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2016年全国卷II百校联盟高考《考试大纲》调研卷理科数学(第七模拟)(解析版)


百校联盟 2016 年全国卷 II 高考《考试大纲》调研卷理科数学 (第七模拟)

一、选择题:共 12 题
1.已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},则 A∩B=

A.(1,3) 【答案】D

B.[1,3]

C.{1,3}

D.{1,2,3}

【解析】本题主要考查集合的交运算,属于容易题.依题意,A∩B={1,2,3},故选 D.

2.若复数(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为

A.2 【答案】A

B.

C.-

D.-2

【解析】本题主要考查复数的四则运算、纯虚数的概念,属于容易题.解法一 先将复数 化为 a+bi(a,b∈R)的形式,再根据纯虚数的定义求解;解法二 先利用待定系数法设出纯 虚数,再根据复数相等求解. 解法一 由题意得+i 为纯虚数,则=0,且≠0,解得 a=2.故选 A. 解法二 由题意,令=ti(t≠0),则 1+ai=t+2ti,则,解得,故选 A.

3.已知在等差数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则 a7=

A.1 【答案】B

B.1 或 13

C.13

D.1 或 15

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质,属于容易题.先设出等差 数列{an}的公差,再利用通项公式及等比数列的性质求解. a5 , 设等差数列{an}的公差为 d,则 a2=1+d,a5=1+4d.因为 a2 是 a1 和 a5 的等比中项,所以=a1·
2 (1+4d),所以 d(d-2)=0,所以 d=0 或 d=2,故 an=1 或 an=2n-1,从而 a7=1 或 a7=13. 即(1+d) =1×

故选 B.

4.某公司有 30 名男职员和 20 名女职员,公司进行了一次全员参与的职业能力测试,现随

机询问了该公司 5 名男职员和 5 名女职员在测试中的成绩(满分为 30 分),可知这 5 名男 职员的测试成绩分别为 16,24,18,22,20,5 名女职员的测试成绩分别为 18,23,23,18,23,则下 列说法一定正确的是 A.这种抽样方法是分层抽样

B.这种抽样方法是系统抽样 C.这 5 名男职员的测试成绩的方差大于这 5 名女职员的测试成绩的方差 D.该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数 【答案】C 【解析】本题考查抽样方法、平均数、方差的概念,属于容易题.掌握概念是恰当选择方 法和准确运算的保证. 根据抽样方法的特点,可知这种抽样既不是分层抽样,也不是系统抽样,故 A,B 是错误的, 从这 5 名男职员和 5 名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平 均数,故 D 是错误的,根据公式,可以求得这 5 名男职员的测试成绩的方差为=8,5 名女职员 的测试成绩的方差为=6,所以 C 正确,故选 C.

5. 已知某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是直角边长为 1 的等腰直角三角形,且体积

为,则该几何体的俯视图可以是

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】本题考查几何体的三视图,棱锥、圆锥的体积计算公式,属于容易题.根据三视图 还原出几何体,计算体积,也可利用排除法求解. 通解 若选项为 A,C,则该几何体为底面是等腰直角三角形的棱锥,体积为,不合题意;若选 项为 B,则该几何体为底面是正方形的棱锥,体积为,符合题意;若选项为 D,该几何体为四 分之一个圆锥,体积为,不合题意.故选 B. 优解 由题意知该几何体为锥体,体积为,故其底面面积应为 1,故选 B.

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 x 的值是 8,则实数 M 的最大值为

A.39 【答案】B

B.40

C.41

D.121

【解析】本题主要考查程序框图的相关知识,属于容易题.
1 1 2 1 2 3 执行程序框图可知,S=1,k=1;S=1+3 =4,k=2;S=1+3 +3 =13,k=3;S=1+3 +3 +3 =40,k=4.要

使输出的 x 的值是 8,则恰好 k=4 时退出循环,所以 13<M≤40,M 的最大值为 40.故选 B.

2 7. 已知抛物线 C:x =4y 的焦点为 F,Q 是抛物线上一点,线段 FQ 的延长线交抛物线的准线

于点 P,若,则|QF|= A.1 【答案】B 【解析】本题主要考查抛物线的定义、三角形相似等知识,属于中档题.准确画出图形,用 抛物线的定义和三角形相似求解. B. C. D.

2 由题意得抛物线 C:x =4y 的焦点 F(0,1),准线 l 的方程为 y=-1,过点 Q 作 QQ'⊥l 于点 Q',因

为,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点 F 到准线 l 的距离为|FF'|=2,所以,即|QF|=|QQ'|=.故选 B.

