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两个基本原理及排列组合概念-----河津三中-----李春荣


10.1 两个基本原理、排列、组合及应用
一、考纲要求:(1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和 解决一些简单的应用问题。(2)理解排列的意义.掌握排列数计算公式,并能用它 解决一些简单的应用问题。(3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数 的性质.并能用它们解决一些简单的应用问题。(4)掌握二项式定理和二项展开式 的性质,并能用它们计算和证明一些简

单的问题。 二、重点、难点、考点: 三、知识点: (一)两个基本原理: 1、加法计数原理: 完成一件事可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同方法,在第二类 办法中有 m2 种不同方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同方法,那么完成这 件事情有 N= m1+ m2 +?+mn 种不同方法。 2、乘法计数原理: 完成一件事需要分成 n 个步骤,完成第一步有 m1 种不同方法,完成第二步 有 m2 种不同方法,?,完成第 n 步有 mn 种不同方法,那么完成这件事情有 N= m1× m2 ×?×mn 种不同方法。 (二)排列、组合概念: 1、排列:从 n 个不同元素中取出 m 个元素( m ? n ),按一定的顺序排成 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。 2、组合:从 n 个不同元素中,任意取出 m 个元素( m ? n ),并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 3、相同排列:①元素个数相同②所含元素相同③各个元素排列的先后顺序 相同。

4、相同组合:①元素个数相同②所含元素相同。 5、排列与组合的异同点:不同点排列与顺序相关,组合与顺序无关。相同 点:取出的元素均为不同元素。 6、全排列:把 n 个元素全取出来排成一列得到的排列叫做 n 个元素的一个 全排列。 (三)排列数与组合数: 1、排列数:从 n 个元素中取出 m( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做 从 n 个元素中取出 m( m ? n )个元素的排列数,记作 An 。
m
m An ? n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? m ? 1) ?

n! (n ? m)!

公式原理: 完成一个排列分每个步骤, 第一步从 n 个元素中取出一个元素(有 n 种不同取法)排在第一位,第二步从剩下的(n-1)个元素中取出一个元素(有 (n-1)中不同取法)排在第二位,?,第 m 步从剩下的(n-m+1)个取出一个元 素(有(n-m+1)不同取法)排在第 m 位,根据乘法计数原理可得排列数公式。 2、全排列数:把 n 个元素全取出来排成一列得到的排列个数叫做 n 个元素 的全排数,记作 An 。
n An ? n(n ? 1)(n ? 2) ?3 ? 2 ? 1 ? n! n

(其中 n! ? n(n ? 1)(n ? 2) ?3 ? 2 ? 1,叫做 n 的阶乘,0!=1) 3、组合数:从 n 个元素中取出 m( m ? n )个元素的所有组合的个数叫做 从 n 个元素中取出 m( m ? n )个元素的组合数,记作 C n 。
m
m An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) n! C ? m ? ? Am m! m!(n ? m)! m n

0 Cn ? 1

4、排列数与组合数的关系:
m m m An ? Cn ? Am

原理:完成一个排列分两步来完成,第一步,从 n 个元素中任意取出 m 个 元素(有 C n 种取法),第二步,把取出的 m 个元素排成一列(有 Am 种排列方 法),根据乘法计数原理可得以上关系式。 5、组合数性质: (1) Cn ? Cn
m n ?m
m m

(2) Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 (3) rCnr ? nCnr?1 ; (4)Cn0+Cn1+?+Cnn=2n; (5)Cn0-Cn1+?+(-1)nCnn=0,即 Cn0+Cn2+Cn4+?=Cn1+Cn3+?=2n-1
m m

m?1

(四)注意事项: 1、弄清完成一件事的含义,分清“分类”与“分步”,分类——每一类办 法都能独立完成所要完成的事情,分步——各个步骤均完成以后才能完成所要 完成的事情。 2、区分排列问题与组合问题,与顺序有关为排列问题,与顺序无关为组合 问题(把其中两个元素位置调换,其性质发生了变化就是排列问题,否则为组 合问题) 3、要避免“选取”时重复和遗漏; (五) 、思想方法 1、对于带限制条件的排列问题、组合问题,通常从以下几种途径考虑: ①元素分析法:有条件限制的元素优先考虑,再考虑其他元素。 ②位置分析法:有条件限制的位置优先考虑,再考虑其他位置。 ③整体排除法(间接法) :先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限 制条件的排列数。 ④是用“直接法”还是“间接法”解题,其原则是“正难则反” 。 2、解排列、组合题的基本策略与方法 (1)分类处理与分步处理:

