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【2015届备考】2015届全国名校数学试题分类解析汇编(12月第四期)N单元选修4系列


N 单元选修 4 系列
目录

N 单元选修 4 系列............................................................................................................................................... - 1 N1 N2 N3 N4 N5 选修 4-1 选修 4-2 选修 4-4 几何证明选讲 ....................................................................................................................... - 1 矩阵...................................................................................................................................... - 3 参数与参数方程 ............................................................................................................... - 4 -

选修 4-5 不等式选讲............................................................................................................................. - 6 选修 4-7 优选法与试验设计 ............................................................................................................... - 9 -

N1

选修 4-1 几何证明选讲

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】22. (本小题满分 10 分)选修 4- 1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (1)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (2)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图 【知识点】几何证明 N1

PA ?
【答案】(1)略;(2)

15 3 4 .
2

【解析】解析: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED , ∴ ?EDF ? ?C ……………………2 分 又∵ CD // AP , ∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA

EA EP ? ED ,∴ EA ? ED ? EF ? EP …………4 分 ∴ ?EDF ∽ ?EPA ,∴ EF
又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .……………………5 分

(Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴
2

EC ?

9 2 ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3

由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得

EP ?

27 4 .……………………7 分

BP ? EP ? EB ?


15 4 .∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC

PA2 ?


15 3 15 27 9 PA ? ?( ? ) 4 .……………………10 分 4 4 2 ,解得

【思路点拨】 (I )由已知可得 DEF∽ CED ,得到 ?EDF ? ? C .由平行线的性质可得

?P ? ?C ,于是得到 ?EDF ? ?P ,再利用对顶角的性质即可证明 EDF∽ EPA .于
是得到 EA ? ED ? EF? EP .利用相交弦定理可得 EA ? ED ? CE ? EB, 进而证明结论;

BP ?
(II )利用(I )的结论可得 PA.

15 4 ,再利用切割线定理可得 PA2 ? PB ? PC ,即可得出

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 (201411) 】 22. (本小题满分 10 分) 选修 4- 1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP ,

AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

第 22 题图 【知识点】弦切角 N1

【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ) PA ?

15 3 4

解析: (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………2 分

又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA EA EP ∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ , ∴ EA ? ED ? EF ? EP …………4 分 ? EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .……………………5 分 9 (Ⅱ)∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 2 27 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? .……………………7 分 4 15 ∴ BP ? EP ? EB ? .∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4 15 27 9 15 3 ∴ PA 2 ? ? ( ? ) ,解得 PA ? .……………………10 分 4 4 2 4 【思路点拨】利用 DEF∽ CED 与已知可得 EC 的长,进而得到 BE,利用相交弦定理可得
AE ? ED ? EB ? CE ,得到 AE.再利用 AP CD ,可得 AEP∽ FED ,得到 PE,进而得
到 PB,再利用切割线定理可得 PA ? PB ? PC 即可得出.
2

N2

选修 4-2 矩阵

【数学理卷· 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测( 12 月) (201412 ) 】1. 已知矩阵

?2 1 ? M ?? ? 的一个特征值是 3,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的直线方程. ?1 a ?
【知识点】特征值、特征向量的应用.N2 【答案】 【解析】 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 解析:∵矩阵 M ? ?

? ? 2 ?1 ?2 1 ? 的一个特征值是 3,设 f (? ) ? ? ?1 ? ? a ?1 a ?

?2 1 ? ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0, 则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0, 解得 a ? 2, ∴ M ? ? ?. ?1 2 ?
设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ( x, y ) 在 M 作用下对应的点为 ( x' , y' ), 则有

2 1 ? x ? x'? y ' ? ?2 1 ? ? x ? ? x' ? ?2 x ? y ? x' ? 3 3 ,代入 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 ?1 2? ? y ? ? ? y'?, 整理得 ? x ? 2 y ? y ' ,则 ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? y ? y '? 1 x' ? 3 3 ?
4 x'?5 y'?9 ? 0 .∴所求直线方程为 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .
【 思 路 点拨 】 根据 矩阵 M ? ?

?2 1 ? ? 的 一 个 特 征值 是 3 可 求 出 a 的值 , 然后 设 直 线 1 a ? ?

x ? 2 y ? 3 ? 0 上任意一点 ( x, y ) 在 M 作用下对应的点为 ( x' , y' ), 根据矩阵变换特点,写出两
对坐标之间的关系,把已知的点的坐标用未知的坐标表示,代入已知直线的方程,得到结果.