8.已知函数 f(x)=2cos(2x+φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于 y

轴对称,则函数 f(x)在[0,]上的最大值与最小值之和为 A.【答案】B 【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,同时考查数形结合思想,属于中档题.先由 平移后的函数图象的对称性求出 φ,再数形结合求最值. f(x)=2cos(2x+φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位长度后,得到 g(x)=2cos(2x+φ-),其图象关于 y 轴对称,则 φ-=kπ,k∈Z,所以 φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以 φ=,f(x)=2cos(2x+).因为 x∈[0,],所以 ≤2x+≤,所以 cos(2x+)∈[-1,],故函数 f(x) 在[0,]上的最大值为 1,最小值为-2,其和为-1.故选 B. B.-1 C.0 D.

9. PB、 PC,若 PA=PB, 已知点 P 在直径为的球面上,过点 P 作球的两两垂直的三条弦 PA、

则 PA+PB+PC 的最大值为 A. B.+1 C.+2 D.3

【答案】A 【解析】本题主要考查球与内接长方体的关系以及最值问题.抓住球的直径等于其内接 长方体的体对角线长是解题的关键. 解法一 由题意,易知以 PA、PB、PC 为棱长的长方体为该球的内接长方体.设 PA=PB=x,PC=y,则 x2+x2+y2=2x2+y2=2 ①,PA+PB+PC=2x+y,设 z=2x+y>0,代入①式并消
2 2 2 6× (z2-2)≥0 得-≤z≤,所以 0<z≤,PA+PB+PC 的最大值为, 去 y,得 6x -4zx+z -2=0,由 Δ=(-4z) -4×

故选 A. 解法二 由题意,易知以 PA、PB、PC 为棱长的长方体为该球的内接长方体.设 PA=PB=x,PC=y,则 x2+x2+y2=2x2+y2=2,可设 x=cosθ,y=sinθ,则 z=2x+y=2cosθ+sinθ=sin(φ+θ)(tanφ=),所以 z 的最大值为,故选 A.

10.如图,矩形 ABCD 的周长为 8,设 AB=x(1≤x≤3),线段 MN 的两端点在矩形的边上滑动,

且 MN=1,当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一周时,线段 MN 的中点 P 所形成的 轨迹为 G,记 G 围成的区域的面积为 y,则函数 y=f(x)的图象大致为

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】本题主要考查考生的数学建模能力,本质上是研究点的轨迹,属于中上等难度的 题目.找到点 P 的轨迹,剩下的问题即可迎刃而解.

通解 由题意可知点 P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为的扇形.因为矩形 ABCD 的周长为 8,AB=x,则 AD==4-x,所以 y=x(4-x)-=-(x-2)2+4-(1≤x≤3),显然该函数的图象 是二次函数图象的一部分,且当 x=2 时,y=4-∈(3,4),故选 D. 优解 在判断出点 P 的轨迹后,发现当 x=1 时,y=3-∈(2,3),故选 D.

11. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴端点分别为 A1,A2,记双曲线的其中一个焦点为 F,一个

虚轴端点为 B,若在线段 BF 上(不含端点)有且仅有两个不同的点 Pi(i=1,2),使得∠A1PiA2=, 则双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(,) 【答案】A 【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与圆的位置关系,同时考查化归与转化、 数形结合思想.注意:∠A1PiA2=,即以 A1A2 为直径的圆过点 Pi(i=1,2),转化为直线与圆的位 置关系.另外 BF 为线段,与直线 BF 有区别,故 b>a. 由于在线段 BF 上(不含端点)有且仅有两个不同的点 Pi(i=1,2),使得∠A1PiA2=,说明以 A1A2 为直径的圆与 BF 有两个交点.首先要满足 a<b,即 e>,另外还要满足原点到直线 BF:+=1(不妨取 F 为双曲线的上焦点,B 为右端点)的距离小于半径 a,因为原点到直线 BF
4 2 2 4 2 2 的距离为,则<a,整理得 b <a c ,即 e -3e +1<0,解得 e <.综上可知<e<.故选 A.