注意:分类不重复不遗漏,即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为 全集。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步,其原则是先分类, 后分步。 (2)排除法(间接法) 对于含有限制条件的问题,先算出不含限制条件 : 的方法数和不符合条件的方法数,再相减求出结果。 (3)插入法(插空法与隔板法) :不相邻问题用插空法,相同元素的分类 有时用到隔板法。 (4) “捆绑”法:“相邻”问题捆绑法,即把相邻元素看成一个整体,与 其它元素一起排列,然后“松绑”—排列。 (5)穷举法:将所有满足题设条件的排列与组合逐一排列出来。 (6)探索法:从特殊到一般,或一般到特殊,探索出其中规律,给予解决。 (7)消序处理:均匀分组问题及定序问题。 (8)解决排列组合的综合应用问题,①遵循三大原则:先特殊后一般的原 则,先去后排的原则,现分类后分步的原则。②掌握基本类型处理方法:排列 中的“在”与“不在”“邻”与“不邻” , ,组合中的“含”与“不含”“分组” , 与“不分组”等问题的处理方法。③突出“划归”的思想,即把一些复杂的综 合问题通过分类、分步将其与基本类型相联系,从而把问题转化为基本类型, 使问题得以解决。 (六)排列、组合问题的类型 1、排列问题的基本类型: 从 n 个不同元素中( m ? n ) (1)选出 m 个不同元素排成一列,所有不同的排列共有 An 种。
m

(2) 选出 m 个不同元素排成一列,其中 k ( k ? m )元素排在固定位置上, 不同的排列数共有 An?k 种。 (3)选出 m 个不同元素排成一列,其中 k 元素排在相邻的位置上,不同的 排列数共有 An?k ?1 Ak 种。 (4)将 n 个不同元素排成一列,其中 k 元素互不相邻,不同的排列数共有
n? k An?kk An?k ?1 种。 n?k ?1 k m?k

(5)将 n 个不同元素排成一列,其中 k 元素不全相邻,不同的排列数共有
n n? ?1 An ? An?kk?1 Akk 种。

(6)将 n 个不同元素排成一列,其中 k 元素必须在内,且保持一定的顺序,
k n? 不同的排列数共有 Cn An?kk 种。 (方法 1(特殊元素优先法)第一步:先把必须在

内的 k 个元素拿出来,再把这 k 个元素按照要求的顺序,依次排在从 n 个位置中

k 选出 k 个位置上,有 C m 种排法;第二步:从剩下的 n ? k 个元素排在第一步剩下
? 的 m ? k 个位置上;共有排法 Cnk Ann?kk 种。方法 2(消序法)第一步:先把 n 个元素

全排列有 Ann 种排法;第二步:消序,第一步排法中包含了 k 个元素的无序排列,
k 个元素的无序排列有 Akk 种, 有序排列只有一种, 因此 k 个元素的有序排列是无 n An 1 序排列的 k ,即共有排法 k ) Ak Ak 2、组合问题基本类型:

(1)不含限制条件的组合问题直接利用公式求解。 (2)含有限制条件的的组合问题: ①从 n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素,某 k ( k ? m )元素必须在 内的组合数 C n ?k
m m?k

