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湖南省益阳市一中、岳阳县一中、澧县一中2013-2014学年高二第二学期期末三校联考数学(理)试题


益阳市一中 岳 阳 县 一 中 2012级高二年级第二学期期末联考试卷 澧 县 一 中

数学(理科)
时量:120分钟 命题: 岳阳县一中 唐 亮 分值:150分 审题: 岳阳县一中 易正红

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1.复数 z ?

i(2 + i) 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 A ? {x 2 x ? 1 ? 3} , B ? {x x2 ? 4} ,则 A A. {x ? 2 ? x ? 1} B. {x x ? 2}

B?(

) D. {x x ? 2} )

C. {x ? 2 ? x ? 1}

3.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sn ? 2 ? Sn ? 36 ,则 n ? ( A. 5 B. 6 C. 7 )
4 6

D. 8

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A. 12 C. 36 B. 24 D. 72 )

3
左视图 左视图

5. ( x ? 2)6 的展开式中 x 2 的系数是( A. ?120 C. ?60 B. 120 D. 60

主视图 主视图

俯视图 俯视图 )

6.设 a,b 表示直线,α ,β ,γ 表示不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α C.若 a∥α 且 a∥β ,则 α ∥β

B.若 γ ⊥α 且 γ ⊥β ,则 α ∥β D.若 γ ∥α 且 γ ∥β ,则 α ∥β

?x ? y ?1 ? 0 ? 7.已知 P ( x, y ) 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域内的一点, A 点坐标为 (1, 2) ,且 O 为坐标 ? ?x ? 0
原点,则 OA ? OP 的最大值为( A. 2 B. 3 ) C. 5 D. 6

8.现有 6 本不同的教科书,语文、数学、英语各 2 本,需将它们在书架上摆成一排(不叠放), 其中语文书必须摆在两端,且两本数学书相邻,则不同摆法的种数为( A. 12 B. 18 C. 24 ) D. 36

9.直线 y ? x ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 16 交于不同的两点 M , N ,且 MN ? 3 OM ? ON ,其中 O 是坐标

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原点,则实数 m 的取值范围是( A. (?2 2, ? 2] ? [ 2,2 2) C. [?2, 2]

) B. (?4 2, ?2 2] ? [ 2,2 2) D. [?2 2,2 2]

?1 ? x ? 1, x ? 1 10.已知函数 f (x)= ?10 ,则方程 f (x)=ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值 ? ln x ? 1, x ? 1 ?
范围是( ) B. (?1,

A.(-1,0)

1 ) 10

C. (?1,0] (

1 1 , ) 10 e2

D. (?1,

1 ) e2

二、填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) (一)选作题(请考生在 11、12、13 三题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题记分) 11.如右图, AB 为圆 O 的直径, AB ? 2 ,过圆 O 上一点 M 作圆 O 的切线, 交 AB 的延长线于点 C ,过点 M 作 MD ? AB 于点 D ,若 D 是 OB 中点。 则
AC ? BC ?



12. 在直角 坐标系 xoy 中 , 以原 点 O 为极点, x 轴的正半 轴为极 轴建立 极坐标系 。已知 直线

x ? sin ? ? cos? ? ( 2 cos ? ? sin? ) ? 2a 与曲线 ? ( ? 为参数 )有两个不同的交点,则实数 a 的 ? ? y ? 1 ? sin 2?
取值范围为 。

13.若 x 2 ? y 2 ? 1,则 x ? 2 y 的最大值为



(二)必作题(14~16 题) 14.计算

?

3

0

(2x ? 1)dx =



15. 已知整数的数对列如下: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4), ?? 则第 60 个数对是 。 1 3 5 。 7 9 18 11 6 11 3 5 7 9

16.如右图,一个类似杨辉三角的数阵,则 (1) 第 9 行的第 2 个数是 ;

(2) 若第 n(n≥2)行的第 2 个数为 291,则 n =

22 18 ??

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三、解答题(本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (2sin x,2cos x), b ? ( 3cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ? m 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值为 2。 ? 2? ?

(Ⅰ) 求常数 m 的值; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边是 a , b , c ,若 f ( A) ? 1 , sin B ? 3sin C , ?ABC 面积为

3 3 ,求边长 a 。 4

18.(本小题满分 12 分) 某名牌大学从湖南省“自主选拔”招收某类特殊人才,对 20 位已经选拔入围的学生进行运动 协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如右下表。例如 ,表中运动协调能力良好且逻辑思维 能力一般的学生有 4 人。由于部分数据丢失,只知道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽 到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为

2 。 5

(Ⅰ) 求 a , b 的值; (Ⅱ) 从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优 秀的学生的概率; (Ⅲ) 从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,设抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀学生的人 数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E (? ) 。 逻辑思维能力 运动协调能力 一般 良好 优秀 一般 2 4 良好 2 b 3 优秀 1 1 a

1

19.(本小题满分 12 分) 如图 , 在四棱锥 P ? ABCD 中 , 底面 ABCD 是正方形, 侧面 PAD ? 底面 ABCD , E , F 分别为 PA , BD 中点, PA ? PD ? AD ? 2 。 (Ⅰ) 求证: EF // 平面 PBC ; (Ⅱ) 求二面角 E ? DF ? A 的余弦值。

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20.(本小题满分 13 分) 为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会。计划用 1600 万元购得一块土地,在该土 地上建造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1000 平方米,每平方 米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数)。经测 算,若每幢楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1270 元。 (每平方米平均综合费用= 购地费用+所有建筑费用 )。 所有建筑面积 (Ⅰ) 求 k 的值; (Ⅱ) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方 米的平均综合费用为多少元?