B.(,)

C.(1,)

D.(,+∞)

12.已知函数 f(x)=x3-x,设 g(x)是定义在 R 上的偶函数,若当 x>0 时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,

则不等式 f(x)g(x)>0 的解集是 A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】A 【解析】本题主要考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性,对构造函数的能力、
3 数形结合思想要求较高,属于难题.由 f(x)=x -x 知,f(x)为奇函数,且 f(0)=f(1)=f(-1)=0,由

B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1)

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0 联想到构造函数 F(x)=f(x)g(x),由已知得其单调性、奇偶性和零点,画 出其大致图象,得结果. 令 F(x)=f(x)g(x),由题意知,F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),所以 F(x)为奇函数,且 F(0)=F(1)=F(-1)=0.又当 x>0 时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,所以 F(x)在(0,+∞)上单调递增, 综合 F(x)的性质可知,F(x)=f(x)g(x)>0 的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选 A.

二、填空题:共 4 题
13.若 sinα=-,且 α 是第三象限角,则 sin 2α-cos2α=

.

【答案】 【解析】 本题主要考查同角三角函数的关系、 二倍角公式等,属于容易题.由 sinα 求出 cosα, 代入求解即可.
2 2 ∵sinα=-,且 α 是第三象限角,∴cosα=-,∴sin 2α-cos α=2sinαcosα-cos α=.

14.若二项式(+)n 展开式的二项式系数之和为 32,常数项为 10,则实数 m 的值为

.

【答案】2 【解析】本题主要考查二项展开式的二项式系数、通项,考查待定系数法以及考生的运 算求解能力,属于容易题.二项式定理在高考中出现的频率高但难度不大,主要考查基本 概念,如系数、二项式系数、指定次数项等,待定系数法和赋值法是主要方法.
n n r 5-r r ∵二项式(+) 展开式的二项式系数之和为 32,∴2 =32,∴n=5,∵Tr+1=() () =m ,令-r=0,得

r=1,∴常数项为 m=10,∴m=2.

15.已知实数 x、y 满足不等式组,若 z=3x+y 的最小值是 8,则实数 a=

.

【答案】 【解析】本题主要考查不等式组表示的平面区域等知识,先作出不等式组表示的平面区 域△ABC(包括边界),求点 B 的坐标,平移直线 3x+y=0,当经过点 B 时,目标函数 z 取得最小 值 8,把点 B 的坐标代入 z=3x+y,即可求得实数 a 的值.

不等式组表示的平面区域如图中△ABC(包括边界)所示,平移直线 3x+y=0,当经过点 B 时, 目标函数 z=3x+y 取得最小值 8,联立可得 B(a,2a-6),所以 3a+2a-6=8,解得 a=.

16.已知数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和为 Sn,且 an+1=2Sn+2n+2(n∈N*),则 Sn=

.

3n+1-n【答案】× 【解析】本题主要考查 Sn 与 an 的关系、由递推数列求通项公式,属于难题.已知等式中含 Sn 和 an,求 Sn,有两条路径:Sn-Sn-1→an→Sn,或 an=Sn-Sn-1→Sn,之后都会出现相邻两项的递推 公式,再化为等比数列求解.
* 解法一 由 an+1=2Sn+2n+2(n∈N )可知,当 n=1 时,a2=2S1+4=8,当 n≥2 时,an=2Sn-1+2(n-1)+2,

两式相减得,an+1=3an+2,所以 an+1+1=3(an+1).又 a1+1=3,a2+1=9,a2+1=3(a1+1),所以数列 {an+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列,故 an+1=3n,所以 an=3n-1,所以 Sn=× 3n+1-n-.
* 解法二 由 an+1=2Sn+2n+2(n∈N )可知,Sn+1-Sn=2Sn+2n+2,所以 Sn+1+(n+1)+=3(Sn+n+),

3n-1=,所以 Sn=-n-. 所以数列{Sn+n+}是以 S1+1+为首项,3 为公比的等比数列,所以 Sn+n+×

三、解答题:共 8 题
17.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 2sin2A+3cos(B+C)=0.

(1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5,a=,求 sinB+sinC 的值.
2 【答案】(1)由 2sin A+3cos(B+C)=0, 2 得 2cos A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0.

解得 cosA=或 cosA=-2(舍去). 因为 0<A<π,所以 A=. (2)由 S=bcsinA=bc× bc=5,得 bc=20.
2 2 2 2 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA=(b+c) -3bc=21,

所以 b+c=9. (b+c)=× 9=. 由正弦定理,得 sinB+sinC=sinA+sinA=× 【解析】 本题主要考查三角形内角和定理、 诱导公式、 正弦定理与余弦定理的应用.第(1) 问利用 B+C=π-A,将角统一,再统一名称,解方程可得;第(2)问已知 A,a,故公式选择 S=bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,最后用正弦定理将角化为边即可求解. 【备注】三角函数的化简求值问题,注意观察角与角的关系、函数名称之间的关系以及 式子的结构特点,一般按照“角→名→形”的顺序切入分析;正、余弦定理及面积公式,注意 根据式子的特征恰当选择,余弦定理是一角与三边的关系,正弦定理是对应边与角的关系, 它们都可以实现边角的转化.

