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湖北省咸宁市四校2013届高三12月月考理科数学试题


湖北省咸宁市四校 2013 届高三 12 月考 理科数学试题
考试时间: 2012年12月18日下午3﹕00——5﹕00 本卷三大题21小题 试卷满分150分

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? {x | x ? 1 ? 0},
2

N ? {x |

1 ? 2 x?1 ? 4, x ? Z} 2 ,则 M ∩ N =(
D. [?1,0]



} A. {?1,0,1

B. {?1,0}

C. [?1,1)

2.设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题

q:(

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? p q 2 2 ,则 是 成立的(



A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球的表面积 为 ( ) A. 4? B. 5?
2

C. 8?
2

D. 10?

4.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 2 交于A、B两点, O是原点, C是圆上一点, OA ? OB ? OC , 若 则 a 的值为( A. ? 1 ) B. ?

2

C. ? 3

D. ? 2

? 1? x2 ? f ( x) ? ? 1 ? x ? 5.设函数

x ? [0,1] x ? (1, e]
(其中 e 为自然对数的底数) ,则

?

e 0

f ( x)dx

的值为(



?
A. 2

?1

? ?1 B. 2


?
C. 4

?1

? ?1 D. 4

6. 下列说法正确的是(

A. 存 在

? ? ? (0, )

2 使

sin a ? cos a ?

1 3

B.

y ? tan x 在 其 定 义 域 内 为 增 函 数

y ? cos 2 x ? sin( ? x) 2 C. 既有最大、最小值,又是偶函数

?

y ? sin | 2 x ?
D. 7.若方程 2a ? 9
s inx

?

| 6 最小正周期为 ?
( )

? 4a ? 3s inx ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围
B. a ? 0

A. a ? 0 或 a ? ?8

0?a?
C.

8 31

8 72 ?a? 23 D. 31

8.正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线 Ox, Oy , Oz 上,则下列命题中,错误的是 ( ) A.O-ABC是正三棱锥 C.直线AD与OB所成的夹角为 45
0

B.直线OB∥平面ACD D.二面角D-OB-A为 45
0

9.若函数

y?

1? ? 1 ?? 2,? 2 ? ? 上单调递增,那么 a 的取值范围是( x ? ax ? a 在 ?
2



A. a ? ?1

?4? a ?
B.

1 2

?1 ? a ?
C.

1 2

a?
D.

1 2

10.已知数列 n 满足: 则实数 a 的取值范围为

{a }

a1 ? a2 ? 2a ? 2, an?1 ? an ? 2(n ? a) ? 1, n ? N * ,当且仅当 n ? 3 时 a n 最小,
( )

A. (?1,3)

5 ( ,3) B. 2

C. (2,4)

5 7 ( , ) D. 2 2

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

3?
11.不等式

2 ?x x 的解集是
{an }
满足

12.已知各项为正数的等比数列

a7 ?a 6 ?2a5

.若存在两项

am , an 使得 am ? an ? 2 2 ? a1 ,

1 4 ? 则 m n 的最小值为

? 4 ? cos(? ? ) ? sin(2? ? ) 6 5 ,则 12 的值为 13.设 ? 为锐角,若

y ? 3?x?
14.已知函数 则线段PQ的最小值为 15.下列说法:

1 x 的图象为中心是坐标原点O的双曲线,在此双曲线的两支上分别取点P,Q,

①函数

y?

x ?1 x ? 1 图象的对称中心是 (1,1)
2

②“ x ? 2 是 x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

?m 若m ? n m?n ? ? ?n 若m ? n , 则 函 数 ③ 对 任 意 两 实 数 m, n , 定 义 运 算 “*” 如 下 : f ( x) ? l o1 (gx ? 2) * l o2 x 3 g 2 的值域为 (??,0] . ?(3a ? 1) x ? 4a( x ? 1) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x) ? ? ? 0, ( x ? 1) x2 ? x1 x1 ? x2 都有 ?loga x ④若函数 对任意的
1 ,1 则实数 a 的取值范围是(- 7 ],其中正确命题的序号为___________

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?

) 2 的部分图象如图所示.

(1)求 f (x) 的解析式;

g ( x) ? [ f ( x ?
(2)设

?
12

)] 2

x ? [? , ] 6 3 的最 ,求函数 g (x) 在

? ?

大值,并确定此时 x 的值.