②从 n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素,不含有某 k ( k ? m )元素 的组合数 Cn?k ③“至多”或“至少”等限制条件的问题,可用分类或“间接法”解决— 转化为简单的组合问题。 (3)相同元素的不平均分组问题—隔板法。 (4)平均分堆到指定位置—分步记数 (5)平均分堆不到指定位置,分法总数 ? 3、典型例题: 【例 1】把五封信投入三个信箱,一共有多少种投法。 解:分五步投信,一步投一封,每步有 3 种方法,共有 35 种投法。 练习题 1:四个人增夺三项冠军(一个人可以夺得多项,也可以一项没有夺 得,不并列),有多少种可能。 【例 2】如图,一个地区分为 5 个行政区域, 现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色。 现在有 4 种颜色可以选择,则不同的着色方法数共 有 种。
平均分堆到指定位置分 法总数 堆数的阶乘

2 3 1 4 5

分析 1:由题意可知给地图着色有两类方法, 一类是用三种颜色去涂,第一步先从 4 种颜色中选 3 种颜色有 C43 种方法,
1 第二步从 3 种颜色中选一种涂 1 号区域有 C3 种方法,余下的四个区域不相邻的 3 1 区域两两必须同色,有 A22 种涂法,共有 C4 C3 A22 种方法;
1 另一类是用 3 种颜色去涂,第一步从 4 种颜色种选 1 种涂 1 号区域有 C4 种

方法,第二步从余下的三种颜色中选 1 种涂余下的 4 个区域中某两不相邻的个
1 1 区域,有 C3 C 2 种方法,第三步剩下的两个区域两种颜色涂法有 A22 种,共计有 1 1 1 2 C4 C3C2 A2 种。 1 1 1 3 1 两类合计有 C4 C3 A22 + C4 C3C2 A22 =72 种。
1 分析 2: 号区域先选颜色有 C4 种方法; 号区域有三种颜色可供选择, C3 1 2 有 1 1 1 种方法;3 号区域有 C2 种方法;4 号区域与 2 号颜色相同时 5 号有 C2 种方法,4 1 号区域与 2 号颜色不同的涂法有 C2 种,此时 5 号只有一种涂法;因此共计涂法

1 1 1 1 1 有 C4C3C2 (C2 ? C2 )

【例 3】将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端 点异色,如果只有 5 颜色可供使用,求不同的染法数。 方法一:把四棱锥的四个底面顶点依次记为 1、2、3、4 号顶点。
1 第一步:从 5 种颜色中选 1 种涂到四棱锥的顶点有 C5 种涂法,第二步从剩

下的四种颜色中选 1 种涂到 1 号顶点, 第三步从剩下的 3 种颜色中选 1 种涂到 2 号顶点,第四步分为两类,第一类 3 号涂的颜色与 1 号相同,4 号顶点有 3 种涂 法,第二类 3 号涂的颜色与 1 号不同有 2 种涂法,4 号顶点有 2 种涂法。 故涂法总数为: C5C4 C3 (3 ? 2 ? 2) ? 420种
1 1 1

方法二:按涂色种数分类:①3 种颜色去涂,从 5 种颜色中选 3 种有 C53 种方
1 法,再从 3 种颜色中选 1 种颜色涂棱锥的顶点有 C3 种涂法,两种颜色涂底面的 4
1 1 1 个顶点有 C2 种涂法,用 3 种颜色去涂的方法总数 C53C3C2 ,②4 种颜色去涂,从 5 1 种颜色中选 4 有种 C54 种方法,再从 4 种颜色中选 1 种颜色涂棱锥的顶点有 C4 种

1 1 涂法,3 种颜色涂底面的 4 个顶点有 C3C2 A22 种涂法(从余下的 3 种颜色中选 1 种 1 1 去涂两对不相邻顶点中的 1 对有 C3 C 2 种方法,剩余两种颜色涂另外两个顶点有
2 4 1 1 1 2 5 A2 ),用 4 种颜色去涂的方法数 C5 C4C3C2 A2 ③5 种颜色去涂有 A5 种涂法。共计

3 1 1 4 1 1 1 2 5 C5 C3C2 + C5 C4C3C2 A2 + A5 =420(种)

