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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业20


第4讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简 单应用

基础巩固

1.将函数 y=sin 2x + 4 的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平 移4个单位长度,所得到的图象解析式是(




)

A.y=sin x C.y=sin 4x 答案:A 解析:y=sin 2x + 4
4

B.y=cos x D.y=cos 4x

y=sin x + 4



y=sin x- 4 +



=sin x.

2.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) |φ| < 2 的图象(部分)如图所示,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=sin
1 2



)

x+6



B.f(x)=sin 2x + 3 C.f(x)=sin
1 2



x+3



D.f(x)=sin 2x + 6 答案:A



解析:∵ 由4=π,得 T=4π,∴ ω=2.又函数图象过点 - 3 ,0 ,可得 φ=6. 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) 其中 ω > 0,|φ| < 2 的最小正周期是 π,且 f(0)= 3,则(


T

1





) 1

A.ω=2,φ=6 B.ω=2,φ=3
1

1





C.ω=2,φ=6



D.ω=2,φ=3 答案:D



解析:∵ 函数 f(x)的最小正周期为 π, ∴ T= ω =π.∴ ω=2. ∵ f(0)=2sin φ= 3, 即 sin φ= 2 .∵ |φ|<2, ∴ φ=3.故选 D. 4.设 ω>0,函数 y=sin ωx + 3 +2 的图象向右平移 3 个单位长度后与原图象重合,则 ω 的 最小值是( A.3 C.2 答案:C 5.将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移6个单位长度后得到图象 F',若 F'的一个对称中心 为
4 3 2 4 3 2

) B.3 D.3
4

,0 ,则 φ 的一个可能取值是( B.6


) C. 6
5

A.12 答案:D

D.12

7

解析:图象 F'对应的函数为 y=sin x + 6 + φ , 则4 + 6+φ=kπ,k∈ Z,




2

即 φ=kπ-12,k∈ Z, 令 k=1 时,φ=12,故选 D. 6.将函数 f(x)=sin(2x+θ) - 2 < < 2 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x) 的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P 0, A. 3
5 3 2 7

5

,则 φ 的值可以是( D.6


)

B. 6

5

C.2



答案:B 解析:∵ f(x)的图象经过点 0, ∴ sin θ= 2 . 又∵ θ∈ - 2 , 2 ,∴ θ= 3 . ∴ f(x)=sin 2x + 3 . 由题知 g(x)=f(x-φ)=sin 2(x-φ) + 3 , 又图象经过点 0,
3 2 3 3 2

,

,
3 2

∴ g(0)=sin -2φ + 3 =
5 3

.

当 φ= 6 时满足 g(0)= 2 ,故选 B.

7.(2013·山东潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立了如图所示的坐标系, 设秒针针尖的位置为 P(x,y).若初始位置为 P0 走时,点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为( A.y=sin t+6 30
3 1 2

, 2 ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始 )

B.y=sin - 60 t- 6





3

C.y=sin - 30 t + 6 D.y=sin - 30 t- 3 答案:C









解析:由于秒针是顺时针旋转,故角速度 ω<0. 又由每 60 秒转一周,故 ω=-60=-30(弧度/秒), 由 P0
3 1 2 2

, 2 ,得 cos φ= 2 ,sin φ=2.

3

1

故 φ=6,故选 C. 8.已知函数 f(x)=2sin(2x+φ) |φ| < 2 图象的一部分如图所示,则 φ=


.

答案:3



解析:由题可知 f - 6 =0,即 2sin - 3 + φ =0. 所以 φ-3=2kπ(k∈ Z). 因为|φ|<2,所以 φ=3. 9.给出下列六种图象变换方法: (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的2; (2)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍; (3)图象向右平移 个单位长度;
3 1





(4)图象向左平移3个单位长度; (5)图象向右平移 3 个单位长度; (6)图象向左平移 3 个单位长度.
2 2



4

请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin 这两种变换正确的标号是 即可). 答案:(4)(2)或(2)(6) 解析:y=sin x
2 3

+ 3 的图象,那么 2





(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号

y=sin x + 3




y=sin

2

+ 3 ,或 y=sin x



y=sin2x

1

y=sin

1 2

x+

=sin

+3 . 2




10.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2,直线 x=3是其图 象的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ<2,求函数的解析式. 解:由题意可得


A + n = 4, 2 A = 2, 解得 又因为函数的最小正周期为2,所以 ω= =4.由直 n = 2. -A + n = 0, 2


线 x=3是一条对称轴可得 4×3+φ=kπ+2(k∈ Z), 故 φ=kπ- 6 (k∈ Z).又 0<φ<2,所以 φ=6. 综上可得 y=2sin 4x + 6 +2. 11.设函数 f(x)=sin x+sin x + 3 . (1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变化得到. 解:(1)因为 f(x)=sin x+2sin x+ 2 cos x =2sin x+ 2 cos x= 3sin x + 6 . 所以当 x+6=2kπ-2(k∈ Z), 即 x=2kπ- 3 (k∈ Z)时,f(x)取最小值- 3. 此时 x 的取值集合为 x x = 2k2π 3 2 3 3 1 3 5

,k∈ .

5

(2)先将 y=sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变),得 y= 3sin x 的图象;再将 y= 3sin x 的图象上所有的点向左平移6个单位,得 y=f(x)的图象.
拓展延伸


12.已知函数 f(x)=2sin 2xsin φ+cos2xcos φ-2sin (0<φ<π),其图象过点 (1)求 φ 的值;
1 6 2

1

1

2



,

.

(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的 图象,求函数 g(x)在 0, 4 上的最大值和最小值. 解:(1)因为 f(x)=2sin 2xsin φ+cos2xcos φ-2sin 所以 f(x)=2sin 2xsin φ+
1 1 1 1+2x 2 1 1 1 2

1

+ φ (0<φ<π),

cos φ-2cos φ

=2sin 2xsin φ+2cos 2xcos φ =2(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ) =2cos(2x-φ). 又函数图象过点
1 1 1 6 2 1 1

,

,

3

所以2 = 2cos 2 × 6 -φ ,即 cos 又 0<φ<π,所以 φ=3.


-φ =1.

(2)由(1)知 f(x)=2cos 2x- 3 ,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2,纵 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,可知 g(x)=f(2x)=2cos 4x- 3 , 因为 x∈ 0, 4 , 6
1

1



1

所以 4x∈ [0,π]. 因此 4x-3 ∈ - 3 ,
1 2 3

,

故-2≤cos 4x- 3 ≤1. 所以 y=g(x)在 0, 4 上的最大值和最小值分别为2和-4.
1 1

7


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