17.某企业拟在 2012 年度进行一系列促销活动,已知其产品年销量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满 足 3 ? x 与 t ?1 成反比例,当年促销费用 t ? 0 万元时,年销量是1 万件.已知 2012 年产品的设备折

旧、维修等固定费用为3万元,每生产 1 万件产品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件产品售价定 为:其生产成本的 150 %与“平均每件促销费的一半”之和,则当年生产的商品正好能销完. (1)将 2012 年的利润

y (万元)表示为促销费 t (万元)的函数;

(2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

18.如图, 在直三棱柱 ABC? A1 B1 C1中, 底面 ?ABC为等腰直角三角形,?B ? 90 ,D 为棱
0

BB1 上

一点,且面 DA1C

? 面 AA1 C1C .
BB1 的中点;

(1)求证: D 点为棱

AA1 (2)若二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60 ,求 AB 的值.
0

19.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ( x ? 4 )的反函数为 f

?1

?1 ( x) , ?an ? 满足: =1,an?1 ? f (an ) , 数列 a
1

1 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ,…, bn ? bn?1 是首项为1,公比为 3 的等比数列. ( n ? N*) ,数列

(Ⅰ)求证:数列 (Ⅱ)若

? a ?为等差数列
n

cn ? an ? bn
f ( x) ? x ?

,求数列

?cn ?的前n项和 Sn .

20.已知函数 点分别为 M , N . (Ⅰ)设

t (t ? 0) x 和点 P(1, 0) ,过点 P 作曲线 y ? f (x) 的两条切线 PM 、 PN ,切

MN ? g (t )

,试求函数 g(t ) 的表达式;

(Ⅱ)是否存在 t ,使得 M , N 与 A(0 , 1) 三点共线.若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

g ( x) ?
21.已知函数

1 ? ln x 1, ?? ? ? 上为增函数,且 ? ? (0, ? ) , ? 为常数, x sin ? 在

f ( x) ? mx ?

m ?1 ? ln x(m ? R) x .

(1)求 ? 的值;

?1, ??? 上为单调函数,求 m 的取值范围; (2)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在
h( x ) ?
(3)设

2e x ,若在 ?1,e? 上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求

m 的取值范围.

高三年级数学(理科)参考答案
1.B 2.B

1 , 3.B解答: 由题意知该几何体是一个底面半径为 2 高为2的圆柱, 根据球与圆柱的对称性, 可得外接球
1 5 R ? 12 ? ( ) 2 ? , 2 2 ∴ S ? 4?R2 ? 5? .选B 的半径
4.A 5.C 6.C 7.D 解答:方程 2a ? 9
s inx

? 4a ? 3s inx ? a ? 8 ? 0 有解,

等价于求

a?

2?9

s in x

8 ? 4 ? 3s inx ? 1 的值域

1 23 3s inx ? [ ,3] ? [ ,31] s inx s inx 3 ∴ 2 ? 9 ? 4 ? 3 ?1 9 ∵ 8 72 ?a? 23 则 a 的取值范围为 31
8.B

9. B解答:若令 f ( x) ? x ? ax ? a
2

a 1 ? ?? ? 1 2 2 ? ?1 ? a ? ? 1 2 ? f (? ) ? f (?2) ? 0 2 只要 ?

10.D

5 7 a?( , ) a ? n ? 2an ? a ? 1,据题意易知 2 2 解答:用累加法得 n
2 2

11.

?x 0 ? x ? 1或x ? 2?

11 12. 6
解答:由

a7 ?a 6 ?2a5

得 q ? 2 ,又

am ? an ? 2 2 ? a1

,∴ m ? n ? 5

1
∵为 m, n 正整数,∴当 m ? 2, n ? 3 时, m

?

4 11 n 有最小值 6 .

17 2 13. 50

? 4 ? 3 cos(? ? ) ? sin(? ? ) ? 6 5 ,∴ 6 5 解答:∵ ? 为锐角,且

[

?
∴6

?? ?

?
6

?

?
4

?

?
3

? 2? ?

?
3

?

?
2

? ? 4 3 24 sin(2? ? ) ? sin 2(? ? ) ? 2 ? ? ? 3 6 5 5 25 ∵
? ? ? 17 2 ? 7 sin(2? ? ) ? sin[(2? ? ) ? ] ? cos(2? ? ) ? 12 3 4 50 3 25 , ∴
14. 2 3 ? 2 15.②③

A ? 2,
16.解答:(1)由图象知

T ? 2? ? 3 ? , ? 4? , ? ? 4 3 则? 3 ∴ 2 ……(2分)

? 3 ? ? f (? ) ? 2 sin[ ? (? ) ? ? ] ? 2 sin(? ? ? ) ? 0 6 2 6 4 又



sin(?

?
4

? ?) ? 0

0?? ?
,∵

? ? ? ? ? ?? ? ? 2, 4 4 4



??

?
4

? 0 ?? ?

