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2011年广东省广州六中高一上学期期中考试数学试题


2011 年广东省广州六中高一上学期期中考试数学试题
一 选择题(共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 U ? ?01 , , 2, 3, 4, 5? ,集合 M ? ?0, 3, 5? , N ? ?1 , 4, 5? ,则 M ? (CU N ) 等于() A. ?5? B. ?0,3? C. ?0,2,3,5? D. ?0,1,3,4,5? )

2. 集合 A 满足关系式 ?a, b? ? A ? ?a, b, c, d , e?,则集合 A 的个数是( A. 5 B.6 C.7 D.8 (
y ? x,y ?
3

3.下列各组函数中,表示同一函数的是 x A y ? 1, y ? B x C
y ? lg x 2 , y ? 2 lg x

)

x

3

D y ? x ,y ? )

? x?

2

4.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 一定有( A、 f ( x) ? f (? x) ? 0 C、 f ( x) f (? x) ? 0

B、 f ( x) ? f (? x) ? 0 D、 f ( x) f (? x) ? 0 ( )

5. 当 x∈(1, +∞)时, 幂函数 y=xα 的图象恒在 y=x 的下方, 则α 的取值范围是 A.0<α<1 B.α<1 C.α>0 D.α<0

6. 如果奇函数 f(x)在区间[ 3,7 ]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7, -3 ]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5 C.减函数且最小值为-5 D.减函数且最大值为-5 7. 如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. (?2, 6) 8. 函数 y ? A. ( ? ?,2] B. [?2,6]
1 x ? 2 ? x 的值域为( 2

)

C. ?? 2,6? ) C.( ? ?,??)

D. ? ??, ?2? ? ? 6, ???

B.( ? ?,1]

D.没告知定义域,无法确定。

9. 若一系列函数的解析式和值域相同, 但其定义域不同, 则称这些函数为 “同族函数” , 例如函数 y ? x 2 , x ? ?1,2? 与函数 y ? x 2 , x ? ?? 2,?1? 即为“同族函数” .请你找出下面哪 个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是 ( )

1

A. y ? x ? 3

B. y ? x

C. y ? 2 x

D. y ? log 1 x
2

10. 一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流 出,如果水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v ? f (h) 的大致图象是( )

(A)

(B)

(C)

(D)

二.填空题(每小题 5 分,满分 25 分。把答案填在答题纸上的相应横线上) 11. 已知 A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x 2 ? 7 x ? 10 ? 0} ,则 A ? B ?
1 ? lg x ? 1 ? x 的定义域为 x ?1 13.计算 1.10 ? 3 64 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2lg 2 ?

12.函数 f ( x) ?

.

?log ( x ? 3), ( x ? 0) 14.若函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (?3) _________ ? f ( x ? 2), ( x ? 0) 15. 关于下列命题:
①若函数 y ? 2 x 的定义域是{ x | x ? 0} ,则它的值域是 { y | y ? 1} ; ② 若函数 y ?
1 1 的定义域是 {x | x ? 2} ,则它的值域是 { y | y ? } ; 2 x

③若函数 y ? x 2 的值域是 { y | 0 ? y ? 4},则它的定义域一定是 {x | ?2 ? x ? 2} ; ④若函数 y ? log2 x 的值域是 { y | y ? 3} ,则它的定义域是 {x | 0 ? x ? 8} . 其中不正确的命题的序号是 ____________( 注:把你认为不正确的命题的序号都填 上). 三、解答题 16.(本题满分 11 分)已知集合 A={x| x 2 -x-6≤0},B={x|x-a>0},当 a 为何值 时 ①A B ② A∩B≠φ ③A∩B=φ

2

17. (本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b . (1)若对任意的实数 x 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立,求实数 a 的值; (2)若 f ? x ? 为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 内递增,求实数 a 的范围.
a x ?1 ?a ? 1? , 18. (本题满分 12 分)已知 f ?x ? ? x a ?1

(1) 判断 f ?x ? 的奇偶性; (2) 证明 f ?x ? 在区间 ?? ?,??? 上是增函数. 19. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? lg(4 ? k ? 2x ) , (其中 k 实数) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ? ??,2? 上有意义,试求实数 k 的取值范围. 20. (本题满分 13 分)为了预防甲型 H1N1 流感,某学校对教室用药薰消毒法进行消 毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与 t 时间(小时) 1 2 成正比,药物释放完毕后,y 与 t 之间的函数关系式与 y ? ( ) t ? 0.9t ? a (a 为常数)如下 32 图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题。 (1)从药物释放开始,求每立方米空 气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式。 (2)据测定,当空气 1 中每立方米的含药量降低到 毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始 16 至少需要经过多少小时后,学生才可能回到教室。

21. (本题满分 14 分)函数 y ? lg(3 ? 4x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ( x ? M ). (1) 求 M; (2) 求函数 f ( x) 的值域; (3) 当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 x ? 2 x?1 ? b(b ? R) 有实数根,求 b 的取值范围,并 讨论实数根的个数.

3

2011 年广东省广州六中高一上学期期中考试数学试题
BDBCBBDBAD[-1,5] ( (0,1) ) (3) (2) ①②③_

三、解答题 16.解:由不等式 x 2 -x-6≤0 得 ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 ,解得: ? 2 ? x ? 3 …2 分
? A ? ( x | ?2 ? x ? 3}

………………3 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………8 分 ………………10 分

而 B ? {x | x ? a} ①要 A B,只要 a ? ?2 即可。 ②要 A∩B≠φ ,只要 a ? 3 即可。 ③要 A∩B=φ , 只要 a ? 3 即可.

