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关于向量组线性相关的几种判定


002030  J . S hanx i A g ric. Uni v .

学报    文章编号 : 1671 - 8151 (2005) 03 - 0292 - 03

关于向量组线性相关的几种判定
杨燕新 , 王文斌
( 山西农业大学 文理学院 , 山西 太谷 030801)

摘 要 : 将行列式的值 、矩阵的秩 、齐次线性方程组的解 、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定 , 从而 导出八种关于线性相关与线性无关的判定方法 。 关键词 : 向量组 ; 线性相关 ; 判定方法 ; 矩阵 ; 行列式 ; 线性方程组 中图分类号 : O172 文献标识码 : A

Several Methods f or Judging the Related Linearity of Vectors Group Y ANG Yan2xin et al.
( Col lege of A rts an d S cience , S han x i A g ricult u ral U ni versit y , T ai g u S han x i 030801 , Chi na)

Abstract : The judging met hods of t he vecto rs gro up’ related dependence f rom determinant values , rank of mat rix , solution of system of linear equations , G. Cramer t rut h ect were st udied , Eight kinds of met hods were obtained f ro m t he research. Key words : Vecto rs gro up ; Related dependence ; J udging met hod ; Mat rix ; Determinant ; Solution of system of linear e2 quations

向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌 握 。实际上 , 向量组的线性相关与线性无关是相对的 , 我们 只要掌握了向量组的线性相关的判定 , 线性无关的判定也就 没有问题了 。因此 , 下面主要论述向量组的线性相关性的几 种判定方法 。

( K1 + K4 ) a 1 + ( K1 + K2 ) a2 + ( K2 + K3 ) a 3 + ( K3 + K4 ) a 4 = 0

1

定义法

取 K1 = K3 = 1 , K2 = K4 = - 1 , 则有 K1 b1 + K2 b2 + K3 b3 + K4 b4 = 0 由线性相关的定义可知 , 向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相 关。

这是判定向量组的线性相关性的基本方法 。定义法既适 用于分量没有具体给出的抽象向量组 , 也适用于分量已经给 出的具体向量组 。其定义是 , 给定向量组 A : a 1 , a2 , a 3 … a m , 如果存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 , …km , 使得 k1 a1 + k2 a2 + k3 a 3 + …+ k m a m = 0 成立 , 则称向量组 A 是线性相 关的 , 否则 , 如果不存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 , …k m , 使得 k1 a 1 + k2 a 2 + k3 a 3 + … + k m a m = 0 成立 , 也就是说 , 只 有当 k1 , k2 , k3 , …km 全部为 0 时 , k1 a 1 + k2 a 2 + k3 a 3 + … + k m a m = 0 才成立 , 则称向量组 A 是线性无关的 。 例 1 : 设 b1 = a 1 + a 2 , b2 = a 2 + a 3 , b3 = a 3 + a 4 , b4 = a 4 + a 1 , 证 明 向 量 组 b1 , b2 , b3 , b4 线 性 相 关。 证明 : 设存在 4 个数 K1 , K2 , K3 , K4 , 使得 K1 b1 + K2 b2 + K3 b3 + K4 b4 = 0 , 将 b1 = a1 + a 2 , b2 = a 2 + a 3 , b3 = a 3 + a 4 , b4 = a4 + a 1 代 入上式有 :
K1 ( a 1 + a 2 ) + K2 ( a2 + a 3 ) + K3 ( a 3 + a 4 ) ) + a1 = 0 + K4 ( a4

2

利用向量组内向量之间的线性关系判定
即向量组 A : a1 ,a2 ,a 3 …a m 线性相关的充要条件是向量

组 A 中至少有一个向量可以由其余 m - 1 个向量线性表示 。 比如上例 ,取 K1 = K3 = 1 , K2 = K4 = - 1 , 则 b1 = b2 - b3 + b4 ,即 b1 可由 b2 ,b3 ,b4 三个向量线性表示 ,所以向量组 b1 , b2 ,b3 ,b4 线性相关 。

3

利用齐次线性方程组的解进行判定

在应用定义法解一个齐次线性方程组 ,需由该方程组是 否有非零解来判定向量组的线性相关性 。即应用定义法的同 时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定 。 对于各分量都 给出的 向量 组 a 1 , a 2 , a 3 …a m , 若以 A = [ a 1 ,a2 ,a 3 … a m ] 为系数矩阵的齐次线性方程组 A X = 0 有非零 解向量 ,则此向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 是线性相关的 。若以 A = [ a1 ,a 2 ,a 3 … a m ] 为系数矩阵的齐次线性方程组 A X = 0 只有 零解向量 ,则此向量组 A :a1 ,a 2 ,a 3 … a m 是线性无关的 。例如 : ( ) 例 2 : 证明向量组 a1 = 2 ,1 ,0 ,5 ,a 2 = ( 7 , - 5 ,4 , - 1 ) ,a 3 = ( 3 , - 7 ,4 , - 11) 线性相关 。 证明 : 以 a 1 ,a 2 ,a 3 为系数向量的齐次线性方程组是