?
4

3 ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 . ∴ f (x) 的解析式为 f (x ?
(2)由(1)可得

………………(5分)

3 ? ? 3 ? ) ? 2 sin[ ( x ? ) ? ] ? 2 sin( x ? ), 12 2 12 4 2 8

?

1 ? cos(3x ? ) ? 4 2 ? 2 cos(3x ? ), g ( x) ? [ f ( x ? )]2 ? 4 ? 4 …(8分) 12 2 ∴ =

?

?

? ? ? ? 5? x ? [? , ], ? ? 3x ? ? 6 3 ∴ 4 4 4 , ∵
3x ?

?
4

∴当

??

x?
,即

? 4 时, g ( x) max ? 4

…………………(12分)

3? x ?
17.解答:(1)由题意:

k t ? 1 ,将 t ? 0, x ? 1代入得 k ? 2



x ? 3?

2 t ?1 , ? 32 x ? 3 ? 32 ? (3 ? 2 )?3 t ?1 ,

当年生产 x (万件)时,年生产成本

当销售 x (万件)时,年销售收入 ? 150 % 由题意,生产 x 万件产品正好销完

? [32 ? (3 ?

2 1 ) ? 3] ? t t ?1 2 ,

∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费

y?


? t 2 ? 98t ? 35 (t ? 0) 2(t ? 1) .………(6分)
t ? 1 32 ? ) ? 50 ? 2 16 ? 42 2 t ?1 (万件)

y ? 50 ? (
(2)∵

t ? 1 32 ? t ? 1 即 t ? 7 时, ymax ? 42 , 当且仅当 2
∴当促销费定在 7 万元时,利润最大. ………(12分) 18. 解答:(1)过点 D 作 DE ∵面 DA1C

? A1C 于 E 点,取 AC 的中点 F ,连 BF, EF .

? 面 AA1 C1C 且相交于 A1 C ,面 DA1C 内的直线 DE ? A1C
………3分

∴直线 DE ⊥面 AA1 C1C

又∵面 BAC ? 面 AA1 C1C 且相交于 AC ,易知 BF ? AC , ∴ BF

?面 AA1C1C 由此知: DE ∥ BF ,从而有 D, E, F , B 共面,

又易知 BB1∥面 AA1 C1C ,故有DB∥EF ,从而有 EF ∥ AA1 ,

又点 F 是 AC 的中点,所以 所以 D 点为棱 BB1 的中点;

DB ? EF ?

1 1 AA1 ? BB1 , 2 2
………6分

1 (2)延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G ,由题意知 CB ? 面 AA B1 B ,

过 B 作 BH

? A1G 于点 H ,连 CH 知: A1 G ? CH ,
………8分

由此知 ?CBH 二面角 A ? A1 D ? C 的平面角; 设 在

AA1 ? 2b, AB ? BC ? a; Rt?A1 AG
中,易知 AB ? BG .

在 Rt?DBG 中,

BH ?

BD ? BG ? b ? a a2 ? b2 , DG

BC a2 ? b2 ? b 在 Rt?CHB 中, tan?CHB ? BH , 2b a2 ? b2 ? 2 ? tan 60 0 ? 3 b 据题意有: ,解得: a ,

AA 1 ? 所以 AB

2.
2

………12分

19. (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) ( x ? 4 ), ∴f
?1

( x) ? ( x ? 2) 2 ( x ? 0 ),
?1

……………………………………(2分)

∴ an?1 ? f 即

2 (an ) ? ( an ? 2) ,

an?1 ? an ? 2

∴数列

? a ?是以
n

( n ? N*) .

……………………………(3分)

a1 ? 1 为首项,公差为2的等差数列.………(5分)
,即

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

a n ? 1 ? 2( n ? 1) ? 2n ? 1

an ? (2n ? 1) 2 ( n ? N*) .

……………………………(7分)

b1 ? 1 ,当 n ? 2 时,


bn ? bn ?1

?1? ?? ? ?3?

n ?1



bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ?… ? (bn ? bn?1 )

1 ?1? ?1? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? … ? 3?
bn ?
因而

2

n ?1

?

3? 1 ? ?1 ? n ? 2? 3 ?

3? 1? ?1 ? n ? 2 ? 3 ? , n ?N*.

……………………………(8分)

3? 1 ? (2n ? 1) ? ?1 ? n cn ? an ? bn 2? 3


? ? ?,

Sn ? c1 ? c2 ? … ? cn

3 1 3 5 2n ? 1 ? [1 ? 3 ? 5?] ? (2n ? 1) ? ( ? 2 ? 3 ? ? n ) 2 3 3 3 … 3 … 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 3 ? 32 ? 33 ? … ? 3n 令



1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n?1 3 3 3 3 3 … 则3 ②

①-②,得

1 2n ? 1 1 1 2 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? n ) ? n ?1 ? ? (1 ? n?1 ) ? n?1 3 3 3 3 3 3 3 … 3 3 3



Tn ? 1 ?

n ?1 2 3n .又 1 ? 3 ? 5 ? … ? (2n ?1) ? n .

