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示范教案(3.2 函数模型的应用举例)


第 2 课时 函数模型的应用举例 导入新课 思路 1.(事例导入) 一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶,初速度为 v0,加速度为 a,那么经过 t 小时它的速度为 多少?在这 t 小时中经过的位移是多少?试写出它们函数解析式, 它们分别属于那种函数模 型?v=v0+at,s=v0t+
1 2

at2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型.

>
不仅在物理现象中用到函数模型, 在其他现实生活中也经常用到函数模型, 今天我们继续讨 论函数模型的应用举例. 思路 2.(直接导入) 前面我们学习了函数模型的应用, 今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟 合问题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我市某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测:进入 21 世纪以来,前 8 年在正常情 况下,该产品产量将平稳增长.已知 2000 年为第一年,头 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示: x f(x) 1 4.00 2 5.58 3 7.00 4 8.44

1° 画出 2000~2003 年该企业年产量的散点图;建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时 期该企业年产量发展变化的函数模型,并求之. 2° 2006 年(即 x=7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响,年产量应减少 30%,试根据 所建立的函数模型,确定 2006 年的年产量应该约为多少? ②什么是函数拟合? ③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 讨论结果:①1° 如图 3-2-2-5, 设 f(x)=ax+b,代入(1,4)(3,7),得 ? 、
3 2 5 2

? a ? b ? 4, ? 3a ? b ? 7,

解得 a=

3 2

,b=

5 2

.

∴f(x)=

x+

.

检验:f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1; f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型 f(x)=
3 2

x+

5 2

能基本反映产量变化.

2° f(7)=13,13× 70%=9.1,2006 年年产量应约为 9.1 万件.

图 3-2-2-5 ②函数拟合: 根据搜集的数据或给出的数据画出散点图, 然后选择函数模型并求出函数解析 式,再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程. ③建立函数模型解决实际问题的基本过程为:

图 3-2-2-6 应用示例 思路 1 例 1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元.销售 单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400 9 360 10 320 11 280 12 240

请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 解:根据上表,销售单价每增加 1 元,日均销售量就减少 40 桶.设在进价基础上增加 x 元后,日 均销售利润为 y 元,而在此情况下的日均销售量就为 480-40(x-1)=520-40x(桶). 由于 x>0,且 520-40x>0,即 0<x<13, 于是可得 y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200,0<x<13.

易知,当 x=6.5 时,y 有最大值. 所以,只需将销售单价定为 11.5 元,就可获得最大的利润. 变式训练 某工厂现有 80 台机器,每台机器平均每天生产 384 件产品,现准备增加一批同类机器以提 高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平 均每天将少生产 4 件产品. (1)如果增加 x 台机器,每天的生产总量为 y 件,请你写出 y 与 x 之间的关系式; (2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少? 解: (1)设在原来基础上增加 x 台,则每台生产数量为 384-4x 件,机器台数为 80+x, 由题意有 y=(80+x)(384-4x). (2)整理得 y=-4x2+64x+30 720, 由 y=-4x2+64x+30 720,得 y=-4(x-8)2+30 976, 所以增加 8 台机器每天生产的总量最大,最大生产总量为 30 976 件. 点评:二次函数模型是现实生活中最常见数学模型. 例 2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身 高 ∕cm 体 重 ∕kg 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

(1)根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为偏瘦,那么这个地区一名身 高为 175cm,体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常? 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导: 根据表的数据画出散点图.观察发现,这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分 布情况, 可以考虑用 y=a·x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x b cm 的函数关系. 解: (1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图(图 3-2-2-7).根据点的分布特征, 可以考虑用 y=a·x 作为刻画这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 关系的函数模型. b 如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入 y=a·x,得 ? b
? 7 . 9 ? a ? b 70 , ? 47 . 25 ? a ? b? 00 .

用计算器算得 a≈2,b≈1.02. 这样,我们就得到一个函数模型:y=2× 1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象(图 3-2-2-8) ,可以发现,这个函 数模型与已知数据的拟合程度较好, 这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系. (2)将 x=175 代入 y=2× 1.02x,得 y=2× 1.02175, 由计算器算得 y≈63.98. 由于 78÷ 63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.

