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2.2.2对数函数及其性质(二)


第二章 基本初等函数(Ⅰ)

§2.2.2 对数函数及其性质(二)

复习:

一般地,我们把函数 y = loga x(a > 0,a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域 (0, ??) 为 .

复习:对数函数 y ? log a x 的图象与性质 a>1
3
3 2.5

0<a<1
2.5 2 1.5

2

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: x∈(0,+∞)

函 数 性 质

值域 : y ? (??, ??)
过点(1,0),即当x=1时,y=0 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (0,1) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0 x ? (1,??) ? y ? 0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数

例2 求下列函数的定义域? 2 (1) y = log a x (a>0且a≠1) (2) y = loga (4 - x) (a>0且a≠1)

log 1 x-1
(3)

y=

2

2 x-1

(3)要使函数有意义,则
1 ? ? 2 x-1 ? 0 ?x ? 2 ? ? ? ? ?x ? 0 ? x>0 ? ?log x-1 ? 0 1 ?x ? 1 ? 2 ? 2 ?

1 ?0?x? 2

1 ∴ 函数的定义域为 (0, ) 2

例1. 比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 25 和 log 27 (2) log 0.35 和 log 0.37 (3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1)

(1)log 25 与log 27
解:考察对数函数 y = log 2x,
底数2>1,所以在(0,+∞)上是增函数, 由图象观察:
y log 27 log 25 0 1 5 7 x
y ? log 2 x

得到:log 25<log 27

(2)log 0.35 与 log 0.37
解:考察对数函数 y = log
y

x, 底数为0.3, 即0<0.3<1,所以在(0,+∞)上是减函数, 由图 象观察:
0.3

y = log 0.3 x 0 log 0.35 log 0.37 1 5 7 x

得到:log 0.35>log 0.37

(3)log a5 与log a7 ( a>0 且 a≠1 )
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大? 因此需要对底数a进行讨论:
y 0 1 x y 0 x

1

当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故 log a5<log a7 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故 log a5>log a7

总 结
1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小.

2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类 讨论.

例2:比较下列各组数中两个值的大小: log 6 7 > log 6 6 = 1 log 7 6 < log 7 7 = 1 log 6 7 > log 7 6 log 3 2 > log 3 1 = 0 log 2 0.8 < log 2 1 = 0 log 3 2 > log 2 0.8

总 结

当底数不相同,真数也不相同时,利用“介值法”

常需引入中间值0或1(各种变形式).

例3:比较下列各组数中两个值的大小:

log 2 7 与 log 5 7
解:∵ 1> log 7 5 > log 7 2 >0

y
log 2 7 log 5 7

y ? log2 x y ? log5 x

1 1 ? ? log 7 2 log 7 5

o

1

7

x

总 结

∴ log 2 7 > log 5 7

1.利用换底公式的运算,取倒数后转化为同底 问题. 2.当底数不相同,真数相同时,利用图象判断大小.

小结:两个对数比较大小
(一)同底数比较大小 1.当底数确定时,则可由函数的 单调性直接进行判断; 2.当底数不确定时,应对底数进 行分类讨论。 (二)同真数比较大小 1.通过换底公式; 2.利用函数图象。 (三)若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。

练习1: 比较下列各题中两个值的大小:
你能口答吗? 变一变还能口答吗?

< 1 、 log0.5 6 ______log0.54
2 、 log1.5 ______log1.5 >
1.6 14 .

3、 若 log3 m ? log3 n < ,则m___n;
4、 若 log0.7 ? log0.7 , 则m___n. >
m n

函数y=loga(x+1)-2 (a>0, a≠1) 例4: 的图象恒过定点 .

例5:求下列函数的值域:
(1)y ? log
1 2

(-x 2 - 4x ? 12);

y ? log 1 (x 2 - 2x - 3); (2)
2

(3)y=loga(a-ax)(a>1). 【分析】复合函数的值域问题,要先求函数的定义域, 再由单调性求解.

【解析】(1)∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12

=-(x+2)2+16≤16,
又∵-x2-4x+12>0,
2 1 ∴y≥log 16=-4. 2

∴0<-x2-4x+12≤16.

∵y=log 1 x在(0,16]上是减函数, ∴函数的值域为[-4,+∞).

(2)∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,

又∵x2-2x-3>0,且y=log 1 x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
2

∴函数的值域为实数集R.

(3)令u=a-ax, ∵u>0,a>1,∴ax<a,x<1, ∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1}, ∵ax<a,且ax>0,u=a-ax<a,

∴y=loga(a-ax)<logaa=1,
∴函数的值域为{y|y<1}. 【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响, 然后利用函数的单调性求之,当函数中含有参数时,有 时需要讨论参数的取值.

求值域: (1)y=log2 (x2-4x+6);
1 (2) y ? log 2 2 . - x ? 2x ? 2

(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 函数, ∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是[1,+∞). (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 ? 2x ? 2 <0或 - x 2 ? 2x ? 2 ≥ 1 . 1 1 3 ∴ 2 ≥ log 2 log - x ? 2x ? 2 1 3? ? ∴函数的值域是 ?log 2 ,?? ? ,
2

?

