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湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考(四)数学(理)试题


炎德·英才大联考湖南师大附中 2016 届高三月考试卷(四) 数学(理科) 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求对的. 1.已知复数 z 满足 ( ? B. 2

1 2

>3 ,则 z 为 i) ? z ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位) 2
C. 2( 3 ? 1) D. 2( 3 ?1)

A.2 2.“ cos? ?

1 3 ”是“ cos 2? ? ”的 2 2
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.已知函数 y=f(x)对任意自变量 x 都有 f(x+1)=f(1-x), 且函数 f(x)在 [1,??) 上单调.若数列

?an ?是公差不为 0 的等差数列,且 f (a6 ) ? f (a20 ) ,则 ?an ?的前 25 项之和为
A.0 B.

25 2

C.25

D.50

4.为提高在校学生的安全意识,防止安全事故的发生,学生拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是 A.

1 10

B.

3 25

C.

1 15

D.

1 30

5.如图,若 ? 是长方体 ABCD ? A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB 1C1 后得到的几何 体,其中 E 为线段 A1 B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH ∥ A1D1 ,则下 列结论中不正确的是 A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C. ? 是棱柱 D.四边形 EFGH 可能为梯形

6.某班有 24 名男生和 26 名女生, 数据 a1 ,a2 ,? ? ? ,a50 是 该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成 绩不为 0) ,如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均 数 A,男生平均分 M,女生平均分 W;为了便于区别性别, 输入时, 男生的成绩用正数, 女生的成绩用其相反数 (负数) , 那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入

M ?W 50 M ?W B.T<0?, A ? 50 M ?W C.T<0?, A ? 50 M ?W D.T>0?, A ? 50
A.T>0?, A ? 7.如图,一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形,且直角边长为 2,则这个几何体 的外接球的表面积为 A. 16? B. 12? C. 8? D. 4?

? x? y?2?0 y x ? 8.设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 z ? ? 的取值范围是 x y ? y?2?0 ?
1 5 5 10 C. [ 2, ] D. [ 2, ] 2 3 2 3 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 9.设 f ( x) ? ? a sin(x ? ) 的最大值为 3,则常数 a= ? 4 2 sin( ? x) 2
A. [ , B. [ , ] A.1 B.a=1 或 a=-5 C.a=-2 或 a=4 D. a ? ? 7

1 10 ] 3 3

? 10.已知菱形 ABCD 的边长为 2, ?BAD ? 120 ,点 E,F 分别在边 BC,DC 上, BE ? ?BC ,

2 DF ? ?DC .若 AE ? AF ? 1 , CE ? CF ? ? ,则 ? ? ? ? 3 1 2 5 7 A. B. C. D. 2 3 6 12
11.已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为双曲线的左右焦 a 2 b2

b2 点,且 F1 F2 ? ,G 为三角形 PF 1 F2 的内心,若 S?GPF1 ? S?GPF2 ? ?S?GF1F2 成立,则 ? 的值 a
为 A.

1? 2 2 2

B. 2 3 ?1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

12.设 函数 f ( x) ? ?

? 2 x , x ? 0, 对任 意给定 的 y ? (2,??) ,都 存在唯一 的 x ? R ,满 足 log x , x ? 0 , ? 2

f ( f ( x)) ? 2a 2 y 2 ? ay ,则正实数 a 的最小值是
A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4 选择题答题卡

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

得分

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上.
3 2 2 13.若 ( ax ? ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a ? b 的最小值为_____.
2 6

b x

14.在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为_____. 15.在非等边三角形 ABC 中,角 A ,B, C 所对的边分别为 a,b,c,其中 a 为最大边,如果

sin 2 ( B ? C) ? sin 2 B ? sin 2 C ,则角 A 的取值范围为_____.
16.设数列 ?an ?满足: a1 ? 3 , an ?1 ? [an ] ? 数部分、小数部分,则 a2016 ? _____.

1 ,其中,[an ] 、 ?an ?分别表示正数 an 的整 ?an ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 ? 0 ,数列 ?lg 值.

? 10a1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最大 a n ? ?

18.(本小题满分 12 分) 某商场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量(吨) 频数 频率 (1)求表中 a,b 的值; (2)若以上表中的频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求: ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千 元) ,求 ? 的分布列和期望. 1 10 0.2 1.5 25 a 2 15 b

19.(本小题满分 12 分) 为了做好“双十一”促销活动,某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将 一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角形 ?SE E ? , ?SF F ? , ?SG G ? ,

?SHH ? ,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥
形状的包装盒 S-EFGH,其中 A,B,C,D 重合于

点 O,E 与 E ? 重合,F 与 F ? 重合,G 与 G ? 重合,H 与 H ? 重合(如图所示). (1)求证:平面 SEG⊥平面 SFH; (2)当 AE ?