18.如图,一块正方体木料的上底面有一点 E,若点 E 在线段 C1A1 上,且 C1E=C1A1.

(1)请经过点 E 在上底面画一条直线与 CE 垂直,并说明理由; (2)求直线 CE 与平面 BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)在上底面过点 E 作 MN⊥C1E(M 在 C1D1 上,N 在 B1C1 上),则 MN⊥CE. 证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,CC1⊥平面 A1B1C1D1, 而 MN?平面 A1B1C1D1,所以 CC1⊥MN. 又 MN⊥C1E,且 C1E∩CC1=C1,所以 MN⊥平面 CC1E, 而 CE?平面 CC1E,所以 MN⊥CE.

(2)解法一 连接 B1E,设正方体的棱长为 4,则 B1E=, 所以 BE=DE=, =12,设点 C 到平面 BDE 的距离为 h, 所以 S△BDE=BD· 4,所以 h=. 由 VE-BCD=VC-BDE,得 12h=8× 设直线 CE 与平面 BDE 所成的角为 θ,又 CE=3,则 sinθ=, 所以直线 CE 与平面 BDE 所成角的余弦值为.

解法二 以点 D 为坐标原点,DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系 D-xyz,不妨设正方体的棱长为 a(a>0),则 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).

因为点 E 在线段 C1A1 上,且 C1E=C1A1,所以 E(,a,a),=(,-,a). =(a,a,0),=(,a,a),设平面 BDE 的法向量为 n=(x,y,z),则,可得, 不妨取 y=-2,则 n=(2,-2,1)为平面 BDE 的一个法向量. cos<,n>=, 所以直线 CE 与平面 BDE 所成角的余弦值为. 【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的求法,考查 考生的空间想象能力及计算能力,属于中等难度题.第(1)问,在上底面任画一条直线都与 CC1 垂直,故只需要所作直线垂直于 EC1,就得到垂直于平面 CC1E,从而垂直于 CE;第(2) 问,可以利用空间向量法与传统法求解. 【备注】近几年立体几何解答题主要考查:(1)直线与平面、平面与平面的平行和垂直的 证明,有时隐藏在实际问题中;(2)空间角的计算,一般倾向于用空间向量法求解,有时也可 能涉及表面积、体积的计算.

19.某中学不断深化教育改革,办学质量逐年提高.该校记录了从 2006 年到 2015 年 10 年

间每年考入“985”院校的人数.为方便计算,2006 年编号为 1,2007 年编号为 2,……,2015 年 编号为 10.数据如下:

(1)从这 10 年中的后 6 年随机抽取 2 年,求考入“985”院校的人数至少有 1 年多于 20 人的 概率; (2)根据前 5 年的数据,以年份编号为横坐标,当年考入“985”院校的人数为纵坐标建立平 面直角坐标系,由所给数据描点作图; (3)在(2)的前提下,利用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程 y=x+,并计算 2013 年的估计 值和实际值之间的差的绝对值. 附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线 y=x+的斜率和截距的最小二乘法估 计值分别为

【答案】(1)设“考入?985?院校的人数至少有 1 年多于 20 人”为事件 A, 则 P(A)=1-. (2)根据数据,描点如图:

(3)由前 5 年的数据得=3,=8,

所以 y 关于 x 的回归方程为 y=2.6x+0.2. 8+0.2=21, 所以 2013 年的估计值为 2.6× 则 2013 年的估计值与实际值之间的差的绝对值为|21-22|=1. 【解析】本题主要考查古典概型、散点图、线性回归方程等知识,主要考查数据处理能 力,属于中等难度题.第(1)问“至少”问题,反面情况较少,故可间接计算;第(2)(3)问,根据提 供的数据及回归分析的知识求出回归方程,代入数据准确计算即可. 【备注】 概率与统计解答题,以统计为主,辅以简单概率计算.概率主要考查古典概型,统计 则可能涉及抽样方法、频率分布直方图、茎叶图的数据处理,离散型随机变量的概率计 算,或者线性回归、相关性研究等,除了考查基础知识外,对数据处理能力有较高要求.