3

?

例6:

求最值

已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及当y取最大值时x的值. 【分析】要求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,首先要 求函数的解析式,然后求出函数的定义域,最后用换 元法求出函数的值域. 【解析】∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2) =log32x+6log3x+6

=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有定义,必须

?

1≤x2≤9
1≤x≤9.

∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.

令u=log3x,则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在[-3,+∞)上是增函数, ∴当u=1时,函数y=(u+3)2-3有最大值13. 即当log3x=1,即x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)有最 大值为13. 【评析】求函数的值域和最值,必须考虑函数的定义 域,同时应注意求值域或最值的常用方法.

已知x满足不等式-3≤ log 1 x ≤ 的最大值和最小值. ∵-3≤ log 1 x ≤ 1
1 ? ,即 2
2

1 ? ,求函数f(x)= 2

x x (log 2 ) ? (log 2 ) 4 2

2 ≤x≤8,

2 ∴ ≤log2x≤3,
3 2 1 ∵f(x)=(log2x-2)· 2x-1)=(log2x- ) (log , 4 2 3 1 ∴当log2x= ,即x=2 2 时,f(x)有最小值- .

2

又∵当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2,
1 ∴f(x)min=4

2

4

,f(x)max=2.

例7

求单调区间

求下列函数的单调区间:
2 (1)f(x)= log 1 (-2x ? x ? 6) ; 2

(2)f(x)=log0.1(2x2-5x-3).

【分析】复合函数的单调性,宜分解为两个基本函数后解决. 1 2+x+6=-2 (x ? ) 2+ 49 . 【解析】(1)令t=-2x 8 4 3 ∵由-2x2+x+6>0知- <x<2,
∴当x∈ ? - , ?时,随x的增大t的值增大,从而log ? 2 4? 减小;
? 3 1?

2

1 2

t的值

?1 ? 当x∈ ? 4 ,2 ?时,随x的增大t的值减小,从而log 1 t的值增大. ? ? 2 1 ? ? ∴函数y=log 1 (-2x2+x+6)的单调增区间是 ? ,2 ?,单调减区 ?4 ? ? 3 1? 2

间是 ? -

, ? ? 2 4?

.

1 (2)先求此函数的定义域,由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x3)>0,得x< - 或x>3.2 1 2-5x-3在 (-?,- 上为减函 ) 易知y=log0.1μ是减函数,μ=2x 2 数,即x越大,μ越小,∴y=log0.1u越大;在(3,+∞)上函 数μ为增函数,即x越大,μ越大,∴y=log0.1μ越小.

∴原函数的单调增区间为 1 ,单调减区间为 ( ??,? ) (3,+∞). 2 【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点:一是抓 住变化状态;二是掌握复合函数的单调性规律;三是注 意复合函数的定义域.

已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性. (1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.

∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);
当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).

a x1 ? a x 2 , (2)当a>1时,设0<x1<x2,则1<
故0< a x1-1< a x 2-1, 即loga(a x1 -1)<loga(a x 2 -1). ∴f(x1)<f(x2), 故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.

同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

例8

求参数范围

已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. 【分析】若f(x)的定义域为R,则对一切x∈R,f(x)有意义; 若f(x)值域为R,则f(x)能取到一切实数值. 【解析】(1)要使f(x)的定义域为R,只要使 μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值, ∴

?

a>0

Δ=4-4a<0,

? ? 1. a

(2)若f(x)的值域为R,则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包 含(0,+∞). 当a<0时,这不可能;当a=0时,μ(x)=2x+1∈R成立;当 a>0时,μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞),需

?

a>0 Δ=4-4a≥0?

? 0 ? a ? 1.

综上所述,0 ≤a≤1. 【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.

(1)中函数的定义域为R,由判别式小于零确定;
(2)中函数的值域为R,由判别式不小于零确定.

函数y=logax在x∈[2,+∞)上总有|y|>1,求a的取值范围. 依题意得|logax|>1对一切x∈[2,+∞)都成立, 当a>1时,因为x≥2,所以|y|=logax>1,即logax>log22.所以 1<a<2.
1 当0<a<1时,|y|=-logax>1,所以logax<-1,即logax<log 2对 2 1 x≥2恒成立.所以 <a<1. 2 1 综上,可知a的取值范围为a∈( ,1)∪(1,2). 2

例9:解方程

(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1 X=4/3
利用对数的性质,注意函数的定义域

(2)32x+1-13×3x-10=0

X=log35

利用指数的性质换元转化为二次方程来求

化归思想:转化为熟悉的方程来解

例 10:解不等式
(1) 0 ?

利用函数的单调性,

结合函数的图象考虑

log 1 x ? 1 ? x ?

(1/2,1)

2 先将数字用对数形式表示,再利用函数的单调性求解

1 ? 1 ,则求 a 的范围。 (2) log a 3
(3)若 log a 5 ? log b 5 则比较 a, b 的大小
要注意数形结合
(1)1<a<b (3)0<b<1<a (2)0<a<b<1

1/3<a<1

练习:已知函数 f ( x) ? log 2 (3x ? 1), 若 f ( x) ? 0, 求 x 的取值范围.