图 3-2-2-7

图 3-2-2-8

变式训练 九十年代,政府间气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出:使全球气候逐年变 暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使 CO2 浓度增加.据测, 1990 年、 1991 年、 1992 年大气中的 CO2 浓度分别比 1989 年增加了 1 个可比单位、3 个可比单位、6 个可比单 位.若用一个函数模拟九十年代中每年 CO2 浓度增加的可比单位数 y 与年份增加数 x 的关系, 模拟函数可选用二次函数或函数 y=a·x+c(其中 a、b、c 为常数) b ,且又知 1994 年大气中的 CO2 浓度比 1989 年增加了 16 个可比单位,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好? 解:(1)若以 f(x)=px2+qx+r 作模拟函数,
1 ? ?p ? 2, ? p ? q ? r ? 1, ? 1 1 1 ? ? 4p ? 2q ? r ? 3, 解得 ? q ? , 所以 f(x)= x2+ x. 则依题意得 ? 2 2 2 ? 9p ? 3q ? r ? 6, ? ? ?r ? 0, ? ?
8 ? ?a ? 3 , ? ab ? c ? 1, ? 3 ? 2 ? x (2)若以 g(x)=a· +c 作模拟函数,则 ? ab ? c ? 3, 解得 ? b ? , b 2 ? 3 ? ? ab ? c ? 6, ?c ? ?3 ? ?

所以 g(x)=

8 3

· )x-3. (
2

3

(3)利用 f(x)、g(x)对 1994 年 CO2 浓度作估算,则其数值分别为: f(5)=15 可比单位,g(5)=17.25 可比单位, ∵|f(5)-16|<|g(5)-16|, 故选 f(x)=
1 2

x2+

1 2

x 作为模拟函数与 1994 年的实际数据较为接近.

思路 2 例 1 某自来水厂的蓄水池有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池又向居 民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 1206t 吨,其中 0≤t≤24. (1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时 出现供水紧张现象? 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导. 思路分析:首先建立函数模型,利用函数模型解决实际问题. 解:设供水 t 小时,水池中存水 y 吨,则

(1)y=400+60t-120 6t =60( t ?

6 ) +40(1≤t≤24),

2

当 t=6 时,ymin=40(吨), 故从供水开始到第 6 小时,蓄水池中的存水量最少,最少存水为 40 吨. (2)依条件知 60( t ? 解得
8 3
6 ) +40<80,1≤t≤24,
2

<t<

32 3

,

32 3

?

8 3

=8.

故一天 24 小时内有 8 小时出现供水紧张. 例 22007 泰安高三期末统考,文 18 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个,出厂价为 60 元/个,日销售量为 1 000 个,为适应市场需求,计划提高蛋糕档次,适度增加成本.若每个 蛋糕成本增加的百分率为 x(0<x<1) ,则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为 0.5x,同时 预计日销售量增加的百分率为 0.8x,已知日利润=(出厂价一成本)× 日销售量,且设增加 成本后的日利润为 y. (1)写出 y 与 x 的关系式; (2)为使日利润有所增加,求 x 的取值范围. 解:(1)由题意得 y=[60× (1+0.5x)-40× (1+x)]× 000× 1 (1+0.8x) 2 =2 000(-4x +3x+10)(0<x<1). (2)要保证日利润有所增加,当且仅当 ?
?? 4 x 2 ? 3 x ? 0, ?0 ? x ? 1.
? y ? ( 60 ? 40 ) ? 1000 ? 0 , ? 0 ? x ? 1,

即?

解得 0<x<

3 4

.
3 4

所以为保证日利润有所增加,x 应满足 0<x<

.

点评:函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用,它们是有机的整体. 知能训练 2007 广东韶关统考,文 18 某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 千克,每 千克饲料的价格为 1.8 元, 饲料的保管与其他费用为平均每千克每天 0.03 元, 购买饲料每次 支付运费 300 元. (1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小; (2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于 5 吨时其价格可享受八五折优惠(即原 价的 85%) .问该厂是否考虑利用此优惠条件,请说明理由. 解:(1)设该厂应隔 x(x∈N*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为 y1, ∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少 200× 0.03=6(元). ∴x 天饲料的保管与其他费用共有 6(x-1)+6(x-2)+…+6=3x2-3x(元). 从而有 y1= =
300 x 1 x

(3x2-3x+300)+200× 1.8

+3x+357,

可以证明 y1=

300 x

+3x+357,在(0,10)上为减函数,在(10,+∞)上为增函数.

∴当 x=10 时,y1 有最小值 417, 即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少 25 天购买一次饲料,设该厂利用此优惠条件,每隔 x 天 (x≥25)购买一次饲料,平均每天支付的总费用为 y2,则 y2=
1 x

(3x2-3x+300)+200× 1.8× 0.85=

300 x

+3x+303(x≥25).

∵函数 y2 在[25,+∞)上是增函数, ∴当 x=25 时,y2 取得最小值为 390.而 390<417, ∴该厂应接受此优惠条件. 拓展提升 如何用函数模型解决物理问题? 例:在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1,a2,…,an 共 n 个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其他近似值比较 a 与各数据差的平方和最小,依此规定,从 a1,a2,a3,…,an 推出的 a=________. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导:此题应排除物理因素的 干扰,抓准题中的数量关系,将问题转化成函数求最值问题. 解:由题意可知,所求 a 应使 y=(a-a1)2+…+(a-an)2 最小, 由于 y=na2-2(a1+a2+…+an)2a+(a12+a22+…+an2). 若把 a 看作自变量,则 y 是关于 a 的二次函数,于是问题转化为求二次函数的最小值. 因为 n>0,二次函数 f(a)图象开口方向向上, 当 a=
1 n

(a1+a2+…+an)时,y 有最小值,
1 n

所以 a=

(a1+a2+…+an)即为所求.

点评:此题在高考中是具有导向意义的试题,它以物理知识和简单数学知识为基础,并以物 理学科中的统计问题为背景, 给出一个新的定义, 要求学生读懂题目, 抽象其中的数量关系, 2 2 2 将文字语言转化为符号语言, y=(a-a1) +(a-a2) +…+(a-an) ,然后运用函数的思想方法去解决 即 问题.解题关键是将函数式化成以 a 为自变量的二次函数形式,这是函数思想在解决实际问 题中的应用. 课堂小结 1.巩固函数模型的应用. 2.初步掌握函数拟合思想,并会用函数拟合思想解决实际问题. 作业 课本 P107 习题 3.2B 组 1、2. 设计感想 本节通过事例引入课题, 接着通过事例让学生感受什么是函数拟合; 课本的例 3 是函数模型 的应用,例 4 是函数拟合的应用,这都是本节的重点.因此本节选用了多个地市的模拟试题 进行强化训练,其中开放性函数拟合问题更值得关注.本节素材鲜活丰富,结构合理有序, 难度适中贴近高考. 习题详解 (课本第 98 页练习) 1.y2.

2.设第 1 轮病毒发作时有 a1=10 台被感染,第 2 轮,第 3 轮,…,依次有 a2 台,a3 台,…被感染,依题 意有 a5=10× 4=160. 20 答:在第 5 轮病毒发作时会有 160 万台被感染. (课本第 101 页练习) 三个函数图象如下:

图 3-2-2-9 由图象可以看到,函数(1)以“爆炸”式的速度增长;函数(2)增长缓慢,并渐渐趋于稳定;函数(3)以 稳定的速度增加. (课本第 104 页练习) 1.(1)已知人口模型为 y=y0ert, 其中 y0 表示 t=0 时的人口数,r 表示人口的年增长率. 若按 1650 年世界人口 5 亿,年增长率为 0.3%估计,有 y=5e0.003t. 当 y=10 时,解得 t≈231. 所以,1881 年世界人口数约为 1650 年的 2 倍. 同理,可知 2003 年世界人口数约为 1970 年的 2 倍. (2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 2.由题意有 75t-4.9t2=100, 解得 t=
75 ? 60 . 5 2 ? 4 .9

,

即 t1≈1.480,t2≈13.827. 所以,子弹保持在 100 m 以上的时间 t=t2-t1≈12.35,在此过程中,子弹最大速率 v1=v0-9.8t=75-9.8× 1.480=60.498 m/s. 答 : 子 弹 保 持 在 100 米 以 上 高 度 的 时 间 是 12.35 秒 , 在 此 过 程 中 , 子 弹 速 率 的 范 围 是 v∈(0,60.498). (课本第 106 页练习) 1.(1)由题意可得 y1=150+0.25x, y2=
150 x

+0.25,

y3=0.35x, y4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出 y4=0.1x-150 的图象如下.

图 3-2-2-10

由图象可知,当 x<1500 件时,该公司亏损; 当 x=1500 件时,公司不赔不赚; 当 x>1500 件时,公司赢利. 2.(1)列表.