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,右焦点到到右顶点的距离为1 。 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 是否存在与椭圆 C 交于 A , B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) , 使得 | OA ? 2OB |? | OA ? 2OB | 成立?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由。

22.(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? x ln x ? ax, g ( x) ? ? x2 ? 2 ; (Ⅰ) 对一切 x ? (0, ??), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在 [m, m ? 3](m ? 0) 上的最值; (Ⅲ) 证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ?

1 2 ? 成立。 e x ex

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益阳市一中 岳阳县一中 澧县一中二年二期期末联考试卷答案

数学(理科)
一、选择题 B B D A D 二、填空题 11. 3 12. [0, ) D D C D C

1 4

13. 5

14.

6

15. (5,7)

16. (1) 66

(2)

18

三、解答题 17. 【解】 (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m = f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos 2 x ? m

? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? m

? 2(sin 2 x ?

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 ??????????????2 分 6 ? ?? ? ? ? 7? ? 因为 x ? ? 0, ? ,所以 2 x ? ? ? , 6 ?6 6 ? ? ? 2?
故当 2 x ?

?

3 1 ? cos 2 x ? ) ? m ? 1 2 2

?
6

?

?
2

即x?

?

6

时, f ( x) max ? f ( ) ? m ? 3 ? 2 得 m ? ?1 ??????6 分

?

6

(Ⅱ)因为 f ( A) ? 1 ,所以 2sin(2 A ? 又 0 ? A ? ? ,所以

?
6

6 又 sin B ? 3sin C ,由正弦定理得 b ? 3c
且 S ?ABC ?

? 2A ?

?
6

?

? 1 ) ? 1 ,即 sin(2 A ? ) ? 6 6 2 13? ? 5? ?
?
,故 2 A ? ①

6

?

6

,即 A ?

3

?????????8 分

1 1 ? 3 3 ,得 bc ? 3 ② bc sin A ? bc sin ? 2 2 3 4 由①和②解得 b ? 3, c ? 1 ????????????????????????1 0 分
故 a ? b ? c ? 2bc ? cos A ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1? cos
2 2 2 2 2

?
3

=7,所以 a ?

7 ?????12 分

18.【解】 (I)设事件 A ={抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}. 由题意可知, n( A) ? 6 ? a, 又 n(?) ? 20 ,故由古典概型知.

6?a 2 ? ,得 a ? 2 , b ? 20 ? (2 ? 2 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ? 3 ? 2) ? 4 ????????3 分 20 5 (II)设事件 B ={至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生}. P( A) ?
由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 8 人. C 2 62 ? 则 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 12 ????????????????????? 6 分 2 C20 95 (III)由题知 ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 .
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20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人.
1 1 2 C12 C8 C82 14 C12 33 48 , , . ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C20 95 C20 95 C20 95 所以 ? 的分布列为,如右表所示,

所以 P(? ? 0) ?

?

0

1

2

P

所以 E(? ) ? 0 ?

33 48 14 4 ? 1? ? 2 ? ? ???????? 12 分 95 95 95 5

33 95

48 95

14 95

19. 【解】 (Ⅰ)证明:如图,连结 AC . z 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC 与 BD 互相平分. P 又因为 F 是 BD 中点,所以 F 是 AC 中点. 在△ PAC 中, E 是 PA 中点, F 是 AC 中点, 所以 EF ∥ PC ,又因为 EF ? 平面 PBC , E 所以 EF ∥平面 PBC ;????????5 分 O (Ⅱ)取 AD 中点 O ,在△ PAD 中,因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD . A 因为面 PAD ? 底面 ABCD ,且面 PAD 面 ABCD =AD , x 所以 PO ? 面 ABCD ,因为 OF ? 平面 ABCD ,所以 PO ? OF . 又因为 F 是 AC 中点,所以 OF ? AD . 如图,以 O 为原点, OA, OF , OP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 因为 PA ? PD ? AD ? 2 ,所以 OP ? 3 ,则有

D F B

C y

1 3 O(0,0,0) , A(1,0,0) , B(1, 2,0) , C (?1,2,0) , D(?1,0,0) , P(0,0, 3) , E ( ,0, ) , F (0,1,0) . 2 2 3 3 于是 AB ? (0,2,0) , DE ? ( ,0, ) , DF ? (1,1,0) . 2 2 显然 OP ? (0,0, 3) 是平面 FAD 的一个法向量. 设平面 EFD 的一个法向量是 n = ( x, y, z ) .
故?

