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2.1平面向量的实际背景及基本概念课件(苏教版必修4)


练习:
(1)下列各量中是向量的是( B ) ? A.时间 B.速度 ? C.面积 D. 长度
?

判断题

1.身高是一个向量(



2.温度含零上和零下温度,所以温度是向量(



3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。

(

)

向量的模及两个特殊向量
向量 AB的模 (或长度) 就是向量 AB 的大小
记作: | AB | 注:向量的模是可以比较大小的 如: | CD | ?| EF | , 但CD ? EF无意义

两个特殊向量
1.零向量: 长度(模)为0的向量,记作

0

规定: 方向是任意的。 0
2.单位向量: 长度(模)为1个单位长度 的向量

把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集

合是什么图形?

是以P点为圆心,以1个单 位长为半径的圆。

(四)向量间的关系
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 1.相等向量: 向量 a 与

a b相等,记作: ? b

?向量不能比较大小,但可以说相等不相等 ?向量可以自由平移

练习:判断下列命题的真假,并注意体会它们之间的联系与 不同 ⑴若a∥b,则a=b(× ) ⑵若│a│=│b│则a=b( ) ×

⑶若│a│=│b│则a∥b( ) ×
⑷若a=b,则│a│=│b│( √ )

向量的几何表示
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 记作 a∥b
a

b

c

规定: 零向量与任一向量平行, 即对于任意向量a,都有0∥a

相等向量:长度相等且方向相同的向量。 记作: a = b

a

b

共线向量 任一组平行向量都可以移动到 同一直线上(共线向量又称为平行向量)

a

b c

O

l B A

C

练习

①平行向量是否一定方向相同? ②不相等的向量是否一定不平行? ③与零向量相等的向量必定是什么向量? ④与任意向量都平行的向量是什么向量? ⑤若两个向量在同一直线上,则这两个向 量一定是什么向量? ⑥共线向量一定在同一直线上吗?

向量加法的三角形法则:
a
? b
C

a?b
A

? b

首 尾 相 接

B ? ? ??? ? ??? ? ? ? 已知非零向量 a 、 , 在平面内任取一点A,作 AB ? a, BC ? b, b ???? ? ? ? ? 则向量 AC叫做 a与b的和,记作 a ? b, 即 ? ? ??? ??? ???? ? ? a ? b ? AB ? BC ? AC

a

这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则。

尝试练习一:
(1)根据图示填空:

E

D

C A

B

? ??? ??? ? ? ??? AC AB ? BC ? _____ ? ??? ??? ??? ? ? BC ? CD ? _____ BD ??? ??? ??? ? ? ? ???? AD AB ? BC ? CD ? _____ ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? AE AB ? BC ? CD ? DE ? _____

根据图示填空: c (1)a+b=________ f (2)c+d=________
E

e g
A

D

d
C

f (3)a+b+d=______
g (4)c+d+e=______

f a

c b
B

向量加法的平行四边形法则:
B C

b
O

a?b
? a
A

起 点 相 同

? ? 以同一点O为起点的两个已知向量 a、 为邻边作? OACB, b ???? ? ? ? ? 则以O为起点的对角线OC就是a与 b 的和a ? b, 即 ? ? ??? ??? ???? ? ? a ? b ? OA ? OB ? OC 这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则。

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、相反向量:
? ? 设向量 a ,我们把与 a 长度相同,方向相反 ? ? 的向量叫做 a 的相反向量。 记作:? a

规定: (1)

? ? ? ? 二、向量的减法: a ? b ? a ? (?b)

?(?a) ? a ? ? ? ? ? ? (2) a ? (?a) ? 0 (?a) ? a ? 0 ? ? (3)设 a , b 互为相反向量,那么 ? ? ? ? ? ? ? a ? ?b, b ? ?a, a ? b ? 0

? ? 的相反向量仍是 0 。 0 ? ?

练习
?

?
?

? ?

3、下列命题中正确的是( ) A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是 共线向量 C.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b D.对于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|

练习
?

5、两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的 路程,设两列火车的位移向量分别为a和b,那么下列 命题中错误的一个是()

?

A、向量a与b与为平行向量 B、向量a与b是模相等的 向量

?