5 时,求二面角 E-SH-F 的余弦值. 2

20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ? b(a, b ? R) 在定义域上单调且函数的零点为 1. x ?1

(1)求 a(b ? 2) 的取值范围;

(2)若曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切,求证

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ln n ( n ? N 且 n ? 2 ). 3 4 5 2n

选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B、C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥DC ,DC 的延 长线交 PQ 于点 Q. (1)求证: AC2 ? CQ ? AB ; (2)若 AQ=2AP,AB= 2,BP=2,求 QD.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知射线 C1 : ? ?

?
6

( ? ? 0) C,动圆

2 C2 : ? 2 ? 2x0 ? cos? ? x0 ? 4 ? 0( x0 ? R) .

(1)求 C1,C2 的直角坐标方程; (2)若射线 C1 与动圆 C2 相交于 M 与 N 两个不同点,求 x0 的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c∈R,a +b +c =1. (1)求 a+b+c 的取值范围; (2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范 围.
2 2 2 2

炎德·英才大联考湖南师大附中 2016 届高三月考试卷(四) 数学(理科)参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13.2 14.5 15. ( 1 B 2 A 3 C 4 C 5 D 6 D 7 B 8 D 9 B 10 C 11 D 12 A

? ? , ) 3 2

16. 3023?

3 ?1 2

三、解答题 17.【解析】 (1)当 n=1 时, a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2 ,
2 当 n=2 时 a2 ? 2a1 ? 2a2 ,

两式相减 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 ,

? a2 ? 0, a1 ? 0 或 a2 ? 0, a2 ? a1 ? 1 ,
解方程组可得: a1 ? 0, a2 ? 0 ,

...............3 分

或 a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ,或 a1 ? 1 ? 2 , a2 ? 2 ? 2 . (2)由(1)及 a1 ? 0 知 a1 ? 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ,

..........5 分

................6 分

当 n≥2 时, (2 ? 2 )an ? S2 ? Sn , (2 ? 2 )an?1 ? S2 ? Sn?1 ,

?(1 ? 2 )an ? (2 ? 2 )an?1 ,?an ? 2an?1 (n ? 2) ,

?an ? a1 ( 2 )n?1 ? (1? 2 )( 2 )n?1 ,
令 bn ? lg

..............8 分

10a1 1 100 ? lg n ?1 , an 2 2
1 lg 2 , 2
.........10 分

所以数列 ?bn ?是单调递减的等差数列,公差为 ?

? b1 ? b2 ? ? ? ? ? b7 ? lg

10 ?0, 8 1 100 ? 0, 所以当 n≥8 时, bn ? b8 ? lg 2 128
所以数列 ?lg

? 10a1 ? 7(b1 ? b7 ) 21 ? 7 ? lg 2 . ? 的前 7 项和最大, T7 ? 2 2 ? an ?
....................2 分

.........12 分

18.【解析】 (1)由题意知:a=0.5,b=0.3.

(2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p=0.5, 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨, 则 X~B(5,0.5) ,
2 P( X ? 2) ? C5 ? 0.52 ? (1 ? 0.5)3 ? 0.3125.

..............6 分

②两天的销售量可能为 2,2.5,3,3.5,4.所以 ? 的可能取值为 4,5,6,7,8,
2 则: P(? ? 4) ? 0.2 ? 0.04 , P(? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 ,

P(? ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37, P(? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 , P(? ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
............9 分

? ? 的分布列为:
ξ 4 0.04 5 0.2 6 0.37 7 0.3 8 0.09 ........11 分

P

? E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 .

........12 分

又∵ SO, FH ? 平面 SFH,SO∩FH=O,∴EG⊥平面 SFH. 又∵ EG ? 平面 SEG,∴平面 SEG⊥平面 SFH. ......................6 分

(2)法 1:过 O 作 OM⊥SH 交 SH 于 M 点,连接 EM,∵EO⊥平面 SFH,∴EO⊥SH, ∴SH⊥平面 EMO,∴∠EMO 为二面角 E-SH-F 的平面角. 当 AE ? ...............8 分

5 5 SO ? OH 5 5 ? 5, 时,即 OE ? ,Rt△SHO 中,SO=5, SH ? ,∴ OM ? 2 2 SH 2

Rt△EMO 中, EM ?