3 n ?1 S n ? (n 2 ? 1 ? n ) 2 3 . ∴

……………………………(12分)

20. 解: (Ⅰ)设 M , N 两点的横坐标分别为 x1 ,

x2 ,



f ?( x) ? 1 ?

t t t y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )( x ? x1 ) x1 x1 x 2 ,∴切线 PM 的方程为: , 0 ? ( x1 ? t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) x1 x1 ,
…… 4分

又∵切线 PM 过点 P(1,0) ,∴有 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 ,
2

………………………………………………(1)
2

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .…………(2) 由(1)(2) 、 ,可得 x1 , x2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根,
2

? x1 ? x2 ? ?2t , ? x ? x ? ?t . ∴? 1 2

………………( * )

……………………… 6分

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 [1 ? (1 ? ) ] x1 x2 x1 x2
t 2 ) ] x1 x2

? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ?



把( * )式代入,得

MN ? 20t 2 ? 20t

, . ……………………7分

因此,函数 g (t ) 的表达式为

g (t ) ? 20t 2 ? 20t (t ? 0)

x1 ?
(Ⅱ)当点 M , N 与 A 共线时,

k MA ? k N A

,∴

t t ? 1 x2 ? ? 1 x1 x2 x1 ? 0 = x2 ? 0 ,

x1 ? t ? x1
2

x2 ? t ? x2
2

即 ∵ x1

x1

2



x2

2

,化简,得

( x 2 ? x1 )[t ( x 2 ? x1 ) ? x1 x 2 ] ? 0 ,
………………(3) …………… 9分

? x2 ,?t ( x2 ? x1 ) ? x2 x1.
t? 1 2.

把(*)式代入(3) ,解得

?存在 t ,使得点 M 、 N 与 A 三点共线,且

t?

1 2.

……………………13分

g?(x) ? ?
21. 解答: (1)由题意:

1 1 x sin ? ? 1 ? ? 0 ?1, ?? ? 2 x sin ? x 在 上恒成立,即 x sin ? ? 0
2

?? ? (0, ? ),? sin ? ? 0, 故xsin? -1 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立

? ?1 ? 1 ? 0, 即sin? ? 1,只有sin? =1,结合? ? 0,?),得? = (
只需sin

?
2 .… 4分

(2)由(1)得

f ( x) ? g ( x) ? mx ?

mx 2 ? 2x ? m m ? 2 ln x (f(x)-g(x))?= x2 x , ,

2 2 由于 f ( x) ? g ( x)在其定义域内为单调函数,则 mx ? 2x ? m ? 0或者mx ? 2x ? m ? 0



?1, ?? ?

m?
上恒成立,即

2x 2x 或者m ? 2 1? x 1 ? x 2 在 ?1, ?? ? 上恒成立,

故 m ? 1或者m ? 0 ,综上,m的取值范围是 (3)构造函数 F ( x) ? f ( x) ? g( x) ? h( x) ,

? ??, 0? ? ?1, ?? ? .

……9分

F(x) ? mx ?

m 2e ? 2 ln x ? x x ,

x ? ?1, e ? 当 m ? 0时, 由 得,
所以在

mx ?

m 2e ? 0, ?2 ln x ? ? 0 x x ,

?1, e? 上不存在一个 x 0 ,使得 f (x 0 ) ? g(x 0 ) ? h(x 0 ) ;
(F(x))? ? m ? m 2 2e mx 2 ? 2x ? m ? 2e ? ? ? x2 x x2 x2 ,

当m>0时,

因为 立,

x ? ?1, e ?

?1, ?? ? 上恒成 ? ,所以 2e ? 2x ? 0, mx ? m ? 0, 所以(F(x)) >0 在
2

故F(x)在

x ? ?1, e ?

上单调递增,

F(x) max ? me ?

m m 4e ? 4, 只要me ? ? 4>0,解得m> 2 e e e ?1 ,

? 4e ? ? 2 , ?? ? ? .…… 14分 故m的取值范围是 ? e ? 1
m?
另法: (3)

2e ? 2 x ln x , x2 ?1

F ( x) ?


2e ? 2 x ln x , x2 ?1

F ' ( x) ?
F ( x) min ?

(?2 x 2 ? 2) ln x ? (2 x 2 ? 4ex ? 2) ? 0 ? F ( x)在 ?1,e ? 上递减, ( x 2 ? 1) 2

4e 4e ?m ? 2 . e ?1 e ?1
2


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