? x ? y ? 0, ? 即 ?3 令 x ? 1 则 n = (1, ?1, ? 3) . 3 x? z ? 0, ? ?n ? DE ? 0, ? 2 ?2

? ?n ? DF ? 0,

所以 cos ? OP, n ? ?

OP ? n OP ? n

?

?3 3? 5

?

15 . 5
15 ????????????12 分 5

由图可知,二面角 E-DF-A 为锐角,所以其余弦值为

20.【解】(Ⅰ)当每栋楼建为 5 层时,那么每栋楼的建筑费用为: {(k ? 800) ? (2k ? 800) ? (3k ? 800) ? (4k ? 800) ? (5k ? 800)}? 1000 ? (15k ? 5 ? 800) ? 1000 ? 5(3k ? 800) ? 1000 又 10 栋楼的建筑总费用为: 50(3k ? 800) ?1000 ,建筑总面积为 10 ? 5 ? 1000 ????3 分 所以每平方米的平均综合费用为

所以 k ? 50 ???????????????????????????????6 分 (Ⅱ)假设将这 10 栋楼房都建设为 n 层,那么 ①每栋楼的建筑费用: [50(1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n) ? 800n] ?1000 ? [25n(n ? 1) ? 800n] ?10000 ????????8 分
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1600 ?10000 ? 50(3k ? 800) ?1000 1600 ? 5(3k ? 800) ? ? 320 ? 3k ? 800 ? 1270 10 ? 5 ?1000 5

②10 栋楼的总建筑面积 10000n 平方米???????????????????9 分 ③小区楼房每平方米的平均综合费用为:

1600 ?10000 ? [25n(n ? 1) ? 800n] ?10000 1600 ? 25n(n ? 1) ? 800n ? 10000n n 1600 1600 ? ? 25n ? 825 ? 2 ? 25n ? 825 ? 1250(元) ?????????????11 分 n n 1600 当且仅当 ? 25n ( n ? N ? ) ,即 n ? 8 时平均综合费用最小,最小值为 1250 元??13 分 n
21.【解】(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 依题意 e ?

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . a2 b2

c 1 ? ,由右焦点到右顶点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 ,解得 c ? 1 , a ? 2 . a 2 x2 y2 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 . 所以椭圆 C 的标准方程是 ? ? 1 ;??????????5 分 4 3 (Ⅱ)假设存在这样的直线 l ,符合题意,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
由 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB ,等价于 OA ? OB ? 0 . 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
2 2 故 (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ,??①?????????????????7 分
2 2

? y ? kx ? m, 由? 2 得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 . 2 3 x ? 4 y ? 12 ? ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 ??②
4m 2 ? 12 8km x x ? , ,???????????????????9 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 4m 2 ? 12 8km 12 ? km ? ? m 2 ? 0 ,即 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 ,得 m2 ? , 代入①式得 (1 ? k 2 ) ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7 7 7 3 又将 k 2 ? m2 ? 1 代入②式得, 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m2 ? 1) ? m2 ,解得, m2 ? . 12 12 4 12 2 2 从而 m2 ? , m ? 21 或 m ? ? 21 . 7 7 7 2 2 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 21] [ 21, ??) .????????????13 分 7 7
且 x1 ? x2 ? ? 22. 【解】(Ⅰ)对一切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒成立,

2 在 x ? (0,??) 恒成立. x 2 1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)(x ? 1) ? 令 F ( x ) ? ln x ? x ? , F ? ( x) ? ? 1 ? 2 ? , ??????3 分 x x x x2 x2 在 (0, 上 F ? ( x) ? 0 ,因此, F ( x) 在 x ? 1 处取极小值, , ? ?) 上 1) 上 F ? ( x) ? 0 ,在 (1 也是最小值,即 Fmin ( x) ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3 .????????????????5 分 1 f ( x) ? x ln x ? x , f ? ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ? ( x) ? 0 得 x ? 2 .????6 分 (Ⅱ)当 a ? ?1时, e
即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒成立.,即 a ? ln x ? x ?
2

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广义上讲,有 x ? (0, 又显然 m ? 3 ? ①当 0 ? m ?

1 1 ) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 递减,当 x ? ( 2 , ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 递增, 2 e e

1 ,所以 e2

1 1 1 时,显然 f ( x)min ? f ( 2 ) ? ? 2 . 2 e e e

又 f (m) ? m(ln m ? 1) ? m(ln e?2 ? 1) ? ?m ? 0 ,而 f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 因此, f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ?????????????8 分

1 时 ,显然 f ( x)在[m, m ? 3] 上单调递增,所以 e2 f min ( x) ? f (m) ? m(ln m ? 1) , f max ( x) ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ??10 分 x 2 (Ⅲ)证明:问题等价于证明 x ln x ? x ? x ? ( x ? (0,?? )) , e e 1 1 由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 2 ,当且仅当 x ? 2 时取得, e e x 2 1? x 设 G ( x) ? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 G ? ( x ) ? x , e e e 1 易知 Gmax ( x) ? G (1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 1 1 但? 2 ?? , 从而可知对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? 1 ? x ? 成立.????13 分 e e e ex
②当 m ?

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