【例 4】如图,请用 4 种颜色给其 6 个区域涂色, 相邻区域不同颜色,有多少种涂法。 解:第一步,从 4 种颜色中选一种涂 1 号区,有
1 第二步, 从余下的 5 个区域中选一个区域, C 4 种方法;

1

1 1 用余下的 3 种颜色中的一种去涂,有 C5 C3 种涂法;第

三步,用 2 种颜色涂余下的 4 个区域,相当于给二组
1 1 1 不相邻的区域涂色,有 A22 中涂法。共有 C4C5C3 A22 ? 120种涂法。

【例 5】将 7 个学生排成一列: (1)甲必须排在排头的排法有多少种? (2)甲不能排在排头的排法有多少种? (3)甲必须排在排头乙必须排在末尾的排法有多少种? (4)甲不能排在排头乙不能排在末尾的排法有多少种? 解:(1)(特殊元素优先法)先把甲排在排头,剩下的 6 个学生排在剩下 的 6 个位置上,共有 A66 种方法。

(2)(特殊位置法)第一步:从除甲以外的六个人中选一个人排在排头,
1 1 有 A6 种方法; 第二步, 剩下六个人排在其余 6 个位置上, A66 种方法; 有 共有 A6 · 66 A

种方法。 (3)共有 A55 种方法。 (4)方法 1(直接法): ①分类方法 1 第一类:乙在排头的排法有 A66 种; 第二类:乙不在排头的排法:从甲、乙除外的 5 个人中选一个排在排头, 再从剩下的除乙以外的 5 个人中选 1 个人排在末尾,其余 5 人排在中间 5 个位 置,有排法 5×5× A55 种; 共有排法 ( A66 ? 25A55 ) 种 ②分类方法 2
1 第一类:乙在排头甲不在末尾的排法有 A5 A55 种;

第二类:甲、乙均不在排头与末尾的排法数有 A5 A5 ;
1 第三类:甲在末尾乙不在排头的排法有 A5 A55 种;

2

5

第四类:甲在末尾且乙在排头的排法有 A55 种
1 1 共有排法( A5 A55 ? A52 A55 ? A5 A55 ? A55 )种。

方法 2(间接法) ①7 个人排成一列共有 A77 种排法。②甲排在排头的排法有 A66 种方法。③乙 排在末尾的排法有 A66 种方法。④甲排在排头且乙排在末尾的排法有 A55 种。 共有( A77 -2 A66 + A55 )种排法。 【例 6】求不同的排法种数。

①6 男 2 女排成一排,2 女相邻; ② 6 男 2 女排成一排,2 女不能相邻; ③4 男 4 女排成一排,同性者相邻; ④4 男 4 女排成一排,同性者不能相邻。 ⑤8 人排成一排,甲、乙、丙相邻; ( A66 A33 )
3 ⑥8 人排成一排,甲、乙、丙互不相邻; ( A55 A6 )

⑦8 人排成一排,甲、乙、丙不都相邻; ( A88 ? A66 A33 )
3 ⑧8 人排成一排,A、B、C 不相邻,D、E 也不相邻 ( A55 A6 ? A44 A53 A22 )

⑨4 男 4 女排成一排,女的不相邻。 A44 A54 解:①第一步:把二个女同学看成一个整体(即捆绑法)与 6 男一起排成 一排有 A77 种排法,第二步:把二个女同学按顺序排好(即松绑)有 A22 种排法。
7 2 故排法总数为: A7 ? A2 种

②第一步:6 男先排成一排有 A66 种排法,第二步:把二个女同学按顺序排好 有 A22 种排法,第三步:把二个女同学按第二步排好的顺序插入 6 个男同学排成 的 7 个空其中的两个空中有 C72 种方法。
6 2 故排法总数为: A6 ? C72 ? A2 种

