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河北省唐山市2012届高三数学上学期期末统一考试试题 理


唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试数学试题(理)
说明: 1.本试卷包括三道大题,22 道小题,共 150 分。其中第一道大题为选择题。 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑,如需改动, 用橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案。 4.考

试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,? x n 的标准差 锥体体积公式

S?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh

4 S ? 4?R 2 ,V ? ?R 3 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求。 1.复数 (1 ? )(1 ? i ) = ( ) B.-2i

1 i

A.2i

C.2

D.-2

2.函数 y ? 1 ? lg( x ? 2) 的定义域为 ( A. ? 0,8?
x

) C. ? 2,8? D. ?8, ?? ?

B. ? ?2,8?

3.设 f ( x) ? e ? x ? 4 ,则函数 f ( x) 的零点位于区间 ( ) B. (0,1)

A. (-1,0)

C. (1,2)

D. (2,3) )

4.已知双曲线的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点坐标为(-4,0)(4,0) , ,则双曲线方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 8 24

x1 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y2 ? ?1 C. 24 8

x2 y 2 ? ?1 D. 4 12

5.执行右面的程序框图,如果输出的是 a ? 341 ,那么判断框中可以是
用心 爱心 专心 -1-

( A. k ? 4? B. k ? 5? C. k ? 6? D. k ? 7?



6.若函数 y ? a ? b 的图象如右图,则函数 y ? b ?
x

1 的图象为 x?a
( )

7.四棱锥 P—ABCD 的所有侧棱长都为 5 ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,则 CD 与 PA 所成 角的余弦值为 ( A. )

5 5
2

B.

2 5 5

C.

4 5

D.

3 5

8.由曲线 y ? x ? 2 x 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 ( A. )

1 6

B.

9.若 x ?

?
6

1 3

C.

5 6

D.

2 3

是 函 数 f ( x) ? (

3 sin x ? cos x图 象 的一 条对 称 轴 , 当 ? 取 最 小正 数时 ? ?
) B. f ( x) 在 (

A. f ( x) 在 ( ? C. f ( x) 在 ( ?

?
?

, ? ) 单调递减 3 6 , 0) 单调递减
2 2

?

? ?
?

, ) 单调递增 6 3 6 ) 单调递增

6

D. f ( x) 在 (0,

10.若 ? ? ? ? 30?, 则 sin ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? ( )

用心

爱心

专心

-2-

A.

1 4

B.

3 4

C. cos ?
2

D. sin ?
2

11.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的 表面积为 ( ) A. 2 3? C. 4 3

8? 3 16? D. 3
B.

12.在边长为 1 的正三角形 ABC 中, BD ? xBA, CE ? yCA ,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ? x ? 0, y ? 0, 且x ? y ? 1 ,则 CD ? BE 的最大值为(



5 8 3 C. ? 2
A. ?

3 8 3 D. ? 4
B. ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上。 13.考古学家通过始祖鸟化石标本发现,其股骨长度 x (cm)与

y 肱骨长度 y(cm)线性回归方程为 ? ? 1.197 x ? 3.660 ,由此估计,
当肌骨长度为 50cm 时,肱骨长度的估计值为 cm. 14.在具有 5 个行政区域的地图(如图)上,给这 5 个区域着色共使用了 .... 4 种不同的颜色,相邻区域不使用同一颜色,则有 . ... 色方法。 15.椭圆 种不同的着

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 作 x 轴 a 2 b2
。 。

的垂线与椭圆的一个交点为 P,若 ?F1 PF2 ? 45? ,则椭圆的离心率 e ? 16.在 ?ABC 中, C ? 60?, AB ? 3, AB 边上的高为

4 , 则 AC+BC= 3

三、解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在等比数列 {an } 中, a2 a3 ? 32, a5 ? 32. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,求 S1 ? 2S2 ? ? ? nSn .
用心 爱心 专心 -3-

18. (本小题满分 12 分) 张师傅驾车从公司开往火车站,途径 4 个交通岗,这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个时段,每个时段的驾车时间都是 3 分钟,如果遇到红灯要停留 1 分钟。假设他在各交 通岗遇到红灯是相互独立的,并且概率都是 . (1)求张师傅此行程时间不小于 16 分钟的概率; (2)记张师傅此行程所需时间为 Y 分钟,求 Y 的分布列和均值。

1 3

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 S—ABCD 中,SD ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是矩形, SD ? AD ? 且 E 是 SA 的中点。 (1)求证:平面 BED ? 平面 SAB; (2) 求平面 BED 与平面 SBC 所成二面角 (锐角) 的大小。

