赞助商链接
相关文章:
重庆一中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)
重庆一中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。重庆一中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)一、选择题: (每小题 5 分...
重庆市重庆一中2015届高三上学期第一次月考数学文试题...
重庆市重庆一中2015届高三上学期第一次月考数学文试题含解析_数学_高中教育_教育专区。重庆一中 2015 届高三上学期第一次月考 数学试题(文科)2014.9 【试卷综...
重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)
重庆一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},集合 B={...
重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷(文科)
重庆一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(文科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 1. (5 分)设集合 A={﹣3,﹣2,﹣1,0,1},集合 B={...
重庆一中2015 届高三上学期第一次月考 数学(文)
HLLYBQ 整理 供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ” 秘密★启用前 2014 年重庆一中2015高三上期第一次月考 数学试题(文科)2014.9 一、选择题:...
重庆十八中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
重庆十八中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。重庆十八中 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)一.选择题(每题 5 分...
重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)
重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。重庆一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)一、选择题(每题 5 分,共 10 题) 1. ...
重庆市重庆一中2015届高三下学期第一次月考 数学文 Wor...
2015 年重庆一中高 2015 级高三下期第一次月考 数学试题卷 (文科) 2015.3 数学试题(文史类)共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题:本大题...
湖北省八校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文...
湖北省八校联考 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷 (文科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 ...
重庆一中2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)
重庆一中 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理科)一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)设集合 U={1,2,3,4,5,6},...
更多相关标签: