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用向量方法解立体几何题


用向量方法求空间角和距离
前言:
在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的 “三步曲” 解法: “作图、 证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体 几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1.求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角

; (平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 ? ? 设 a 、 b 分别为异面直线 a、b 的方向向量,
? ? a? b 则两异面直线所成的角 ? = arccos | ? ? | | a || b |

(2)求线面角 ? ? 设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 ? 的法向量,
?? l ?n 则斜线 l 与平面 ? 所成的角 ? = arcsin | ? ? | | l || n |

(3)求二面角 方法一:在 ? 内 面角 ? ? l ? ? 的
? ? a ? l ,在 ? 内 b ? l ,其方向如图,则二
? ? a ?b 平面角 ? = arccos ? ? | a || b |

?? ?? ? 方法二: 设 n1 , n2 , 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量, 其方向

一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角
?? ?? ? n1 ?n2 ? ? = arccos ?? ?? | n1 || n2 |
1

2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 ? 方法一:设 n 是平面 ? 的法向量,在 ? 内取一点 B, 则 A 到
??? ? ? ??? ? | AB?n | ? 的距离 d ?| AB || cos? |? ? |n|

方 法 二 : 设 AO ? ? 于 O, 利 用 AO ? ? 和 点 O 在 ? 内 ???? 的向量表示,可确定点 O 的位置,从而求出 | AO | . (2)求异面直线的距离 方法一:找平面 ? 使 b ? ? 且 a ? ? ,则异面直线 a、b 的距离就 转化为直线 a 到平面 ? 的距离, 又转化为点 A 到平面 ? 的距离. 方法二:在 a 上取一点 A, 在 b 上 ? ? 取一点 B, 设 a 、 b 分别为异面直
? ? ? 线 a、 b 的方向向量,求 n (n ?a,
??? ? ? ??? ? | AB?n | ? d ?| AB || cos? |? (此方法 |n|

? ? n ?b) ,则异面直线 a、b 的距离

移植于点面距离的求法) .

例1.如图,在棱长为2的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E、F 分别是 棱 A1D1 , A1B1 的中点. (Ⅰ)求异面直线 DE与FC1 所成的角; (II)求 BC1 和面 EFBD 所成的角;

? cos ? ?| | 解: (Ⅰ) ???? ? ???? ? ???? ???? ? 记异面直线 DE与FC 所成的角为 ? , ( DD1 ? D1E )?( FB1 ? B1C1 ) ???? ???? ???? ???? ? 则 ? 等于向量 ?| | DE与FC? 的夹角或其补角, | DE |? | FC1 |
1
1

???? ????? DE ?FC1 ???? ????? | DE | ?| FC1 |

(III)求 B1 到面 EFBD 的距离

?|

2 22 |? ,? ? ? arccos 5 5 5 5

?2

(II)如图建立空间坐标系 D ? xyz ,
???? ??? ? 则 DE ? (1,0,2) , DB ? (2, 2,0)

? 设面 EFBD 的法向量为 n ? ( x, y,1)
? 得 n ? (?2,2,1)

???? ? ? ? DE ? n ? 0 由 ? ??? ? ? ? ? DB ? n ? 0

???? ? 又 BC1 ? (?2,0, 2)

记 BC1 和面 EFBD 所成的角为 ? 则
???? ? ? ???? ? ? BC1 ? n 2 ? ? |? sin ? ?| cos? BC1 , n? |?| ???? 2 | BC1 || n |

∴ BC1 和面 EFBD 所成的角为

? . 4

(III)点 B1 到面 EFBD 的距离d等于
???? 向量 BB1 在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值,
???? ?? ? | BB1 ?n | 2 ? d ? ??? ? 3 |n|

点评: 1.作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体, 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解. 2.解决(1)后,可让学生进一步求这两条异面直线的距离,并让学生体会一下:如果用传统方 法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线的作法不作要求) . 3.完成这3道小题后,总结:对于易建立空间直角坐标系的立几题,无论求角、距离还是证 明平行、垂直(是前者的特殊情况) ,都可用向量方法来解决,向量方法可以人人学会,它程 序化,不需技巧. 例 2.如图,三棱柱中,已知 A BCD 是边长为 1 的正方形,四边形

AA?B?B 是矩形, 平面AA?B?B ? 平面ABCD。
' (Ⅰ)若 AA? =1,求直线 AB 到面 DAC 的距离.

3

(II) 试问:当 AA? 的长度为多少时,二面角
D ? A?C ? A 的大小为 60 ? ?