整理得 :
收稿日期 : 2004 - 10 - 14     修回日期 : 2004 - 12 - 25 作者简介 : 杨燕新 (1974 - ) , 女 ( 汉) , 山西太谷人 , 助教 , 从事线性代数教学研究 。

? 1994-2011 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

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2005                  杨燕新等 : 关于向量组线性相关的几种判定 2x1 + 7x2 + 3x3 = 0 x1 a 1 + x2 a 2 + x3 a 3 = 0 ,即 x1 - 5x2 + 7x3 = 0 4x2 + 4x3 = 0 5x1 - x2 - 11x3 = 0

293

(1) 当 — A —= 0 时 ,则向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 是线性相

关的 。 ( 2) 当 — A —≠ 0 时 ,则向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 是线性无 关的 。 若向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 的个数 m 与维数 n 不同时 ,则
( 1) 当 m > n 时 , 则向量组 A : a 1 ,a 2 ,a 3 …a m 是线性相关

利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵 A 化为行 阶梯型矩阵 ,即
2 A=    0 7 4 3 1 25
r1 ∴r2

的。
27
3 4 1 25

27
4

2 0

7 4

(22) xr 1 + r 2 (25) xr 1 + r 2

( 2) 当 m = n 时 ,转化为上述来进行判定 , 即选取 m 个向

量组成的 m 维向量组 ,若此 m 维向量组是线性相关的 , 则添 加分量后 ,得到的向量组也是线性相关的 。
1 0 2 例 4 : 已知 a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 4 试讨论 a 1 ,a 2 ,a 3 1 5 7

5 21 211
1 xr 17 2 1 xr 4 3 1 xr 24 4

5 21 211

1

25
17 4 24

27
17 4 24

1 25 27 0 0 0 1 1 1 1 1 1

    

0 0 0

r3 - r2 r4 - r2

1 25 27 0 0 0 1 0 0 1 0 0

的线性相关性 。 证明 : 令 A = ( a1 ,a 2 ,a 3 )
1 则| A| = 1 1 0 2 5 2 4 7 = 0 ,所以 a 1 ,a 2 ,a 3 线性相关 。

由行阶梯型矩阵可知 , R ( A) = 2 < 3 ,即齐次线性方程组 有非零解 ,所以向量组 a 1 ,a 2 ,a3 线性相关 。

行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组 作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解 , 然后再对向 量组的线性相关性作出判定 , 所以能应用行列式值进行判定 的向量组 ,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非 零解的方法来进行判定 。 例 5 [ 1 ] : 已知向量组 A :a 1 ,a2 ,a 3 是线性无关的 ,且有
b1 = a 1 + a 2 ,b2 = a 2 + a 3 , b3 = a 3 + a 1 ,证明向量组 b1 ,b2 ,b3 线

4  利用矩阵的秩判定
设向量组 A :a 1 , a2 , a 3 … a m 是由 m 个 n 维列向量所组成 的向量组 ,则向量组 A 的线性相关性可由向量组 A 所构成的 矩阵 A = (a 1 ,a 2 ,a 3 … a m ) 的秩的大小来进行判定 。即
(1) 当 R (A) = m 时 ,则向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 是线性无

关的 。 ( 2) 当 R ( A ) < m 时 ,则向量组 A :a 1 ,a 2 ,a3 … a m 是线性相 关的 。 例 3 : 设 a 1 = ( 1 ,1 ,1 ) T ,a 2 = ( 1 ,2 ,3 ) T ,a 3 = ( 1 ,3 ,t ) T , 问 当 t 为何值时 ,向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 线性相关 ,并将 a 3 表示为 a 1 和
a 2 的线性组合 。

性无关 。 证明一 : 设有 x1 ,x2 ,x3 ,使得 x1 b1 + x2 b2 + x3 b3 = 0 即 x1 ( a 1 + a 2 ) + x2 ( a2 + a3 ) + x3 ( a 3 + a 1 ) = 0 整理为 (x1 + x3 ) a 1 + (x1 + x2 ) a 2 + (x2 + x3 ) a3 = 0
x1 + x3 = 0

解 : 利用矩阵的秩有
A = [ a 1 ,a 2 ,a 3 ]   1 1 2 3 1 3 t 1 0 0 1 1 2 1 2 t21 1 0 0 1 1 0 1 2 t25

因 a1 ,a 2 ,a 3 是线性无关的 ,所以 x1 + x2 = 0
x2 + x3 = 0 1 由于此方程组的系数行列式 1 0 0 1 1 1 0 1 =2≠ 0