20. 已知椭圆 E:+=1(a>b>0)与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2 为椭圆的焦点,且△MF1F2

是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B. (1)直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由; (2)求△ABM 的面积的最大值. 【答案】(1)因为△MF1F2 是边长为 2 的等边三角形, 所以 2c=2,b=c,a=2,所以 a=2,b=, 所以椭圆 E:+=1,点 M(0,). 将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,
2 2 整理得(3+4k )x +16kx+36=0. (*)

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得 Δ=(16k)2-4(3+4k2)× 36=48(4k2-9)>0,所以 k∈(-∞,-)∪(,+∞),x1+x2=-,x1x2=.

kMB=· =k2+=k2+=k2+, 所以直线 MA,MB 的斜率之积 kMA· 所以直线 MA,MB 的斜率之积是定值. (2)记直线 l:y=kx+2 与 y 轴的交点为 N(0,2), |x2-x1|=≤, 则 S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=|MN|·
2 当且仅当 4k -9=12,即 k=± ∈(-∞,-)∪(,+∞)时等号成立,

所以△ABM 的面积的最大值为. 【解析】本题主要考查椭圆基本量的计算,直线与椭圆相交中的定值、最值问题,考查转 化能力、计算能力,属于难题.第(1)问由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想, kMB 用 x1+x2,x1x2 表示,也就是用 k 表示,最终化出定值;第(2)问将面积用|x2-x1|表示, 将 kMA· 化为关于 k 的函数,用基本不等式求最值. 【备注】解析几何解答题可能涉及圆、抛物线,但更多是研究直线与椭圆的位置关系,主 要考查“设而不求”的思想,往往需要将题目所给的几何关系用代数式进行表达,最终用代 数运算解决几何问题.主要类型有:定点(定值)问题、 范围(最值)问题、 探究性问题等.通常 以三角形、平行四边形、垂直关系、对称关系等为载体,有时可以借助初中平面几何知 识进行转化,一般步骤是联立方程,通过判别式、 根与系数的关系,用代数式刻画几何关系.

21.已知函数 f(x)=,φ(x)=(x-1)2· f'(x).

(1)若函数 φ(x)在区间(3m,m+)上单调递减,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意的 x∈(0,1),恒有(1+x)· f(x)+2a<0(a>0),求实数 a 的取值范围.

【答案】(1)因为 f(x)=,所以 f'(x)=, 所以 φ(x)=lnx+-1(x>0,且 x≠1),则 φ'(x)=-. 当 φ'(x)<0 时,0<x<1,此时 φ(x)单调递减, 若函数 φ(x)在区间(3m,m+)上单调递减,则(3m,m+)?(0,1), 所以,所以 0≤m<, 所以实数 m 的取值范围为[0,). (2)对任意的 x∈(0,1),恒有(1+x)· f(x)+2a<0,即(1+x)· +2a<0, (*) 因为 x∈(0,1),所以>0, 所以(*)式可变为 lnx+<0. 设 h(x)=lnx+, 则要使对任意的 x∈(0,1),lnx+<0 恒成立,只需 h(x)max<0. h'(x)=,
2 2 设 t(x)=x +(2-4a)x+1,Δ=(2-4a) -4=16a(a-1).

①当 0<a≤1 时,Δ≤0,此时 t(x)≥0,h'(x)≥0,所以 h(x)在(0,1)上单调递增,又 h(1)=0,所以 h(x)<h(1)=0,所以 0<a≤1 符合条件;

②当 a>1 时,Δ>0,注意到 t(0)=1>0,t(1)=4(1-a)<0,所以存在 x0∈(0,1),使得 t(x0)=0,于是对任 意的 x∈(x0,1),t(x)<0,h'(x)<0,则 h(x)在(x0,1)上单调递减,又 h(1)=0,所以当 x∈(x0,1) 时,h(x)>0,不符合要求. 综合①②可得 0<a≤1. 【解析】本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及不等式恒成立等知识,对运算能 力、函数与方程思想要求很高,属于难题.第(1)问可求出 φ(x)的单调递减区间,用集合间的 包含关系求出 m 的取值范围;第(2)问是不等式恒成立问题,构造函数求解. 【备注】函数与导数解答题一般设置两问,研究类型主要有:(1)利用导数研究函数的单调 性、 极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数研究函数 零点的个数、函数图象等.

