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近三年文科数学全国卷——概率与统计


2016 届高三文科数学

近三年全国卷试题分类

概率与统计考点问题: 小题:在独立重复试验中,求随机事件发生的概率; 解答题:通过从已知数据和图表中提取有用的信息,以及个别事件的概率和整体随机变量的分布,或经过 回归分析,解决实际问题。 1.(2013 全国 I 3. )从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数

之差的绝对值为 2 的概率是( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

2.(2013 全国 I 18.)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位 患者服用 A 药, 20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间 (单位: h ) ,试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.6 1.7 0.5 1.9 1.8 0.8 0.6 0.9 2.1 2.4 1.1 1.2 2.5 2.6 1.2 1.3 2.7 1.4 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

3.(2014 全国 I 13.)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概 率为________.

1

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近三年全国卷试题分类

4.(2014 全国 I 18.)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 表得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表) ;

(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品学科网 符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?

5.(2015 全国 I 4、 )如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数, 从 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

6.(2015 全国 I 19 )某公司为确定下一年度投入某种产品的宣 传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位: t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费 xi 和 年销售量 yi ? i ? 1, 2,?,8? 数据作了初步处理,得到下面的散 点图及一些统计量的值. (下表中 w1 = x 1,


?? 1 w = 8
i

?w )
i ?1 i

n

? x
46.6

? ? y
563

?? w
6.8

? ( x ? x)
i ?1 i

n

2

? (w ? w)
i ?1

n

2

? ( x ? x)( y ? y) ? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

n

i ?1

i

i

289.8

1.6

1469

108.8

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
2

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(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最

?= 小二乘估计分别为: ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? =v ? ? ?u ,?

2

7.(2013 全国 II 13. )从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________.

8. (2013 全国 II 19. ) 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1t 亏损 300 元 . 根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直 图, 如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品. 以 X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需 求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

频率 / 组距

100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

3

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9.(2014 全国 II 13.)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、学科 网白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.

10.(2014 全国 II 19.)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机学科网访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下:

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙学科网两部门的评价.

11.(2015 全国 II 3.)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我 国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图 ,以下结论中 不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
4

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12.(2015 全国 II 18.)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户, 根据用户对其产品的满意度的评分, 得到 A 地区 用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意 度评分的频率分布表 . A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均 值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可) B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

5

2016 届高三文科数学 1.B; 2.设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为

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y ,又观测结果可得

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5 )=2.3, x 20 1 ? (0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 ? 1.8 ? 1.9 ? 2.1 y 20 ?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2 ? 1.6 ?
由以上计算结果可得 x >

y ,因此可看出 A 药的疗效更好
B药 55689 122346789 14567 2

(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 6 0. 85522 1. 9877654332 2. 5210 3.

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2.3 上,而 B 药疗效的试验结果有

7 的叶集中在茎 0, 10

1 上,由此可看出 A 药的疗效更好。

3. 4.解: (I)

2 3

(II)质量指标值的样本平均数为 x 质量指标值的样本方差为 s
2

? 80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
=104.

2 ? (?20)2 ? 0.06 ? (-10) ? 0.26+0.38+102 ? 0.22 ? 202 ? 0.08

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104.??10 分 (III)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合 “质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%” 的规定. 5.C ??12 分

从 1,2,3,4,5 1, 2,3, 4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,故 3 个数构成一组 勾股数的取法只有 1 种,故所求概率为

1 ,故选 C 10

6

2016 届高三文科数学 6.

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7.

1 5

8.

9.

1 3

10.解: (I)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本中位数为 75, 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75 。 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数为

66 ? 68 ? 67 , 2

7

2016 届高三文科数学 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67. (Ⅱ)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为

近三年全国卷试题分类

5 8 ? 0.1 , ? 0.16 , 50 50

故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (Ⅲ)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对 甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对 乙部门的评价较低、评价差较大。 (注:考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分。 ) 11. D 12.

8


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