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数学二级结论高考的应用[1]


第一结论 不动点通法 数列通项放缩问题 国一各种数列压轴题 通杀 不动点的求法:比如 X(n+1)=f(Xn) 令 f(Xn)=Xn 解出 Xn=a 或者 a,b 两解 那么 a,b 就为 Xn 不动点 不动点意义是什么呢? 就是 Xn 的极限 即 Xn<a 高考里你只需要取大根就好,小根忽视 比如 10 年国一 22(2) 看解法 你可以选 08 07 的国一照套用 核心

思想:有关数列通项的相关问题,先化简 Xn-a(a 为不动点)会得到很多 Xn 的性质 题目再现:a1=1 a(n+1)=c-1/an 求使不等式 an<an+1<3 的 c 的取值范围 解 an=c-1/an 令 an=x 得 x=(c+sqrt(c^-4))/2 显然就是证 x<3 嘛 ,但是不能直接书写,看以下书写通法 a(n+1)-x=c-1/an-x 化简 (注意化简技巧,目标是得到 a(n+1)-1=k(an-1) , 注意化简的时候要 用到 cx-x^2=1) an+1 - x = (can-1-xan)/an 即 an+1 - x = (can-cx+x^2-xan)/an 即 an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x) (c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】(极其重要) an+1 - x 和 an - x 同号 a1-x=1-x 因为 an+1>an a2=c-1/a1=c-1 c-1>1 所以 c>2 所以 a1-x=1-x<0 回头看这个: 即 an+1 - x = [c(an-x)-x(an-x)]/an=(c-x)/an*(an-x) (c-x)/an 是一个 正数 根据【同号性】(极其重要) an+1 - x 和 an - x 同号 a1-x<0 所以 a2-x<0....an+1-x<0 即 an+1<x 即题目变成 an<an+1<x<3 恒成立求 x 的范围 解 x<3 得到答案

小结论 C:y^2=2px 过 x 轴上(a,0)点与 C 相交,存在 x1x2=a^2 无数小题用此结论减免思维强度 椭圆 过 F 作直线交 C 于 AB,设 AF=r1 BF=r2 目测谁比较长 如 r1 比较长则 r1=ep/1-ecos 日 日为过 F 的直线的倾斜角 p 为焦准距 双曲线 单支和椭圆一样 交于两支时 r=ep/ecos 日 +- 1 比较长的那个取负 短的那个取正 抛物线 r=p/1 -+ cos 日 (抛物线 e=1) 以上三者的焦点弦 R=r1+r2 长为 R=|2ep/1-e^2cos^2 日| 这个公式和焦半径公式相辅相成 轮换使用 解几小题任意秒 另附 焦半径公式中 双曲线的速记口诀 左加右减套绝对值,同边开负,异边开正 举例解释 比如在双曲线右支 到右焦点的距离 r=|a-ex0| (左加右减套绝对值) 由于是同边(右支右边) 所以绝对值开负号 r=ex0-a 技巧 09 山东 22 题告诉我们…… 过原点的两条线段 r1 r2 相互垂直时,A 点可设为 A(r1cos 日,r1sin 日) B(-r2sin 日,r2cos 日) ——因为 AO BO 垂直 这些关系可以用倾斜角表示 S(2n-1)=(2n-1)an 这种强大的公式不懂你就亏了 四面体体积公式 V=1/6

