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2014高考数学文复习方案 二轮作业手册专题综合训练(三) 专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形


专题综合训练(三) [专题三 三角函数、三角恒等变换与解三角形] (时间:60 分钟 分值:100 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.cos 300°的值是( ) 1 1 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 2 2

? π? 2 2.已知 α∈(0,π ),cos?α+ ?=- ,则 tan 2α =( 2

? 3? 3 3 A. B.- 3或- 3 3 3 C.- D.- 3 3 ?π π? 3.下列函数中,周期为π ,且在? , ?上为增函数的是( ?4 2? ? π? ? π? A.y=sin?x+ ? B.y=cos?x- ? ? 2? ? 2? C.y=-sin(2x-π ) D.y=cos(2x+π )

)

)

π 4.将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图像向左平移 个单位长度,所得图像对应的函数解析式 4 可以是( ) A.y=cos 2x+sin 2x B.y=cos 2x-sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x D.y=sin xcos x 5.如图 Z3-1 所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,0<φ <π )在一个周期内的图像,此函 数的解析式是( )

图 Z3-1 π? ? A.y=2sin?2x+ ? 3? ? 2π? ? B.y=2sin?2x+ ? 3? ?

? π? C.y=2sin?x- ? ?2 3 ?
π? ? D.y=2sin?2x- ? 3? ? π 6.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)- 3cos(ωx+φ)(ω>0,|φ |< ),其图像相邻的两条对称轴方 2 π 程为 x=0 与 x= ,则( 2 )

A.f(x)的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递增函数 B.f(x)的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递减函数

? π? C.f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为单调递增函数 ? 2? ? π? D.f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为单调递减函数 ? 2?
7.函数 y=xsin x 在[-π ,π ]上的图像是( )

图 Z3-2 π π? ? 8.将函数 f(x)=sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度后得到函数 y=g(x)的图像,则 4 3? ? g(x)的单调递增区间为( ) π ? ? A.?2kπ- ,2kπ+k?(k∈Z) 6 3? ? π 5π? ? B.?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z) 3 6? ? π π? ? C.?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z) 6 3? ? π 5π? ? D.?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z) 6 6? ? 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 9.设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cos α = x,则 tan α =________. 5 10.在△ABC 中,若 2sin A=sin C,a=b,则角 A=________. π 11.在△ABC 中,BC=2,AC= 7,B= ,则△ABC 的面积是________. 3 12.已知函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x,x∈R,给出以下说法: π ①函数 f(x)的图像的对称轴是 x=kπ + ,k∈Z; 3

?7π ? ?是函数 f(x)的图像的一个对称中心; ? 12 ,0? ?π ? 1 ③函数 f(x)在区间? ,π?上的最大值是 ; 2 ?2 ?
②点 P? π ④将函数 f(x)的图像向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)=sin 2x- 3cos 2x 的图像. 12 其中正确说法的序号是________. 三、解答题(共 40 分) 13.(13 分)在△ABC 中,若 sin A=2sin B·cos C 且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状.

14.(13 分)已知函数 f(x)=sin(π -2x)+2

3cos2x,x∈R.

?π? (1)求 f? ?; ? 6? (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

→ → 15. (14 分)在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 2S△ABC= 3 BA· BC. (1)求角 B; (2)若 b=2,求 a+c 的取值范围.

专题综合训练(三) 1.A 1 [解析] cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°= . 2

π 5π 11π 2 3 2.C [解析] 由 cos(α+ )=- 可得 α= 或 α= ,则 tan 2α =- . 3 2 12 12 3

?π π? 3.D [解析] 排除 A,B;对于 C,y=sin(π -2x)=sin 2x,在? , ?上单调递减,排除 ?4 2?
C. π ? π? 4.B [解析] y=sin 2x+cos 2x→y=sin 2?x+ ?+cos 2(x+ )=cos 2x-sin 2x. 4 ? 4? 5.B [解析] T=? 2 ? ∴y=2sin? ?2x+3π?. π 6.C [解析] 由其图像相邻的两条对称轴方程为 x=0 与 x= ,知周期 T=π ,排除 A, 2 B. π π? ? ? π?? π? ? ? f(x)=2sin?2x+φ- ?,?sin?φ - ??=1,显然 φ=- ,f(x)=2sin?2x- ?=-2cos 2x, 6 3? ? ? 3 ?? 2? ? ? 2π π ? 5π π ? 2 + ?×2=π ,ω = T =2,当 x=-12时,可得 A=2,φ =3π . ? 12 12?