EO2 ? OM 2 ?

3 5 OM 5 2 , cos?EMO ? ? ? . 2 EM 3 5 3 2

所以所求二面角的余弦值为

2 . 3

......................12 分

法 2:由(1)知 EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到 HF⊥SO,故以 O 为原点,分别以 OF,OG,

OS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz,

5 ,则底面正方形 EFGH 的对角线 EG=5, 2 5 5 5 5 5 5 ∴ H (? ,0,0) , E (0,? ,0) , G (0, ,0) , HE ? ( ,? ,0) , OG ? (0, ,0) . 2 2 2 2 2 2
在原平面图形中, AE ? 在原平面图形中,可求得 SE ? ∴S(0,0,5), SH ? (?

5 5 ,在 Rt△SOE 中,可求得 SO ? SE2 ? OE2 ? 5 , 2
...............8 分

5 ,0,?5) . 2

设平面 SEH 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

5 ? y ? x, ?n ? SH ? ? 2 x ? 5 z ? 0, ? ? 则? 得? 1 令 x=2,则 n ? (2,2,?1) ,...............10 分 5 5 z ? x, ? n ? HE ? x ? y ? 0, ? 2 ? 2 2 ?
∵EG⊥平面 SFH,∴ OG 是平面 SFH 的一个法向量,设二面角 E-SH-F 的大小为 θ , 则 cos? ?

n ? OG n ? OG

?

2 2 ,∴二面角 E-SH-F 的余弦值为 .12 分 3 3

20.【解析】 (1)设椭圆半焦距为 c, 圆心 O 到 l 的距离 d= 6 1+1 = 3,则 l 被圆 O 截得的弦长为 2,所以 b=1,

由题意得 e=

3 2 2 ,∵b=1,∴a =4,b =1. 2

∴椭圆 E 的方程为 + =1. 4 1

x2 y 2

...............5 分

(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),直线 l1 的方程为:y=kx+m.

y=kx+m, ? ? 2 2 2 2 2 则?x y 消去 y 得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0. + =1 ? ?4 1 x1+x2=-
8km 4m -4 2,x1·x2= 2. 1+4k 1+4k
2 2 2 2

4 1+k · 1+4k -m 2 |PQ|= 1+k ·|x1-x2|= . 2 1+4k |m|

...............8 分
2 2

1 2|m|· 1+4k -m 原点 O 到直线 l1 的距离 d= ,则 S△OPQ= |PQ|·d= = 1, 2 2 2 1+4k 1+k ∴2|m|· 1+4k -m =1+4k ,令 1+4k =n,∴2|m|· n-m =n, ∴n=2m ,1+4k =2m . ∵N 为 PQ 中点,∴xN=
2 2 2 2 2 2 2 2

x1+x2
2

=-

4km y1+y2 m = 2,yN= 2, 1+4k 2 1+4k
2

2k 1 xN 2 2 2 ∵1+4k =2m ,∴xN=- ,yN= .∴ +2yN=1. m 2m 2

...............10 分

假设 x 轴上存在两定点 A(s,0),B(t,0)(s≠t),则直线 NA 的斜率 k1= 直线 NB 的斜率 k2=

yN , xN-s

yN , xN-t
1-

x2 N

2 y2 1 1 x2 N N-2 ∴k1k2= = · 2 =- · 2 . (xN-s)·(xN-t) 2 xN-(s+t)xN+st 4 xN-(s+t)xN+st 1 当且仅当 s+t=0,st=-2 时,k1k2=- ,则 s= 2,t=- 2. 4 综上所述,存在两定点 A( 2,0),B(- 2,0),使得直线 NA 与 NB 的斜率之积为定值. ...............12 分 21.【解析】 (1)由题意知,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

f ?( x) ?

1 a x 2 ? (a ? 2) x ? 1 . ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

又函数 f(x)的零点为 1,由 f(1)=0,故

a a ? b ? 0,b ? ? . 2 2

...............2 分

∵函数 f ( x) 单调,若 f ( x) 为增函数,则对任意 x ? (0,??) , f ?( x) ? 0 且 f ?( x ) 不恒为 0, ∴ x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 , ( a ? 2) ? x ?

1 ,∴ a ? 2 ? 2 ,∴ a ? 4 . x

若 f ( x) 为减函数,则对任意 x ? (0,??) , f ?( x) ? 0 且 f ?( x ) 不恒为 0, 则 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? 0 , ( a ? 2) ? x ? 综上所述,∴ a ? 4 . 又∵ b ? ?

