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2013学年杭二中第一学期高三年级第二次月考数学理科


杭州二中 2013 学年第一学期高三年级期中考试数学试卷
注意事项:考试时间:120 分钟;满分:150 分。本场考试不得使用计算器,请考生用水笔或钢笔将所 有试题的答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。 一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

b 1. 设 a、 为向量,则“ a ? b ? a b ”是“ a // b

”的(
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

? ?

? ?

) D.既不充分也不必要条件 )

1 2.在△ABC 中, a =3 2, b =2 3, cosC = ,则△ ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3 )

3. 已知函数 f ( x) ? log 1 x ?1 ,则下列结论正确的是(
2

A. f (? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f (? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f (? ) )

1 2

? 2 个单位,得到函数 y ? 1? 2 sin x 的图象,则 f (x) 是( 4 A. 2cos x B. 2 sin x C. sin x D. cos x 4 ? 5.若 sin(? ? ? )sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? ,且 ? 为第二象限角,则 tan( ? ? ) ? ( ) 5 4 1 1 A. 7 B. C. ?7 D. ? 7 7
4.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移 6.若数列 ?an ?, ?bn ? 的通项公式分别是 an ? ( ?1) 立,则实数 a 的取值范围是( A. ? -1, ? )
n ? 2012

1 2

1 2

a, bn ? 2 ?

( ?1)n ?2013 , 且 an ? bn 对任意 n ? N ? 恒成 n
? ?

? ?

1? 2?

B. ? -2, ?

? ?

1? 2?

C. ? -2, ?

? ?

3? 2?

D. ? -1, ? ) D.112 )

3? 2?

7.设函数 f(x)=x2-23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)=( A.0 B.38 C. 56
3

8.设函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? a ? 0 ? a ? 2 ? 有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 D. x3 ? 2

9.已知 f ( x ) ? loga ( x ? 1), g ( x ) ? 2loga (2 x ? t )(a ? 1) ,若 x ? [0,1), t ? [4,6) 时,

F x) ? g ( x) ? f ( x) 有最小值 4 ,则 a 的最小值为( (
A.1 B. 2 C.1 或 2


D. 2 或 4

1

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? 1 x 10.已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x ) ? ? ,则( f ( )( x ? 2) ? ? 2 2
A.在 [1,6) 上,方程 f ( x ) ? B.关于 x 的方程 f ( x ) ? C.当 x ? [2
n ?1

)

1 x ? 0 有 5 个零点 6

1 ? 0 ( n ? N ? )有 2n ? 4 个不同的零点 2n

,2n ] ( n ? N ? )时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的面积为 4

D.对于实数 x ? [1, ??) ,不等式 xf ( x) ? 6 恒成立

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

4 . ? ? ) ? , 则 cos2? 的值是 2 5 ? ? ? ? ? ? 0 12.平面向量 a与b 的夹角为 60 , a ? (2,0), a ? 2b ? 2 3, 则 b ?
11.已知 cos( 13.函数 f ( x ) ? sin? x ? 值为 .
2 2

?

.

3 cos? x (x ? R ),又 f ( ) ? ? 2, f ( )? 0,且 ? -? 的最小值等于 , ? ? 则正数 ? 的 2

?

14.已知正实数 a、b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? 15.记数列 ?a n ? 的前 n 和为 s n , ? 若

1 的最小值为 ab

.

? sn ? 则 ? 是公差为 d 的等差数列, ?a n ? 为等差数列时, d 的值为 ? an ?

.

? ? 16.设实数 x1 、 x 2 、 ? 、 xn 中的最大值为 max ? x1,x2, ,xn ? ,最小值 min ? x1,x2, ,xn ? ,设

?ABC 的三边长分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ,设 ?ABC 的倾斜度为
?a b c ? ?a b c ? . t ? max ? ,, ? ? min ? ,, ? ,设 a ? 2 ,则 t 的取值范围是 ?b c a ? ?b c a ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? 17.已知向量 ?、、 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? , ? 的最
大值和最小值分别是 m、n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是 三.解答题(本大题有 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x x ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 B= y y ? x ? 2 x ? a ,集合 C= x x ? ax ? 4 ? 0 .命题
2 2 2

??

.

?

?

?

?

?

?

p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C (Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
19. (本题满分 14 分) 在数列 ?a n ? 中,点 P(ai , ai ?1 )(i ? 1, 2,?, n ) 在直线 y ? 2 x ? k 上,数列 ?bn ? 满足条件:
2

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? bn log 2

b1 ? 2, bn ? an ?1 ? an (n ? N ? ).

1 , sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 求 2n ?1 ? sn ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最小值. bn

20.(本题满分 14 分)

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2 ? 5? (Ⅰ)当 x ? [? , ] 时,求函数 f (x) 的最小值和最大值 12 12 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2 sin A ,求 a, b 的值.
已知函数 f ( x) ? 21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(Ⅰ)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S 2013 ; n
a

(Ⅲ)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2 n ? (an ) m ? 1 对 ?n ? N* ,且 n ? 2 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ? 若y?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数”; x

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 x2
[来源:Z_xx_k.Com]

集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 .
3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d ? (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b

c
t

a?b?c
来源:学+科+网]

[

d

4

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ?2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的 最小值;若不存在,说明理由.
3

?

?


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