C、向量a与b为共线向量 量

D、向量a与b为相等的向

? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )

向量的减法
一、定义(利用向量的加法定义)。 二、几何意义(起点相同,由减向量的终点 指向被减向量的终点)。

引入新课
位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、
质量等都是数量,这些向量与数量的关系,常常

在物理公式中出现,如力与加速度的关系F=ma,
位移与速度的关系s=vt,这些公式都是实数与

向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、
求积等运算,实数与向量能否进行加法、减法、求

积运算呢?若能进行运算,运算的规则又如何呢?

§7.2 数乘向量

探究 a a a a+a+a a

O A B C ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a

把 a+a+a 记作 3a 3a方向与a方向 相同 |3a|=___|a| 3

探究

a -a

(-a)+(-a)+(-a) -a -a

N M Q P ???? ??? ???? ???? ? ? ? PN ? PQ ? QM ? MN ? ? ?a ? ? ? ?a ? ? ? ?a ? =3(-a)

3(-a)与a方向相反 3(-a)长度是a长度的3倍 3(-a)=-3a
(–a)+(-a)+(-a)=-3a

相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化

?
C

a -a
N M

a

a
A

a
B

-a
-3a
Q

-a
P

O

3a

探究:数乘向量与原向量之间的位置有什么 关系? a 3a a a a
O A B C

a与3a共线

复习回顾: 实数乘法的运算律

1、交换律:ab = ba
2、结合律:a(bc)= (ab)c= b(ac)

3、分配律:a(b+c)= ab+ac

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:

①λ(μa) = (λμ) a (结合律) ②(λ+μ) a =λa +μa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律)

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

? ? 对于任意的向量 a、b, 以及任意实数 ?、?1、?2, 恒有

? ? ? ? ?(?1a ? ?2b)=??1a ? ??2b

一般地,实数λ与向量a 的乘积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa, 它的长度和方向规定如下: (1) |λa| = |λ| |a|

a≠0 (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反;
特别地,当λ=0 或a=0时, λa=0

λ a中实数λ,叫做向量a 的系数

练习: 判断下列各小题中的向量a与b是否共线

?1? a ? ?2e, b ? 2e;
解 当e=0时,a=b=0,a,b共线; : 当e≠0时,a=-b,a,b共线。 所以共线。

? 2? a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2.
解 当a=0时,b=0,a与b共线; :

当a≠0时,b=-2a,a与b共 线。

所以共线。

例1 计算下列各式 1
(1) ( ?2) ? a
2

1? 1 解 : (1) (?2) ? a ? (?2 ? )a ? (?1)a ? ?a 2 ? 2
(2) 2(a ? b) ? 3(a ? b)

? (3) (? ? ?)(a ? b) ? (? ? ?)(a ? b)

(2) 2(a ? b) ? 3(a ? b);

?

? 2a ? 2b ? 3a ? 3b ? (2a ? 3a) ? (2b ? 3b) ? ?a ? 5b
(3)

原式 ? ?( ? b ? ?(a ? b) ? ?(a ? b) ? ?(a ? b) a )
? ? 2?a ? 2?b

? ? ?a ? ?b ? ? a ? ?b ? ? a ? ?b ? ? a ? ?b

例2: x 未知向量,解方程 5( x + a 设
解: 原式可变形为 5 + 5 a +3 -3 b = 0

)+3 (

x - b)= 0

x

x

5 3 x?? a? b 8 8

8 x ? ?5a ? 3b

例4:
如图所示,已知 OA ' ? 3OA , A ' B ' ? 3 AB , OB 与 OB' 的关系. 说明向量 解: 因为 OB' ? OA' ? A' B'

B

'

B

? 3OA ? 3 AB
? 3(OA? AB)

o A

A

'

? 3OB 所以, ' 与OB 共线同方向,长度是OB 的3倍 OB

反馈演练:

1. 在?ABC 中,设D为边BC的中点,求证:
解:因为

1 (1) AD ? ( AB ? AC ) (2)3AB ? 2BC ? CA ? 2 AD 2
AD ? AB ? BD



1 ? AB ? BC 2

1 1 ? AB ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? BC ) 2 2

(2) 原式左边 ?







AB ? 2 AB ? 2BC ? CA ? AB ? 2 AC ? CA

? AB ? AC ? 2 AD ? 右边
所以,所证等式成立


B D

解2: 过点B作BE,使 BE ? AC 连接CE 则四边形ABCD是平行四边形,D是BC中 点,则D也是AE中点.

C 由向量加法平行四边形法则有

E

AB ? AC ? AE ? 2 AD 1 ? AD ? ( AB ? AC ) 2


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