1 1 1 ,又 y ? x ? ? 2 ,∴ a ? 2 ? x ? 不恒成立. x x x

a 1 2 ,∴ a(b ? 2) ? ? (a ? 2) ? 2 . 2 2
............6 分

∴ a(b ? 2) 的取值范围是 (??,2] .

(2)∵曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切,切点为(1,0)且 f ?(1) ? 0 ,∴ a ? 4, b ? ?2 . 由(1)得函数 f ( x) 在 (0,??) 上是增函数, 又 f (1) ? 0 ,∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , ∴ ln x ? 2 ?

4 1 1 ? .令 x ? 1 ? ( k ? N ) ,有 ln( 1? ) ? 2 ? x ?1 k k

4 1 1?1? k



∴ ln(1 ? k ) ? ln k ?

2 ; 2k ? 1

∴当 n ? 2 时,令 k=1,2,3,?,n-1,

2 2 , ln 3 ? ln 2 ? ,? 3 5 2 ln n ? ln( n ? 1) ? , 2n ? 1 2 2 2 ? ln n . ...............10 分 以上各式累加得: ? ? ? ? ? ? 3 5 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ??? ? ? ln n , ∵ ,∴ ? ? ? ? ? ? ? 2k ? 1 2k 3 4 5 2n 3 5 2n ? 1 1 1 1 1 ? ln n 成立. ∴ ? ? ? ??? ? ...............12 分 3 4 5 2n ln 2 ? ln 1 ?
22.【解析】 (1)∵AB∥CD,∴∠PAB=∠AQC,又 PQ 与圆 O 相切于点 A, ∴∠PAB=∠ACB,∵AQ 为切线,∴∠QAC=∠CBA, ∴△ACB∽△CQA,∴

AC AB 2 ? ,即 AC ? CQ ? AB . ............... 5 分 CQ AC

(2)∵AB∥CD,AQ=2AP,∴

BP AP AB 1 ? ? ? , PC PQ QC 3

(3)由 AB ? 2 ,BP=2,得 QC ? 3 2 ,PC=6, ∵AP 为圆 O 的切线,∴ AP ? PB ? PC ? 12,∴ AP ? 2 3 ,∴ QA ? 4 3 ,
2

又∵AQ 为圆 O 的切线 , ∴ AQ2 ? QC ? QD ? QD ? 8 2 . 23.【解析】∵ tan ? ? ...............10 分

y ? 3 , ? ? ( ? ? 0) ,∴ y ? x( x ? 0) . x 6 3

所以 C1 的直角坐标方程为 y ?

3 x( x ? 0) . 3

......2 分

∵?

? x ? ? cos? , ? y ? ? sin ? ,

2 所以 C2 的直角坐标方程 x 2 ? y 2 ? 2x0 x ? x0 ? 4 ? 0 . .....4 分

? ? ? ? ( ? ? 0), ? (2)联立 ? 6 2 2 ? ? ? ? 2 x0 ? cos? ? x0 ? 4 ? 0( x0 ? R ),
关于 ? 的一元二次方程 根. ..........6 分
2 ? 2 ? 3x0 ? ? x0 ? 4 ? 0( x0 ? R) 在 [0 , + ∞) 内 有 两 个 实

2 2 ?? ? 3 x0 ? 4( x0 ? 4) ? 0, ? 即 ? ?1 ? ? 2 ? 3 x0 ? 0, ? ? ? ? ? x 2 ? 4 ? 0, 0 ? 1 2

..........8 分

? ? 4 ? x0 ? 4, ? x0 ? 0, 得? 即 2 ? x0 ? 4 . ? x ? 2或x ? ?2, 0 ? 0

.........10 分

24.【解析】 (1)由柯西不等式得, (a ? b ? c) ? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? 3 ,
2 2 2 2 2 2 2

∴? 3 ? a?b?c ? 3 , ∴a+b+c 的取值范围是 [? 3, 3] .
2 2 2

...............5 分
2 2 2 2

(2)同理, (a ? b ? c) ? [1 ? (?1) ? 1 ](a ? b ? c ) ? 3 .

...............7 分

若不等式 x ?1 ? x ?1 ? (a ? b ? c)2 对一切实数 a,b,c 恒成立, 则 x ?1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 (?? ,? ] ? [ ,?? ) .

3 2

3 2

...............10 分


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