  =

1 1

可见 ,当 t = 5 时 ,向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 线性相关 ,并且有
1 A= 0 0 1 1 0 1 2 0 1 0 0 0 21 1 0 2 0 ,所以 a 3 = - a 1 + 2a 2 。

故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 ,所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关 。 证明二 : 将已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 ( b1 ,b2 ,b3 ) = ( a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 0 0 1 1 1 0 1

利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出 发点不同 ,但实质上是一样的 ,都是要利用矩阵的初等行变换 将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵 , 从而求出向量组的 秩 ,即系数矩阵的秩 ,然后再作出判定 。

记作 B = A K。设 Bx = 0 ,以 B = A K 代入 A ( Kx) = 0. 因 为矩阵 A 的列向量组线性无关 ,所以可推知 Kx = 0 。又因为
| K| = 2 ≠ 0 ,知方程 Kx = 0 只有零解 x = 0 , 所以矩阵 B 的列

5

利用行列式值的判定

若向量组 A :a 1 ,a 2 ,a 3 … a m 是由 m 个 m 维列向量所组成 的向量组 ,且向量组 A 所构成的矩阵 A = (a 1 ,a2 ,a 3 … a m ) ,即
A 为 m 阶方阵 ,则

向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关 。 证明三 : 将已知条件可以写为

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294

             山 西 农 业 大 学 学 报                   25 (3)
1 (b1 ,b2 ,b3 ) = (a 1 ,a 2 ,a3 ) 1 0 0 1 1 1 0 M1 am - 1 = 0 。

类似于上面的证明 , 同样可得 k m - 1 = k m - 2 = … = k3 = k2
= 0 , ( 1) 式最后转化为 k1 a 1 = 0 ,但 a 1 ≠ 0 ,因此 ,k1 = 0 ,这又与 k1 ,k2 ,k3 , … k m 不全为零的假设相矛盾 , 因此 , 向量组 a1 ,a2 , a3 … a m 线性无关 。

记作 B = A K , 因为 | K| ≠ 0 , 所以 K 可逆 , 由矩阵的秩的 性质可知 , R ( A ) = R (B) ,又因为 A 的列向量组线性无关 , 且 R ( A ) = 3 ,由此 R (B) = 3 ,所以 B 的三个列向量线性无关 。

7

利用向量组在线性空间中象的线性关系进行 判定 [ 2 ]

6

反证法

线性空间 V 中向量组 a 1 ,a 2 ,a3 … a r 线性相关的充要条件 σ(a r ) 线性相关 。 是它们的象σ(a1 ) σ , (a 2 ) σ , (a 3 ) … 因为由 k1 a1 + k2 a 2 + k3 a 3 + …+ k r a r = 0 可得 σ( a 1 ) + k2σ( a 2 ) + k3σ( a3 ) + …+ k σ k1 r (ar ) = 0 反过来 ,由 σ( a 1 ) + k2σ( a 2 ) + k3σ( a3 ) + …+ k σ k1 r (ar ) = 0 有σ(k1 a1 + k2 a 2 + k3 a 3 + …+ k r a r ) = 0 因为 σ是 1 —    1 的 ,只有σ(0) = 0 所以    k 1 a 1 + k 2 a 2 + k3 a 3 + …+ k r a r = 0

在有些题目中 ,直接证明结论常常比较困难 ,而从结论的 反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义 ,定理 , 公理相悖的结果 ,从而结论的反面不成立 ,即结论成立 。 例 6 : 设向量组 a 1 ,a2 ,a3 … a m 中任一向量 ai 不是它前面 i - 1 个向量的线性组合 ,且 ai ≠ 0 ,证明 : 向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 … am 线性无关 。 证明 : ( 反证法) 假设向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 … a m 线性相关 ,则存 在不全为零的数 k1 ,k2 ,k3 , … km , 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 + … + km a m = 0 ( 1)

8

利用矩阵的特征值与特征多项式进行判定

由此可知 ,km ≠ 0 ,否则由上式可得 ,
k1 k2 km- 1 a1 a2 … a m- 1 , km km km

am = -

若向量组中各向量是属于同一矩阵的不同特征值所对应 的特征向量 ,则此向量组线性无关 。 由以上可以看出 ,在熟练地理解和掌握了向量组线性相 关的定义 、 定理的基础上 ,灵活地应用上述几种方法 , 证明向 量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破 。

即 a m 可由它前面 m - 1 个向量线性表示 ,这与题设矛盾 , 因此 km = 0 ,于是 ( 1 ) 式转化为 k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 + … + km - 1









[ 1 ] 同济大学应用数学系 . 线性代数 [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 ,2004. 89. [ 2 ] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 . 高等代数 [ M ] . ( 第 2 版) 北京 : 高等教育出版社 ,1988. 271.

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