解: (Ⅰ)如图建立空间坐标系 A ? xyz , 则
???? DA' ? (?1, 0, a)

???? DC ? (0,1,0)

?? ' 设面 DAC 的法向量为 n1 ? ( x, y,1) ?? 得 n1 ? (a,0,1)

???? ?? ' ? ? DA ? n1 ? 0 则 ? ???? ?? ? ? DC ? n1 ? 0

' ' 直线 AB 到面 DAC 的距离d就等于点A到面 DAC 的距离,

???? ' 也等于向量 AD 在面 DAC 的法向量上的投影的绝对值,
???? ?? | AD ?n1 | 2 ?? ?d ? ? 2 | n1 |

?? ? ' (II)易得面 AAC 的法向量 n2 ? (?1,1, 0)
?? ?? ? ?向量 n1 , n2 的夹角为 60?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ?a 1 ? ? ? 由 cos? n1 , n2 ? ? ?? ?? | n1 || n2 | a2 ? 1 ? 2 2



a ?1

? 当 AA? =1时,二面角 D ? A?C ? A 的大小为 60? .
点评:1.通过(Ⅰ) ,复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投 影的绝对值的解题思路与方法. 2.通过(II) ,复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法,也可借此机会说明为什么 这两个角相等或互补,就没有其他情况. 例 3.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均为2,P是侧棱
AA1 上任意一点.

(Ⅰ)求证: 直线 B1 P 不可能与平面 ACC1 A1 垂直; (II)当 BC1 ? B1P 时,求二面角 C ? B1P ? C1 的大小.
4

证明: (Ⅰ)如图建立空间坐标系 O ? xyz ,设 AP ? a 则 A, C, B1, P 的坐标分别为 (0, ?1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0, ?1, a)
???? ???? ? AC ? (0,2,0), B1P ? (? 3, ?1, a ? 2) ???? ???? AC ?B1P ? ?2 ? 0 ,? B1P 不垂直 AC

?直线 B1 P 不可能与平面 ACC1 A1 垂直.
???? ? ???? ? ???? (II) BC1 ? (? 3,1, 2) ,由 BC1 ? B1P ,得 BC1 ?B1P ? 0

即 2 ? 2(a ? 2) ? 0 又 BC1 ? B1C

?a ? 1

? BC1 ? 面CB1P

?

???? ? BC1 ? (? 3,1, 2) 是面 CB1P 的法向量

???? ? ? ? ? B1P ? n ? 0 设面 C1B1P 的法向量为 n ? (1, y, z ) ,由 ? ???? ? ? ? ? B1C1 ? n ? 0 ? 得 n ? (1, 3, ?2 3) ,设二面角 C ? B1P ? C1 的大小为 ?
???? ? ? BC1 ?n 6 ? ?? ?? 则 cos ? ? ????? 4 | BC1 | | n |

?二面角 C ? B1P ? C1 的大小为 arccos

6 . 4

点评:1.前面选择的两个题,可有现成的坐标轴,但本题x、z轴需要自己添加(也可不 这样建立) . 2.第(1)小题是证明题,同样可用向量方法解答,是特殊情况;本小题也可证明这条直 线与这个面的法向量不平行. 例 4 (安徽卷) 如图,在四棱锥 O ? ABCD中,底面 ABCD四边长 为 1 的菱形, ?ABC ?
OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

?
4

,

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。
5

解:作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,
(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , 0), D( ? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4
z O

???? ?

??? ? ???? 2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2
??? ? ????

OP ? 0, n? OD ? 0 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n?

M

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) 2 2 ?? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2

A x B N CP

D y

???? ? 2 2 ∵ MN ?n ? (1 ? , , ?1)? (0, 4, 2) ? 0 4 4

? MN‖ 平面OCD
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (?

??? ?

???? ?

2 2 , , ?1) 2 2

??? ? ???? ? AB?MD ? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ cos ? ? ??? ? ???? ? ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2
(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值,

??? ?

??? ? OB ? n 2 ??? ? 2 由 OB ? (1, 0, ?2) , 得 d ? ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 n 3
例 5(福建?理?18 题)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点。
(Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离; 解: (Ⅰ)取 BC 中点 O ,连结 AO .? △ABC 为正三角形,? AO ⊥ BC .

?在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 ,? AD ⊥平面 BCC1 B1 .
取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系, z

??? ?

???? ?

??? ?

2,3) , A(0, 2, 0) , 0,3) , B1 (1, 则 B(1 , 0, 0) , D(?11 , , 0) , A1 (0,
6

A

A1
F C D

O

C1

???? ???? ??? ? ? AB1 ? (1, 2, ? 3) , BD ? (?2, 2,3) . 1, 0) , BA1 ? (?1, ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ?BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ?BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 , ???? ??? ? ???? ???? ? AB1 ⊥ BD , AB1 ⊥ BA1 .? AB1 ⊥ 平面 A1 BD .
(Ⅱ)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x,y,z ) .