a,b 是两条对楞的长,h 是对棱的异面距离,日是对棱的夹角 这个公式异常重要,比如 10 年国一 12 题,用这题套公式秒杀 有关立体几何中的开放式问题 (极值,交点个数,还有北京卷那个与 xyz 哪个有关的) 近年来的热点 这类题基本出在正方体或者长方体中 用退化的 空间解析几何处理 这类题可以秒杀, 这个要画图 有需要的童鞋回一下 我就画图 还有这个 在 O-xyz 坐标系中 某条过 O 的直线和 x y z 分别成 a b c 度角 有 cos^2 a + cos^ b + cos^2 c =1 这个有什么用呢? 已知两个角 求第三个角 用于有些图形恶心的立几大题中建立坐标系 双曲线焦点到渐近线的距离=b 过双曲线两顶点作垂直于 x 轴的直线和渐近线交与四点 形成一个矩形 则 斜边为 c 另一条直角边为 b 我们来看看圆锥面 是一个三角形旋转一周所得 意味着该圆锥母线和底面所成的角恒为定值 所以【研究线面成定角问题可以用圆锥面分析】 立体几何中解析几何中 凡涉及线段中点问题的 绝大多数和三角形中位线有关 遇到排列组合难题 尤其是三个限制条件的 一定要用容斥原理 举个例子: P 要满足 A,B,C,求 P 的方法数 画个韦恩图 U 是全集 画个大框框 在上面画 3 个圈 非 A 非 B 非 C (要看看他们是否有交集,一般是 有的) 看到图你知道该怎么算了吧 P=U-(A+B+C)+A 交 B+A 交 C+B 交 C-A 交 B 交 C 两个条件的我就懒得打字啦

有关离心率问题 很多命题点在这里 椭圆离心率 e^2=1-(b/a)^2 双曲线:e^2=1+(b/a)^2 看到了吧 都和一个参数 t=(b/a) 有关 双曲线渐近线方程可设为 b^2x^2-a^2y^2=0 看到了么 这可是二次方程形式哟 可以避免讨论一些东西 比如有两焦点 可以舍而不求的联立使用韦达定理 2 画一个双曲线,比如 P 在右支上 连接 PF1 PF2 1. 若 PO=F1O=F2O 则<F1PF2 为 90° 2.PO<OF1 则<F1PF2 为钝角 3.PO>OF1 则,,,,为锐角 导函数为二次函数时 注意原函数有极值的条件是在定义域内△>0 【这是一个你死也要记住的不等式链】 sqrt[(a^2+b^2)/2]>=(a+b)/2>=sqrt(ab)>=2/(1/a+1/b) 注意 2/(1/a+1/b) 也就是 2ab/a+b 这个不等式链 在配凑性消元 正负对消上有很大用途 但是均值不等式一定是单向放缩的 一般求双最值问题 一定要涉及到求导 平面中任意共起点的两条向量所组成的三角形面积为 设向量 OA=(a,b) 向量 OB=(c,d) a b ( c d 即 ad-bc 证明可用 S=1/2absin 日 证 平行四边形 ABCD 中 1. 若|AB|=|AD| <=> ( 向量 AB+向量 AD)(向量 AB-向量 AD)=0 2. 若 AB⊥ AD <=> |向量 AB+向量 AD|=|向量 AB-向量 AD| 用向量构筑不等关系 若题目求 ac+bd 这类的最大值 可以构筑 向量 m=(a,c) )