N3

选修 4-4 参数与参数方程

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】2.在平面直角 坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? (?是 参 数 ).若以 O 为极点, x 轴的正半 ? y ? sin ? ? 1

轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. 【知识点】圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程.N3 【答案】 【解析】 ? ? 2 sin ? .

解析:由 ?

? x ? cos? 消去 ? , 得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1. 曲线 C 是以点 (0,1) 为圆心,1 为半径的 ? y ? sin ? ? 1

圆,∴在极坐标系中,曲线 C 是以点 (1, 程是 ? ? 2 sin ? .

?
2

) 为圆心,1 为半径的圆,∴曲线 C 的极坐标方

【思路点拨】求得圆 C 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 1) ? 1. 把 x=ρcosθ y=ρsinθ 代入化简可得
2 2

曲线 C 的极坐标方程.

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】23. (本小题满分 10 分)选修 4- 4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已

知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? t sin ?

? sin 2 ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.
【知识点】极坐标参数方程 N3 【答案】 (Ⅰ) y ? 4 x ; (Ⅱ)4.
2

【解析】解析: (Ⅰ)由 ? sin

2

? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4 ? cos ?
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .…………………… 5 分
2 2 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 .

2

4 cos ? 4 ? 2 2 设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ? sin ? , t1t 2 ? sin ? ,

16 cos 2 ? 16 4 ? ? 4 2 AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 ? sin ? sin ? sin 2 ? , ∴
2

??


?

2 时, AB 的最小值为 4.…………………… 10 分

【思路点拨】由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 化简可得曲线 C 的直角坐标方程;直线 l 与曲线 C 联
2 2 AB 立可得方程 t sin ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 ,利用两点间的距离公式结合韦达定理求得

的最小值.

【数学文卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 (201411) 】 23. (本小题满分 10 分) 选修 4- 4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已 知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t co s? ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? y ? t sin?

? sin2 ? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值. 【知识点】简单曲线的极坐标方程 N3
2 【答案】 【解析】 (Ⅰ) y ? 4 x (Ⅱ) AB 的最小值为 4

解析: (Ⅰ)由 ? sin

2

? ? 4 cos? ,得 ( ? sin ? ) 2 ? 4? cos?
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .……………………5 分

(Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x ,得 t 2 sin 2 ? ? 4t cos? ? 4 ? 0 . 设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
2 ∴ AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) ? 4t1t 2 ?

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

当? ?

?
2

16cos2 ? 16 4 , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

时, AB 的最小值为 4.……………………10 分

【思路点拨】 (1)利用 ?

? x ? ? cos? 即可化为直角坐标方程; ? y ? ? sin?

(2)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4 x ,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即 可得出.

N4
1.

选修 4-5 不等式选讲
【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】 24.(本小题满分 10 分)

(选修 4-5 不等式选讲) 设函数 f ( x) ?| x ?

5 | ? | x ? a |, x ? R . 2
1 时,不等式 ln f ( x) ? 1 成立. 2

求证: (1)当 a ? ?

(2)关于 x 的不等式 f ( x) ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值. 【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4 【答案】(1)略(2)

5 4

1 ? ??2 x ? 2??????? x ? ? 2 ? 1 5 5 1 ? 【解析】(1)证明:由 f ( x ) ?| x ? | ? | x ? | ? ?3?????????????? ? x ? 2 2 2 2 ? 5 ? ?2 x ? 2???????? x ? 2 ? 得函数 f ( x) 的最小值为 3,从而 f ( x) ? 3 ? e ,所以 ln f ( x) ? 1 成立. 5 5 5 (2) 由绝对值的性质得 f ( x) ?| x ? | ? | x ? a |?| ( x ? ) ? ( x ? a ) |?| a ? | , 2 2 2 5 5 5 5 所以 f ( x) 最小值为 | ? a | ,从而 | ? a |? a ,解得 a ? ,因此 a 的最大值为 . 4 2 4 2
【思路点拨】利用分段函数最值证明结论,根据绝对值的意义求出 a 的最大值。

21、【 数 学 文 卷 · 2015 届 重 庆 市 巴 蜀 中 学 高 三 12 月 月 考 ( 201412 ) 】 已知 函 数 。 f ( x) ? x 2 ? ax ? 1 , g ( x) ? e x (其中 e 是自然对数的底数)
[]