③第一步:四男排成一排有 A44 种排法,第二步:四女排成一排 A44 种排法, 第三步:把四男和四女分别看成一个整体排成一排有 A22 种排法。 故排法总数为: A4 A4 A2 种 ④第一步:四男排成一排有 A44 种排法,第二步:四女排成一排 A44 种排法, 第三步:把排好的四女,依次插入到四男形成的第一、二、三、四个空位或第 二、三、四五个空位,有 2 种方法。故排法总数为: 2 A4 A4 种 ⑧把除 A、B、C 外全排再把插入五人形成的 6 个空中,有 A55 A63 ,其中 D、
4 4
4 4 2

3 E 相邻的排法有 A44 A53 A22 ,符合题意的排法种数有 A55 A6 ? A44 A53 A22 种。

【例 7】一条公路有 12 盏路灯,为了节电要关掉 4 盏灯,要求两端路灯不 能关,且关掉的灯不能相邻,问有多少种方法。(插空法) 【例 8】、从 1 到 9 个数字中抽出 3 个不相邻的数字组成一个三位数,这样 的三位数共有多少?(逆向思维,插空法)( C73 A33 ) 分析:把三个不相邻的数字抽出来的问题相当于在原有六个不同元素中间 插入三个不同元素不能相邻的问题。 【例 9】有 12 人,按照下列要求分配,求不同的分法种数。
5 ①分为三组,一组 5 人,一组 4 人,一组 3 人; (C12 C74C33 )

②分为甲、乙、丙三组,甲组 5 人,乙组 4 人,丙组 3 人 (C12 C7 C3 ) ③分为甲、乙、丙三组,一组 5 人,一组 4 人,一组 3 人; (C12 C7 C3 A3 ) ④分为甲、乙、丙三组,每组 4 人; (C12C8 C4 )
4 4 4 3 ⑤分为三组,每组 4 人; (C12C8 C4 / A3 )
4 4 4

5

4

3

5

4

3

3

5 5 2 ⑥分成三组,其中一组 2 人,另外两组都是 5 人。 (C12C7 C2 / 2)

练习题:8 不同本书,抽出 6 本,按下列要求各有多少种不同的分法: (1) 平均分给 3 个人( C86C62C42C22 ) (2) 平均分成三份( C86C62C42C22 / A33 )
1 (3) 分成 3 份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本( C86C6C52C33 ) 1 (4) 分给 3 个人,一个人一本,一个人 2 本,一个人 3 本( C86C6C52C33 A33 )

【例 10】同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别 人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( B ) A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种

注:本题是“乱坐问题” ,也称“错排问题” ,当元素较大时,必须用容斥 原理求解,但元素较小时,应用分步计数原理和分类计数原理便可以求解,或 可以穷举。 分析:同室的四个人依次为甲、乙、丙、丁。第一步,把甲制作的贺卡送 给其他三个人中的一个人(假设送给了乙),有 C3 种送法。第二步,把得到贺 卡的人 (乙) 制作的贺卡送给别人, C3 种送法。 有 第三步, 剩下的两张贺卡 (乙、 丙、丁三个人中的两个人制作的)至少有一张是没有得到贺卡的人制作的,他 (他们)只能把自己制作的贺卡送给对方,剩下最后一张归自己,有 1 种方法。 总计有 C3 C3 =9 种分配方式。 【例 11】从 10 双鞋号不同的鞋中任取 8 只,(1)取出的鞋都不成双的方 法数有多少种?(2)取出的鞋恰好有两只成双的方法数有多少种?
8 解:(1)第一步:从 10 个鞋号种选出 8 个鞋号,拿出八双鞋,有 C10 种选

1

1

1

1

法,第二步:从 8 双鞋中各拿一只,共有 2 8 种方法。取出的鞋都不成双的方法
8 共有 C10 · 2 8 种。 1 (2)取出的鞋恰好有两只成双的方法有 C10 C96 26 种。

【例 12】数字问题: (1) 在所有 3 位数中, 各位数字按递增或递减顺序排列的数的个数是多少。 (2)从 2,3,4,5,6 五个数字中每次取出 3 个数字组成三位数,求所有 这些三位数的和。 (3)由 0,1,2,3,4 共可以组成多少个没有重复数字的三位数? (4)由 0,1,2,3,4 共可以组成没有重复数字的小于 40000 的五位数中 的偶数有多少个?