(2)画散点图.

图 3-2-2-11 3.确定函数模型. 甲:y1=-x2+12x+41, 乙:y2=-52.07× 0.778x+92.5.

(4)做出函数图象进行比较.

图 3-2-2-12

图 3-2-2-13

图 3-2-2-14 计算 x=6 时,y1=77,y2=80.9. 可见,乙选择的模型较好. (课本第 107 页习题 3.2) A组 1.(1)列表.

(2)描点.

图 3-2-2-15 (3)根据点的分布特征,可以考虑以 d=kf+b 作为刻画长度与拉力的函数模型,取两组数据 (1,14.2)、(4,57.5),有 ?
? k ? 14.4, ? b ? -0.2. ? k ? b ? 14.2, ? 4k ? b ? 57.5,

解得 ?

所以 d=14.4f-0.2.

将已知数据带入上述解析式或作出函数图象,可以发现,这个函数模型与已知数据拟合程度较

好,说明它能较好地反映长度与拉力的关系.

图 3-2-2-16 2.由
20 10
3

=(60)2a,得 a=

1 36 ? 5 ? 3

.由

50 10
3

=

1 36 ? 5 ? 3

x2,得 x=3010.

因为 3010<100,所以这辆车没有超速.
? 60 t , 0 ? t ? 2 . 5 , ? 60 , 0 ? t ? 2 . 5 , ? ? 3.(1)x= ?150 , 2 . 5 ? t ? 3 . 5 , (2)v= ? 0 , 2 . 5 ? t ? 3 . 5 , ?150 ? 50 ( t ? 3 . 5 t ), 3 . 5 ? t ? 6 . 5 . ? 50 , 3 . 5 ? t ? 6 . 5 . ? ?

图略. 4.设水池总造价为 y 元,水池长度为 x m,则 y=(12x+ 画出函数 y1=(12x+
2400 x 2400 x

)95+

1200 6

× 135,

)95+

1200 6

× 135 和函数 y2=7 的图象.

图 3-2-2-17 由图可知,若 y1≤7,则 x 应介于 1,x2] [x 之间,x1,x2 即为方程(12x+ 的两个根. 解得 x1≈6.4,x2≈31.3. 答:水池的长与宽应该控制在[6.4,31.3]之间. 5.将 x=0,y=1.01× 5 和 x=2400,y=0.90× 5 分别代入 y=cekx,得到 ? 10 10
? c ? 1 . 01 ? 10 5 , ? 解得 c= ? ? k ? ? 4 . 805 ? 10 ?
5 ? ? c ? 1 . 01 ? 10 ,

2400 x

)95+

1200 6

× 135=70 000

? 0 . 90 ? 10 5 ? ce ?

2400 k

,

?5

所以 y=1.01× 5e 10
,

? 4 . 805 ?10

?5

x.

当 x=5596m 时,y=0.772× 5(Pa)<0.775× 5(Pa). 10 10 答:这位游客的决定是冒险的决定. 6.由 500≤2500(
8 10

)t<1500,解得 2.3<t≤7.2.

答:应该在用药 2.3 小时后及 7.2 小时以前补充药. B组 1.(1)利用计算器画出 1990~2000 年国内生产总值的图象如下.

图 3-2-2-18 (2)根据以上图象的特征,可考虑用函数 y=kx+b 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 取(1994,46670)(1998,76967.1)两组数据代入上式,得
? 46670 ? 1994k ? b, ? k ? 7574.275, 解得 ? ? ? 76967.1 ? 1998k ? b, ? b ? -15056434.

35.

这样,我们就得到了函数模型 y=7574.275x-15056434.35. 作出上述函数图象如下.

图 3-2-2-19 根据上述函数图象,我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反 映国民生产总值的发展变化. (3)以 x=2 004 代入以上模型可得 y=122 412.75 亿元,由此可预测 2004 年的国民生产总值约为 122 412.75 亿元. 2.(1)点 A,B 的实际意义为当乘客量为 0 时,亏损 1(单位);当乘客量为 1.5 单位时,收支持平;射 线 AB 上的点的实际意义为当乘客量小于 1.5 时公司将亏损,当乘客量大于 1.5 时公司将赢利. (2)图 2 的建议是:降低成本而保持票价不变;图 3 的建议是:提高票价而保持成本不变.


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