(1)若 a ? ?1 ,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 [?1,2] 上的最大值; (2)若 a ? ?1 ,关于 x 的方程 f ( x) ? k ? g ( x) 有且仅有一个根,求实数 k 的取值范围; (3)若对任意的 x1、x2 ? [0, 2] , x1 ? x2 ,不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 都成立, 求实数 a 的取值范围。 【知识点】导数的应用;绝对值不等式的性质. 【答案】 【解析】(1) 3e 2 ;(2) (0, ) B12 N4

1 e

(

3 , ??) (3) (- 1,1) e2

解析:(1)当 a= -1 时, y ? x 2 ? x ? 1 e x , y? ? x 2 ? x e x ,由 y? ? 0 得:x=0 或 x= -1,经检验 x∈(-1,0)时, y? ? 0 ,x∈(0,2)时, y? ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) ? g ( x)

?

?

?

?

3
在 (-1, 0) 上递减, 在 (0,2) 上递增. 又当 x= -1 时 y= e 在 [?1,2] 上的最大值为 3e .
2

, x=2 时, y= 3e , 所以函数 y ? f ( x) ? g ( x)
2

2 x (2)当 a= -1 时,关于 x 的方程 f ( x) ? k ? g ( x) 为 x ? x ? 1 ? ke ,即 k ?

x2 ? x ? 1 . ex

令 h ? x? ?

? ? x ? 1?? x ? 2 ? x2 ? x ? 1 ? h? ? x ? ? ,经检验得 h(x)在 ? ??,1? , ? 2, ??? 上递减, x e ex

1 3 , 在 x=2 处有极大值 h(2)= 2 , e e 1 3 而 x 趋向于 ?? 时,h(x)趋向于 0,所以实数 k 的取值范围是 (0, ) ( 2 , ??) . e e
在(1,2)上递增,所以函数 h(x)在 x=1 处有极小值 h(1)=
2 2 (3)不等式 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,即 x1 ? ax1 ? x2 ? ax2 ? e 1 ? e x x2

? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? a ? ? e x1 ? e x2 ? x1 ? x2 ? a ?

ex1 ? e x2 ,只需 x1 ? x2

ex1 ? ex2 e x1 ? e x2 x1 ? x2 ? a ? x1 ? x2 ? a ? ?a? ? x1 ? x2 , x1 ? x2 x1 ? x2
2] 因为 x1、x2 ? [0,
e x 是增函数,所以 ,

e x1 ? e x2 >0, x1 ? x2 >0, x1 ? x2

e x1 ? x12 ? ? ? e x2 ? x2 2 ? ? e x1 ? e x2 所以 a ? , ? ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2
设 h( x) ? e x ? x2 ,则 h?( x) ? q( x) ? e x ? 2 x ,而 q?( x) ? ex ? 2 ? 0 得 x ? ln 2 ,经检验

x ? ln 2 时 h?( x) 有极小值,也是最小值 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,所以 h(x)是[0,2]上得增函数,而

h?(0) ? 1,

h(2) ? h(0) e2 ? 5 ? ? 1,所以 a ? 1 ? ?1 ? a ? 1 . 2?0 2

【思路点拨】 ( 1)利用导数确定函数 y ? x 2 ? x ? 1 e x 的单调性、极值性,从而求得此函数 的最大值; (2)采用分离常数法求 k 的取值范围; (3)利用绝对值不等式的性质,转化为求函 数 h( x) ? e x ? x2 在[0,2]上,任意两点确定直线的斜率的最小值,|a|小于此最小值即可.

?

?

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四 中)高三上学期第二次联考(201412) 】22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (2)若 a>0, 求证: f (ax) ? af ( x) ? 2 f (a ? 1) . 【知识点】绝对值不等式的解法;绝对值不等式性质的应用. 【答案】 【解析】(1) ? x | E2 N4.

? ?

1 5? ? x ? ? ;(2)证明:见解析. 2 2?

解析: (1)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即 ------------2 分

1 ? x ? 1; 2

当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ; 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? 综上, 原不等式的解集为 ? x |

5 . 2

? ?

1 5? ? x ? ? . -------5 分 2 2?

(2)由题 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 . 当 a>0 时, f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 = ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax

? 2 ? a ? 1? ? 2 ? 2 f (a ? 1) ---------10 分
【思路点拨】 (1)分段讨论解含绝对值的不等式; (2)利用绝对值不等式的性质:

a ? b ? a ? b ? a ? b 证明结论.

N5

选修 4-7 优选法与试验设计


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