总结点评:注意对数函数定义中定义域限制 (3x-1>0)
变式1:已知函数 y ? log 2 (2 x ? 1), 求满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围.

变式 2:已知 log a (3a ? 1) 恒为正数, 求 a 的取值范围.

例11:对数的综合应用
log 1

已知函数f(x)=

2

x ?1 x -1

.

(1)判断f(x)的奇偶性; (2)证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明. 【解析】(1)由 1)∪(1,+∞), x ?1 - x ?1 x ?1 - log 1 ∵f(-x)= log 1 - x - 1 = log 1 x ? 1 = = -f(x), 2 x -1 2 2 ∴f(x)是奇函数. x ?1 (2)证明:设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,u(x)= x -1 2 = 1? ,则 x -1
x ?1 >0解得f(x)的定义域是(-∞,x -1

u(x1)-u(x2)= 1 ? 2 ? (1 ? 2 ) ? 2( 2 ? 2 ) ?
∵x2>x1>1,
x1 - 1 x2 - 1
x1 - 1 x2 - 1

2(x 2 ? x 1 ) (x 1 ? 1)(x 2 ? 1)

∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,

∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0,
∵y=log1 u在(0,+∞)上是减函数,
2

∴log 1 u(x1)<log 1 u(x2), 2 2 即log
1 2

x2 ? 1 x1 ? 1 <log 1 x - 1 x1 ? 1 2
2

,

∴f(x1)<f(x2),

∴f(x)在(1,+∞)上是增函数. 【评析】无论什么函数,证明单调性、奇偶性,定义是最 基本、最常用的方法.

x ?1 设f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x). x -1
(1)求函数f(x)的定义域; (2)f(x)是否存在最大值或最小值?如果存在,请把 它求出来;如果不存在,请说明理由. (1)由

?

x ?1 >0 x -1 x - 1>0
p - x>0?

? x ? (1, p)( p ? 1)

∴当p>1时,函数f(x)的定义域为(1,p)(p>1).

在指数函数 y ? 2 中, x 为自变量, y 为因 变量。如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那
x

探 究:

么 x 是 y 的函数吗?如果是,那么对应关系是 什么?如果不是,请说明理由。 y=2x x ? R ? x ? log 2 y y ? ? 0, ?? ? 指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数. 一般地,指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数 y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数.

? y ? log 2 x x ? ? 0, ?? ?

y?( )

1 x 2

Y
5

Y=2x
Y=X ● ●

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

y ? log 1 x

同底指数函数与对数函数的关系
y ? log a x 与 y ? a x 的图象关于 直线 y ? x 对称。
4

f?x?

= 0.5x l og?x? l og?0.5?

y ? ax (0 ? a ? 1)

4

g ?x? =
3

3

2
2

y ? a x (a ? 1)
-2

1

1

-6

y ? log a x
2

-4

4-2

6

2

4

-1

-1

(a ? 1)
-2 -3

y ? log a x (0 ? a ? 1)

-2

函数与其反函数的关系?
(1)函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。 (2)函数与其反函数的定义域,值域互换。 (3) 函数与其反函数的图象关于y=x轴对称。 (4)反函数也是函数,因为它是符合函数定义的, 不是任意函数都有反函数 的.

反函数 已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是( B )

【分析】分a>1,0<a<1两种情况,分别作出两函数的图象, 根据图象判定关系.

【解析】解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面, y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C.
其次,从单调性着手,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反, 又可排除D,故只能选B. 解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线 y=loga(-x)上升且过(-1,0),而选项均不符合这些条件.若a>1, 则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过(1,0),只有B满足条件. 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象 为y=logax的图象,因为y=logax与y=ax互为反函数(图象关 于直线y=x对称),则可直接选B. 【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可 利用函数的性质识别图象,特别注意底数a对图象的影响.要 养成从多角度分析问题、解决问题的习惯,培养思维的灵活 性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性 质.

若函数f(x)=ax (a>0,且a≠1)的反函数的图象过点
(2,-1),则a=
1 2

.

反函数的图象过点(2,-1),则f(x)=ax的图象过 (-1,2),得a-1=2,a=
1 2

.

例6 溶液酸碱度的测量
溶液酸碱度是通过pH刻画的。 pH的计算公式 pH= - lg[H+],

其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升。

(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度
与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系? (2)已知纯净水中氢离子的浓度[H+]=10-7为摩尔/升,计算纯净水 的pH值.

解:
(1)根据对数函数的运算性质,有 pH= - lg[H+] =

lg[H+] –1 = lg
在(0,+ ∞)上,随着[H+]的增大, lg 小。 减小,相应地,

也减小,即pH减小。所以,随着[H+]的增大,

pH减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的碱性越

(2)当[H+] =10-7时,pH=-lg10-7=7,所以,
纯净水的pH是7。


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