∴当 a ? ?2 时,A B;当 a ? 3 时,A∩B≠φ ;当 a ? 3 时,A∩B=φ 。 ……11 分 17. 解:①∵若对任意的实数 x 都有 f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 成立可知:函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称。 ……2 分 a 而函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 的对称轴是 x ? ? , ………………3 分 2 a ? ? ? 1 ,即 a ? ?2 ………………4 分 2 ②? f ( x) 是偶函数,即有 f (? x) ? f ( x) , 所以有 x 2 ? ax ? b ? ( x 2 ? ax ? b) 即 2ax ? 0 对定义域内任何数成立,则有 a ? 0 ………………5 分 ………………6 分

…………7 分 a (或由于 f ? x ? 为偶函数,则可知函数 y ? f ( x) 的对称轴为 y 轴,即有 ? ? 0 ,∴a=0) 2 a ③函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 的对称轴是 x ? ? ,且开口向上, 则可知函数 y ? f ( x) 在区间 2 a [? ,?? ) 上单调递增, ………………9 分 2 a 依题意有 ?1, ?? ? ? [? ,?? ) , ………………10 分 2 a ? ? ? 1,? a ? ?2 ………………12 分 2

4

(3) 18. 解:(1)定义域是 R.
f ?? x ? ? a ?x ?1 a x ?1 ? ? ? ? f ?x ? , a ?x ? 1 ax ?1

………1 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………8 分

∴函数 f ?x ? 为奇函数. (3)设任意取两个值 x1、x2∈(-∞,+∞)且 x1<x2. ∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?

a x1 ? 1 a x2 ? 1 2 a x1 ? a x2 . ? ? a x1 ? 1 a x2 ? 1 a x1 ? 1 a x2 ? 1

?

?

??

?

?

∵a>1, x1 ? x 2 , a x1 ? a x2 a x1 ? 1 a x2 ? 1 ? 0 , ∴ f ?x1 ? ? f ?x2 ?. 故 f ?x ? 在 R 上为增函数 19.解:(Ⅰ)由题意可知: 4 ? k ? 2 x ? 0 即解不等式: (1)当 k ? 0 , (2)当 k ? 0 ,
k ? 2x ? 4

?

??

?

………………11 分 ………………12 分 ………………1 分 ………………2 分 ………………5 分
4 k

不等式的解为 R
不等式的解为 x ? log 2

………………7 分 ?8 分 ??9 分

4 所以当 k ? 0 f ( x) 的定义域为 R;当 k ? 0 f ( x)的定义域为( ? ?, log 2 ) k x (Ⅱ)由题意可知: 对任意 x ? ?? ?,2? 不等式 4 ? k ? 2 ? 0 恒成立 4 k? x 得 ??10 分 2 4 又 x ? ?? ?,2? , u ? x 的最小值 1. ??12 分 2 所以符合题意的实数 K 的范围是 ?? ?,1? ??13 分

20.

5

解:①设 0 ? t ? 1, 时, y ? kt , 将(0.1,1)代入得 k=10,? y ? kx 又将(0.1,1)代入 y ? (

………………1 分 ………………3 分 ………………5 分

1 t 2 ? 0. 9 t ? a ) ,得:a=-0.1 32

?10t , (0 ? t ? 1) ? ? y ? ? 1 t 2 ?0.9t ?0.1 ( ) , (t ? 1) ? ? 32
1 t 2 ? 0.9 t ? 0.1 1 ) ? , 32 16 1 5(t 2 ? 0.9t ?0.1) 1 ? ( )4 , 则有 ( ) 2 2

………………6 分

②令 (

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

? 5(t 2 ? 0.9t ? 0.1) ? 4
即 10t 2 ? 9t ? 9 ? 0 , 解得: t ?

3 3 或 t ? ? (舍去) ………………12 分 5 2 ∴学生要在 0.6 小时后才能进入课室。 ………………13 分 2 21.解: (1) x ? 4 x ? 3 ? 0 , ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 , x ? 1或x ? 3 , ????????2 分 ? M ? ?x | x ? 1或x ? 3? x (2)设 t ? 2 ,? x ? 1或x ? 3 ,? t ? (0,2) ? (8,??) ??????4 分

????????5 分 f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? (t ? 1) 2 ? 1, 当 t ? (0,1) 时 g (t ) 递减,当 t ? (1,2) 时 g (t ) 递增, g (1) ? ?1, g (0) ? g (2) ? 0 , 所以 t ? (0,2) 时, g (t ) ? ?? 1,0? ; ???????7 分 当 t ? (8,??) 时 g (t ) 递增, g (8) ? 48,所以 g (t ) ? (48,??) ???????8 分 故 f ( x) 的值域为 ?? 1,0? ? (48,??) ???????9 分 x x ?1 (3) b ? 4 ? 2 ,即 b ? f ( x) ,方程有实根 ?函数 y1 ? b 与函数 y 2 ? f ( x) ( x ? M )的图象有交点. ?????10 分 由(2)知 f ( x) ? ?? 1,0? ? (48,??) , 所以当 b ? ?? 1,0? ? (48,??) 时,方程有实数根. ??????11 分 下面讨论实根个数: ① 当 b ? ?1 或当 b ? (48,??) 时,方程只有一个实数根 ?????12 分 ② 当 b ? (?1,0) 时,方程有两个不相等的实数根 ?????13 分 ③当 b ? (??,?1) ? [0,48] 时,方程没有实数根 ?????14 分

6


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