向量 n=(c,d) 向量 m*向量 n=ac+bd<=[sqrt(a^2+c^2)][sqrt(b^2+d^2)] y=f(a+x) 和 y=(b-x) 关于 x=(b-a)/2 对称 y=f(wx+a) 和 y=f(b-wx)关于 x=(b-a)/2w 对称 切记 等差数列 Sn=(d/2)n^2+(a1-d/2)n 这是二次函数表达式 很多小题就是以这个为基本命题的 S(2n-1)=(2n-1)an 你一看到等差数列和,下标又是奇数的 赶紧用啊…… 等比数列 Sn=m+mq^n 其中 m=a1/1-q 这个是肯定要记的,很多放缩就是放缩到等比数列 然后选一个小于 1 的公比 q 你观察,Sn 的极限不就是 a1/1-q 可以用来证明(bn 是等比) a1+a2+a3+...+an<b1+b2+....+bn(通过单项放缩)<a1/1-q<=题目要求值 cos75° =1/sqrt(6)+sqrt(2) sin75° =1/sqrt(6)-sqrt(2) 自己推 15° 的啊。。。。这个我做数学和物理真题的时候遇到过…… 物理尤其光学题…… 对于 R 上的奇函数 如果周期为 T 则有 f(T/2+nT)=0 可以用奇 X 奇=偶函数 偶 X 奇=奇 来变幻函数性质 比如如果 f(x)为偶 则 f(x)/x 为奇 注意这种构造法 |b2n-bn|=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)-b(2n-2)+..........+b(n+1)-bn|<=|b2n-b(2n-1)+b(2n-1)|+|b(2n-1)-b(2n -2)|+.....+|b(n+1)-bn| 圆锥曲线快速求直线和圆锥曲线交点的中点 1. 先点差 kOM*kAB=-b^2/a^2 => y0/x0 * k = -b^2/a^2 2. 和 l 联立消去 x,y (别弄走了 k) 抛物线中利用参数方程很多情况下可以大幅度减少运算 y^2=2px 的参数方程(2pt^2,2pt) 比例性质——专业化简啊! 分比性质 a/b=c/d <=> (a-b)/b=(c-d)/d

合分比性质 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 和比差比就不提了 初中公式不懂自己查吧 这俩公式 尤其下面的,平时遇到分式类的题可以试着用用就上手了 已知过 x 轴上一点方程 一定要设为 my=x-c 为什么? 它包括了斜率不存在的情况,可以避免讨论 对存在性问题,可以从特殊条件出发,进而再证明这个值就是一般情况下的值 平面上任意一点 P(x,y) 都可以表示为 x=|OP|cosθ y=|OP|sinθ 有什么用途呢? 比如有 OA OB 他们互相垂直 你会发现神奇的事情 详见 2009 年山东理 22(2) 三次函数具有对城中心 P((x1+x2)/2,(y1+y2)/2) (x1<x2 他们都是极值点)

两点间距离空间版 PQ^2=d1^2+d2^2+d^2-2d1d2cosθ d1,d2 为 PQ 到 二面角 P-l-Q 的 l 的距离 d 为 PQ 在 l 上投影 θ 为二面角大小 这个结论很好证,主要是画图 勾股定理 极值问题 一般都出在自变量为 d 或者为 θ 的时候 f(x)+k=0 解的个数 y=f(x) y=-k

过(a,0)点向 y^2=2px 作直线有交点 存在 x1x2=a^2

见 切点 过圆心 出直角,这是一重要的平面几何知识

对 f(x)=|x-x1|+|x-x2|+....+|x-xn| 设 x1<x2<x3....<xn n 为奇数时 x 取中间点时 f(x)有 min 值 n 为偶数时,x 取中间两点任意一点可以取 min 值 别以为这个没用,高考题有一些题是以这个为模型 的 模拟题这个见得太多了……一大把 原文摘抄: 面对有函数的试题,首先要毫不迟疑的确定其定义域,即使没有要求,也要这么做,即【定 义与优先】 此外, 对给定函数 即便题目没有设问, 也要从 单调性 奇偶性 周期性等角度对其全方位查 体 在单调性中,增减性几何意义 增:离 y 轴越近,函数值越小 减:离 y 轴越近,函数值越大 注意是距离,距离怎么表达的? 想起来了? 举个简单例子 y=x^2 中函数值比 4 小的 x 的结集? f(x0)=4 x0=2 |x|<2 f(x2)-f(x1) ------------ < 0 x2 - x1 的几何意义是,斜率值恒<0 斜率是什么? 导数<0 说明 f(x)恒递减 他的变式是 f(x2)+g(x2)-[f(x1)+g(x1)]

-----------------------x2 - x1 想什么呢?构造 t(x)=f(x)+g(x) 呀 f(a+x)+f(b-x)=2c f(x) 有对城中心(a+b/2,c) y=f(a+wx) y=f(b-wx) 这俩函数关于 x=b-a/2w 对称


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