? π? 在?0, ?上为单调递增函数. ? 2?
π 7.A [解析] y=xsin x 为偶函数,排除 D.当 x=± π 时,y=0,排除 C.当 x=± 时,y>0, 2 排除 B.

8. C

π π π ? ? π? π? π? ? [解析] g(x)=sin?2?x- ?+ ?=sin?2x- ?, 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ (k∈Z) 2 6 2 6? ? ? ? 4 ? 3?

π π? ? 得单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 6 3? ? 4 1 9.- [解析] 因为 α 是第二象限角,所以 x<0.又因为 cos α = x= 3 5 4 4 =-3,所以 tan α = =- . x 3

x x2+16

,解得 x

π a2+( 2a)2-a2 π 2 10. [解析] 因为 c= 2a,b=a,所以 cos A= = ,A= . 4 2 4 2a· 2a 3 11. 3 2 π [解析] 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos ,即 7=AB2+4-2AB, 3

π 1 所以 AB2-2AB-3=0, 解得 AB=3 或 AB=-1(舍去). 所以△ABC 的面积是 S= AB· BC· sin 2 3 1 3 3 3 = ×3×2× = . 2 2 2 π π? ? 12.①②④ [解析] f(x)=2sin?2x- ?,将 x=kπ + (k∈Z)代入得到 y=2,①正确; 3 6? ? 5π π 11 ?π ? 当 x∈? ,π?时, ≤2x- ≤ π ,ymax=1,③错误.再依次验证②④正确. 6 6 6 ?2 ? a ?2 b 2 c 2 13.解:由 sin2A=sin2B+sin2C 得? ?2R? =(2R) +(2R) , π 则 a2=b2+c2,即 A= . 2 a2+b2-c2 a 由 sin A=2sin B·cos C 得 =2× ,则 b=c.综上可知,该三角形为等腰直角三 b 2ab 角形. 14.解:(1)f(x)=sin(π -2x)+2 π? ? 3cos2x=sin 2x+ 3cos 2x+ 3=2sin?2x+ ?+ 3, 3? ? 3.

?π? ?π π? 3 则 f? ?=2sin? + ?+ 3=2× + 3=2 2 ? 6? ? 3 3?

2π π? ? (2)f(x)=2sin?2x+ ?+ 3的最小正周期 T= =π , 2 3? ? π π π 5π π 又由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ? kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 故函数 f(x)的单调递增 2 3 2 12 12 5π π? ? 区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 12 12? ? 15.解:(1)由已知得 acsin B= 3accos B, π 则 tan B= 3,∵0<B<π ,∴B= . 3 π (2)方法一,由余弦定理得 4=a2+c2-2accos , 3 则 4=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3?

?a+c?2 ? (当且仅当 a=c 时取等号), ? 2 ?

解得 0<a+c≤4, 又由 a+c>b,则 2<a+c≤4, 因此 a+c 的取值范围是(2,4]. 4 4 方法二,由正弦定理得 a= sin A,c= sin C, 3 3 2π π 4 4 4 ∵A+C= ,∴a+c= (sin A+sin C)= [sin A+sin(A+B)]= [sin A+sin(A+ )] 3 3 3 3 3 = 4 1 3 (sin A+ sin A+ cos A)=4( 2 2 3 π 1 3 sin A+ cos A)=4sin(A+ ). 2 6 2

2π π π 5π π? 1 ? ∵0<A< ,∴ <A+ < ,∴ <sin?A+ ?≤1, 3 6 6 6 2 6? ? ∴a+c 的取值范围是(2,4].


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