解:(1)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数字中取出三个数字,
3 按从大到小的顺序排列得到各位数字递增的三位数 C10 个,从 0,1,2,3,4,5,

6,7,8,9 十个数字中取出三个数字,按从小到大的顺序排列得到各位数字递
3 3 减的三位数 C10 个中,0 排在百位的有 C92 个,符合条件的三位数共有(2 C10 - C92 )

个。 (2)2,3,4,5,6 五个数字中每个数字排在百位、十位、个位的书都有 3×4 个,因此,从 2,3,4,5,6 五个数字中每次取出 3 个数字组成三位数的 和为: (2+3+4+5+6)×100×3×4+(2+3+4+5+6)×10×3×4+(2+3+4+5+6)×3×4 =26640。
1 (3)由 0,1,2,3,4 共可以组成多少个没有重复数字的三位数有 C 4 A44 个

(4)分析:可排在首位的数字有 1,2,3 三个数字,可排在个位的数字 2, 4,0 三个数字。 第一步(排首位与个位):2 排在首位时个位有 A2 种排法,2 不在首位(即 1,3 在首位)首位与个位的排法有 A2 A3 种; 第二步:剩下的三个数字排在中间三个位置有 A3 种 由 0,1,2,3,4 共可以组成没有重复数字的小于 40000 的五位数中的偶 数有( A2 + A2 A3 ) A3 个 【例 13】 1, 3, 5, 20 这 20 个数中任取 3 个, 从 2, 4, ?, 共能构成 等差数列。 解:从其中十个奇数中任取两个,其平均数必是这 20 个数中的一个数,三
2 数可构成等差数列,可构成 A10 个等差数列;

1

1

1

3

1

1

1

3



同理,从其中十个偶数中任取两个,其平均数必是这 20 个数中的一个数,
2 三数可构成等差数列,可构成 A10 个等差数列; 2 共构成 2 A10 ? 180个等差数列

【例 14】8 个人站成一排,求满足下列条件的站法种数: (1) 其中 A 不站在排头也不站在排尾; (2) 其中 A 不站在中间两个位置,B 不站在两端的两个位置。 解:方法 1(特殊元素优先法):
1 第一步:从除首尾之外的 6 个位置中选 1 个位置安排 A 的方法数有 A6 种;

第二步:安排其他人的方法数有 A77 种;
1 共有站法 A6 A77 种。

方法 2(特殊位置优先法): 第一步:从除 A 之外的 7 个人中选出 2 人排在排头与排尾,有排法 A72 第二步:其他位置的排法有 A66 种; 共有排法 A72 A66 方法 3(间接法):8 个人的排法有 A88 种 A 站在排头的排法有 A77 种; A 站在排尾的排法有 A77 种; 符合条件的排法数有 A88 ? 2A77 种 【例 15】某大学有 10 个保送指标,分给六所不同的重点高中,每所学校至 少分配 1 个指标,共有多少种不同的分配方法? 解:把 10 个指标排成一列,10 个指标两两之间共产生 9 个空位,从这 9 个 空位中抽出 5 个插入隔板,把指标分成 6 部分,依次分给 6 所学校,共有 C95 种

分配方案。 【例 16】将 12 个相同的小球,放到 4 个盒子中: (1)每个盒子至少放一个,有多少中不同的方法? (2)如果四个盒子的编号为 1、2、3、4,每个盒子放的球不少于它的编号 数字,有多少种不同放法? 分析:(1)(隔板法)从 12 个小球之间的 11 个空中选出三个空插入三个
3 隔板,将 12 个小球分成 4 组,每组不少于 1 个,不同的分法种数有 C11 种