2 AB ,

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,抛物
2

线的准线与 x 轴交于点 C。 (1)证明: ?ACF ? ?BCF ; (2)求 ?ACB 的最大值,并求 ?ACB 取得最大值时线段 AB 的长。

21. (本小题满分 12 分)

用心

爱心

专心

-4-

已知函数 f ( x) ? ln

1 ? ax 2 ? x(a ? 0). x

(1)若 f ( x) 是单调函数,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 、 、 分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,E 是圆 O 内两弦 AB 和 CD 的交点 F 是 AD 延长线上一点,FG 与圆 O 相切于点 G,且 EF=FG,求证: (1) ?EFD ? ?AFE ; (2)EF//BC。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系 xOy 和极坐标系 Ox 的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合, 单位长度相 同,在直角坐标系下,曲线 C 的参数方程为 ? (1)在极坐标系下,曲线 C 与射线 ? ? 的面积; (2)在直角坐标系下,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? , (? 为参数) 。 ? y ? 2sin ?

?
4

和射线 ? ? ?

?
4

分别交于 A,B 两点,求 ?AOB

? x ? 6 2 ? 2t , ? ?y ? t ? 2 ?

( t 为参数) ,求曲线 C 与直线

l 的交点坐标。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|, 不等式f ( x) ? 4 的解集为 M。 (1)求 M; (2)当 a, b ? M 时,证明: 2 | a ? b |?| 4 ? ab | .

用心

爱心

专心

-5-

唐山市 2011—2012 学年度高三年级第一学期期末考试 理科数学参考答案 一、选择题: A 卷:DCCAC B 卷:ABCDC 二、填空题: (13)56.19 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,依题意 2 ?a1q·a1q =32, ? 4 解得 a1=2,q=2, ?a1q =32, n-1 n ∴an=2·2 =2 . n 2(1-2 ) n (Ⅱ)Sn= =2(2 -1), 1-2 所以 S1+2S2+?+nSn=2[(2+2·22+?+n·2n)-(1+2+?+n)], 2 n 设 Tn=2+2·2 +?+n·2 , 2 3 n+1 则 2Tn=2 +2·2 +?+n·2 , ①-②,得 n 2(1-2 ) 2 n n+1 n+1 n+1 -Tn=2+2 +?+2 -n·2 = -n·2 =(1-n)2 -2, 1-2 n+1 ∴Tn=(n-1)2 +2, n+1 ∴S1+2S2+?+nSn=2[(n-1)2 +2]-n(n+1) n+2 =(n-1)2 +4-n(n+1). (18)解: (Ⅰ)如果不遇到红灯,全程需要 15 分钟,否则至少需要 16 分钟. 张师傅此行程时间不小于 16 分钟的概率 1 4 65 P=1-(1- ) = . 3 81 (14)48 (15) 2-1 (16) 11 CBAAB CAADB BD DB

?4 分 ?6 分

① ②

?9 分 ?12 分

?4 分

用心

爱心

专心

-6-

(Ⅱ)设此行程遇到红灯的次数为 X,则 X~B (4,

1 ), 3

1 k 2 4-k ) ( ) ,k=0,1,2,3,4. 3 3 依题意,Y=15+X,则 Y 的分布列为 Y 15 16 17 18 16 32 8 8 P 81 81 27 81 1 49 Y 的均值 E (Y)=E (X+15)=E (X)+15=4× +15= . 3 3

P (X=k)=Ck( 4

19 1 81

?10 分 ?12 分

(19)解: (Ⅰ)∵SD⊥平面 ABCD,∴平面 SAD⊥平面 ABCD, ∵AB⊥AD,∴AB⊥平面 SAD,∴DE⊥AB. ∵SD=AD,E 是 SA 的中点,∴DE⊥SA, ∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面 SAB ∴平面 BED⊥平面 SAB.
z S

?4 分

E

C D A x B y

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系 D—xyz,不妨设 AD=2,则 D (0,0,0),A (2,0,0),B (2, 2,0), C (0, 2,0),S (0,0,2),E (1,0,1). →=(2, 2,0),→=(1,0,1),→=(2,0,0),→=(0,- 2,2). DB DE CB CS 设 m=(x1,y1,z1)是面 BED 的一个法向量,则 ?m·→=0, ?2x1+ 2y1=0, DB 即? ? → ?m· DE =0, ?x1+z1=0, 因此可取 m=(-1, 2,1). ?8 分 设 n=(x2,y2,z2)是面 SBC 的一个法向量,则 ?n·→=0, ?2x2=0, CB 即? ? → ?n· CS =0, ?- 2y2+2z2=0, 因此可取 n=(0, 2,1). ?10 分 m·n 3 3 cos ?m,n?= = = , |m||n| 2 3 2 故平面 BED 与平面 SBC 所成锐二面角的大小为 30?. ?12 分