22. ,F 在 AC 上,且 AE=AF. 如图,已知△ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60°

(1)证明:B,D,H,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF. ,所以∠BAC+∠BCA=120° . 【答案】(1)在△ABC 中,因为∠B=60° 因为 AD,CE 是角平分线, , 所以∠HAC+∠HCA=60° , 故∠AHC=120° . 于是∠EHD=∠AHC=120° ,所以 B,D,H,E 四点共圆. 因为∠EBD+∠EHD=180°

(2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的角平分线,∠HBD=30° , 由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, , 所以∠CED=∠HBD=30° 因为 AE=AF,AD 为角平分线,所以 EF⊥AD, , 又∠AHE=∠EBD=60° , 所以∠CEF=30°

所以 CE 平分∠DEF. 【解析】本题主要考查四点共圆的判定等,属于中档题,考查考生对基础知识的掌握情况. 【备注】近几年高考主要考查圆和三角形的相关知识,考查考生的推理能力,题目常用多 个定理进行论证,因此圆的性质以及三角形的性质的灵活运用是解题的关键.

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-1,0),且倾斜角为 α,以原点 O 为极点,以 x 轴的

非负半轴为极轴,取与直角坐标系 xOy 相同的长度单位,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方 程为 ρ=2cosθ. (1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围; (2)求直线 l1:x-y=0 被曲线 C 所截得的弦长.
2 2 2 【答案】由 ρ=2cosθ 得 ρ =2ρcosθ,即 x +y =2x, 2 2 2 2 所以曲线 C 的方程为 x +y -2x=0,即圆 C:(x-1) +y =1.

通解 (1)直线 l 经过点 P(-1,0),且倾斜角为 α, 当 α=时,直线 l 的方程为 x=-1,与曲线 C 没有公共点; 当 α≠时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),因为直线 l 与曲线 C 有公共点, 所以圆心到直线 l 的距离 d=≤1,所以 k∈[-,]. 又 k=tanα,α∈[0,π),所以 α∈[0,]∪[,π). (2)曲线 C 的方程为 x2+y2-2x=0, 设直线 l1:x-y=0 被曲线 C 所截得的弦为 AB, 由得或,所以 A(0,0),B(,)或 A(,),B(0,0), 故|AB|=, 即直线 l1:x-y=0 被曲线 C 所截得的弦长为.

优解 (1)如图所示,过点 P 作直线 PQ、PR 与圆 C 分别相切于点 Q、R,连接 QC,CR, 易得|PC|=2,|QC|=1,所以∠QPC=,同理,∠RPC=. 因此,α 的取值范围为[0,]∪[,π).

(2)如图所示,直线 l1 与圆 C 交于点 O,S,连接 SC,在△OCS 中,∠SOC=,OC=SC=1, 所以∠OSC=,∠OCS=, 由余弦定理得 OS=,即直线 l1 被曲线 C 所截得的弦长为. 【解析】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系,属于 中档题.通解 第(1)问可以用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系, 从而求出 α 的取值范围;第(2)问可以用距离公式求弦长.优解 根据数据的特殊性,直接研 究临界位置,用平面几何知识解决. 【备注】近几年高考主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程 的互化,大多数时候最终都化为普通方程、直角坐标方程,但有时用直线的参数方程、圆 锥曲线的极坐标方程解决更为便捷.

24.已知函数 f(x)=|x+1|-λ,λ∈R,且 f(x-1)≤0 的解集是[-1,1].

(1)求 λ 的值; (2)若 r,s∈R,且 r>0,s>0,+=λ,求 r+2s 的最小值. 【答案】(1)因为 f(x)=|x+1|-λ,所以 f(x-1)=|x|-λ. 而 f(x-1)≤0,即|x|≤λ 的解集是[-1,1],所以 λ=1. (2)由(1)可得+=1. 通解 因为 s,r∈R,且 r>0,s>0,所以 1=+≥2(当且仅当时等号成立), 由此可得≥2,当且仅当 r=2s=2 时等号成立. 所以 r+2s≥2≥4,当且仅当 r=2s=2 时等号成立. 所以 r+2s 的最小值为 4. 优解 因为 s,r∈R,且 r>0,s>0,所以 r+2s=(r+2s)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当,即 r=2,s=1 时 等号成立. 所以 r+2s 的最小值为 4. 【解析】本题主要考查绝对值不等式、基本不等式,同时考查考生分析问题、解决问题 的能力,属于中档题.第(2)问可以两次使用基本不等式,也可以直接配凑求解.


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