???? ???? 2, 0) . AD ? (?11 , , ? 3) , AA1 ? (0, ???? ???? ? n ⊥ AD , n ⊥ AA1 ,

???? ? ? ? x ? y ? 3 z ? 0, ? ? y ? 0, ?n?AD ? 0, ? ?? ?? ? ? ???? ? ? 2 y ? 0, ? x ? ? 3 z. ? ?n?AA1 ? 0, ?
0, 1) 为平面 A1 AD 的一个法向量. 令 z ? 1得 n ? (? 3,
由(Ⅰ)知 AB1 ⊥平面 A1 BD ,? AB1 为平面 A1 BD 的法向量.

????

???? ???? n?AB1 ? 3? 3 6 . cos ? n , AB1 ?? ?? ???? ? 4 2?2 2 n ? AB1

?二面角 A ? A1D ? B 的大小为 arccos
????

6 . 4
??? ? ????

0,, 0) AB1 ? (1, 2, ? 3) . (Ⅲ)由(Ⅱ) , AB1 为平面 A1 BD 法向量,? BC ? (?2,

??? ? ???? BC ?AB1 ?2 2 . ? ?点 C 到平面 A1 BD 的距离 d ? ???? ? 2 2 2 AB1
? ? ? ? b ?| a || b | cos? ) 总结:通过上面的例子,我们看到向量方法(更确切地讲,是用公式: a?

解决空间角和距离的作用,当然,以上所举例子,用传统方法去做,也是可行的,甚至有的 (例2)还较为简单,用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技 巧性和随机性.向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化,有效地突破了立体几何 教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工具.充分体现出新教材新思想、新方法 的优越性.这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容,数形结合, 在这里得到淋漓尽致地体现.

1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算 2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影,或向量法(直线上向量与
7

平面法向量夹角的余角),三余弦公式(最小角定理,cos? ? cos?1 cos?2 ),或先运用 等积法求点到直线的距离,后虚拟直角三角形求解.注:一斜线与平面上以斜足 为顶点的角的两边所成角相等 ? 斜线在平面上射影为角的平分线. 3. 计算二面角的大小主要有: 定义法 ( 先作其平面角后计算大小 ) 、公式法 ( cos ? ?
S影 )、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主 S原

要作法有:定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连,关键是第一垂(过 二面角一个面内一点,作另一个面的垂线))、垂面法. 4.计算空间距离的主要方法有:定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换(平行 换点、换面)等. 5.空间平行垂直关系的证明,主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行, 模式是: 线线关系 ? 线面关系 ? 面面关系,请重视线面平行关系、线面垂直关系(三 垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意:书写证明过程需规范. 特别声明:①证明计算过程中,若有“中点”等特殊点线,则常借助于“中 位线、重心”等知识转化. ②在证明计算过程中常将运用转化思想,将具体问题转化 (构造) 为特殊 几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题,并获得去解 决. ③如果根据已知条件,在几何体中有“三条直线两两垂直” ,那么往往以此 为基础,建立空间直角坐标系,并运用空间向量解决问题. 6.求几何体体积的常规方法是:公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转 换)法等.
练习: 1.在正四面体 S ? ABC 中,棱长为 a ,E,F分别为 SA 和 BC 的中点,求异面直线 BE 和 SF 2 所成的角. ( arccos ) 3 2. 在边长为1的菱形 ABCD 中,?ABC ? 60? , 将菱形沿对角线 AC 折起, 使
1 求二面角 B ? AC ? D 的余弦值. ( ) P 3 3.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD ? 底面,且 问平面 PBA 与平面 PBC 能否垂直?试说明理由. (不 PD ? AD? a,

折起后 BD=1,

垂直)

D
8

C

A

B

4.在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?A ? 90? , O, O1 , G 分别为 BC, B1C1 , AA1 的中点,且 AB ? AC ? AA1 ? 2 . (1) 求 O1 到面 A1CB1 的距离; (
2 ) 2
2 6 ) 3

(2) 求 BC 到面 GB1C1 的距离. (

5.如图,在几何体 ABCDE 中,△ABC 是等腰直角三角形, ∠ABC =900,BE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 BE=AB=2, CD=1,点 F 是 AE 的中点. (Ⅰ)求证:DF∥平面 ABC; 2 (Ⅱ)求 AB 与平面 BDF 所成角的大小. (arcsin ) 3 E

D F B C

A

9


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