(2)方法 1、先按盒子的编号数字放球,余 2 个球,放法有把两个球同时
1 放到 1 个盒子或分别放入 2 个盒子里,不同放法有 C4 ? C42 种。

方法 2、思路:隔板法可以解决相同元素每组至少一个的分组问题,本题不 符合要求,但是,我们可不可以把问题转化成相同元素每组至少一个的分组问 题?第 1 个盒子要放的球符合要求,第二个盒子至少放两个,如何转化成至少 放 1 个呢?先放一个不就解决了吗?第三个盒子先放 2 个,第四个盒子先放 3 个,都变成至少再放一个问题啦。 解法:先给编号为 2、3、4 的三个盒子分别放入 1、2、3 个球,余下的 6 个球之间的 5 个空出入 3 个隔板,把球分成 4 组再分别放入 4 个盒子中,不同 的放法有 C53 种。 【例 17】)把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室,每个 阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。 解:方法 1、1 号阅览室分 1 本,2 号阅览室可分 2,3,4,5,6 本,余下 给三号阅览室有 5 种分法;1 号阅览室分 2 本,2 号阅览室可分 2,3,4,5 本, 余下的给 3 号阅览室,有 4 种分法;??。共有 5+4+3+2+1=15(种)

方法 2 先分别发给 2 号、3 号阅览室 1、2 本,剩下 7 本每个阅览室至少发 1 本,在 7 本书之间的六个空中插入 2 个隔板,把 7 本书分成三组,发给三个阅 览室,不同的分法有 C62 种。

【例 18】某区有七条南北向的街道, 五条东西向的街道(如图) 从 A 点走向 B 点的最短走法有多少种。 分析:从 A 点走向 B 点最短的走法需
6 要走 10 段路程,其中六段南北方向,四段东西方向,不同的走法有 C10 种。

B

A

【例 19】把同一排 6 张编号为 1、2、3、4、5、6 的电影票全部分给 4 个人, 每人至少一张,最多两张,且这两张票具有连续的编号,则不同的分法种数有 多少种?(144 种) 分析 1、6 张票按要求分成四组:第一类:1 号 2 号或 3 号 4 号或 5 号 6 号 3 选 2 作为两组,余下的 2 张分两组,分成四组组方法有 C32 种,第二类:1 号 2 号或 4 号 5 号作为两组,余下的 2 张分两组,分成四组组方法有 1 种,第三类: 2 号 3 号或 4 号 5 号作为两组,余下的 2 张分两组,分成 4 组方法有 1 种,第四 类:2 号 3 号或 5 号 6 号作为两组,余下的 2 张分两组,分成 4 组方法有 1 种, 共有 C32 ? 1 ? 1 ? 1 种,分给四个人的分法有 (C32 ? 1 ? 1 ? 1) A44 种。 分析 2、
4 A4 4 A4 2 2 A2 A2

【例 20】把 n 个完全一样的空调,安装到 m 个房间的部分房间( m ? n ), 有多少种不同的安装方法? 分析 1:不妨设连成一排,有 m ? 1 个隔墙,去掉两端的墙,还有 m ? 1 隔墙,

与 n 个空调,共 n ? m ? 1 个元素,排在 n ? m ? 1 个位置上,,加上两端的隔 墙,就把 n 个空调安装到 m 个房间的部分房间,有
n ? m ?1 An? m?1 种不同的安装方法。 n m ?1 An Am?1

分析 2:不妨设连成一排,有 m ? 1 个隔墙,去掉两端的墙,还有 m ? 1 隔墙, 与 n 个空调,共 n ? m ? 1 个元素,在 n ? m ? 1 个位置上选出 m ? 1 个位置放隔 墙,余下的 n 位置放空调,再把两端的隔墙放在两端,就把 n 个空调安装到 m
1 m? 个房间的部分房间,共有 Cnm??m?1Cnn ? Cnn?m?1Cm?11 种安装方法。

分析 3:补充 m 个空调,每个房间至少安一台的方法数 C nm??m1 ?1 ,再从 m 个 房间里各拆除一台,即是符合题意的安装方法。因此共有 C nm??m1 ?1 种安装方法。


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