用心

爱心

专心

-7-

(20)解: (Ⅰ)由题设知,F (

p
2

,0),C (-

p
2

,0),

设 A (x1,y1),B (x2,y2),直线 l 方程为 x=my+
2 2 2

p
2



代入抛物线方程 y =2px,得 y -2pmy-p =0. y1+y2=2pm,y1y2=-p2. ?4 分 不妨设 y1>0,y2<0,则 y1 y1 2py1 2py1 2p tan ∠ACF= = 2 = 2 = , 2= 2 p y1 p y1+p y1-y1y2 y1-y2 x1+ + 2 2p 2 y2 2p tan ∠BCF=- =- , p y2-y1 x2+ 2 ∴tan ∠ACF=tan ∠BCF,所以∠ACF=∠BCF. ?8 分 2py1 2py1 (Ⅱ)如(Ⅰ)所设 y1>0,tan ∠ACF= 2 2≤ =1,当且仅当 y1=p 时取等号, y1+p 2py1 π π 此时∠ACF 取最大值 ,∠ACB=2∠ACF 取最大值 , 4 2 并且 A (

p
2

,p),B (

p
2

,-p),|AB|=2p.

?12 分

(21)解: 2 (Ⅰ)f (x)=-ln x-ax +x, 2 1 2ax -x+1 f ?(x)=- -2ax+1=- .

x 令 Δ =1-8a.
当 a≥

x

?2 分

1 时,Δ ≤0,f ?(x)≤0,f (x)在(0,+∞)单调递减. ?4 分 8 1 2 当 0<a< 时,Δ >0,方程 2ax -x+1=0 有两个不相等的正根 x1,x2, 8 不妨设 x1<x2, 则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f ?(x)<0,当 x∈(x1,x2)时,f ?(x)>0, 这时 f (x)不是单调函数. 1 综上,a 的取值范围是[ ,+∞). ?6 分 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当且仅当 a∈(0, )时,f (x)有极小值点 x1 和极大值点 x2, 8 1 1 且 x1+x2= ,x1x2= . 2a 2a f (x1)+f (x2)=-ln x1-ax2+x1-ln x2-ax2+x2 1 2 1 1 =-(ln x1+ln x2)- (x1-1)- (x2-1)+(x1+x2) 2 2 1 1 =-ln(x1x2)+ (x1+x2)+1=ln(2a)+ +1. ?9 分 2 4a 1 1 令 g (a)=ln(2a)+ +1,a∈(0, ], 4a 8 1 1 1 4a-1 1 则当 a∈(0, )时,g ?(a)= - 2= )单调递减, 2 <0,g (a)在(0, 8 a 4a 4a 8
用心 爱心 专心 -8-

所以 g (a)>g (

1 )=3-2ln 2,即 f (x1)+f (x2)>3-2ln 2. 8

?12 分

(22)证明: 2 (Ⅰ)∵FG 与圆 O 相切于点 G,∴FG =FD·FA,

EF FA = , FD EF ∵∠EFD=∠AFE,∴△EFD∽△AFE. (Ⅱ)由(Ⅰ) ,有∠FED=∠FAE,
∵EF=FG,EF =FD·FA,∴
2

?5 分

∵∠FAE 和∠BCD 都是⌒上的圆周角,∴∠FED=∠BCD, BD ∴EF∥BC. (23)解: (Ⅰ)曲线 C 在直角坐标系下的普通方程为 + =1, 16 4 2 2 2 2 ρ cos θ ρ sin θ 将其化为极坐标方程为 + =1, 16 4 π π 32 2 2 分别代入 θ = 和 θ =- ,得|OA| =|OB| = , 4 4 5 π 1 16 因∠AOB= ,故△AOB 的面积 S= |OA||OB|= . 2 2 5 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程,得(t-2 2) =0, ∴t=2 2,代入 l 的参数方程,得 x=2 2,y= 2, 所以曲线 C 与直线 l 的交点坐标为(2 2, 2). (24)解:
2

?10 分

x2

y2

?5 分

?10 分

? ?-2x,x<-1, (Ⅰ)f (x)=|x+1|+|x-1|=?2, -1≤x≤1, ? ?2x, x>1.
当 x<-1 时,由-2x<4,得-2<x<-1; 当-1≤x≤1 时,f (x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(-2,2). ?5 分 (Ⅱ)当 a,b∈M 即-2<a,b<2, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵4(a+b) -(4+ab) =4(a +2ab+b )-(16+8ab+a b )=(a -4)(4-b )<0, 2 2 ∴4(a+b) <(4+ab) , ∴2|a+b|<|4+ab|. ?10 分

用心

爱心

专心

-9-


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