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2012高三数学一轮复习单元练习题:概率与统计(Ⅲ)


2012 高三数学一轮复习单元练习题:概率与统计(Ⅲ)
? 选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 设 M 和 N 是两个随机事件,表示事件 M 和事件 N 都不发生的是 A. M ? N B. M ? N C.
M ?N ? M ?N

( D. M ? N



2. 某校高中生共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采取分层抽样 法抽取容量为 45 的样本,那么高一,高二,高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A..15,10,20 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,5,25 3.设一随机试验的结果只有 A 和 B,且 P(A)=m,令随机变量 ? = ? A发生 B 发生,则 ? 的方差为(
?0 ? ?1 ?



A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 4. 设ξ 是离散型随机变量,η =2ξ +3,则有 A.Eη =2Eξ ,Dη =4Dξ B.Eη =2Eξ +3,Dη =4Dξ C.Eη =2Eξ +3,Dη =2Dξ +3 D.Eη =2Eξ ,Dη =4Dξ +3 5.观察 2000 名新生婴儿的体重,得到频率分布直方图如图,则其中体 重[2700,3000]的婴儿有( ) A.2 名 B.600 名 C.20 名 D.6 名 6. 将一组数据 x1,x2,?,xn 改变为 x1-c,x2-c,?, n-c(c≠0),下面结 x 论正确的是 A.平均数和方差都不变 B.平均数不变,方差变了 C.平均数变了,方差不变 D.平均数和方差都变了





7. 船队若出海后天气好,可获利 5000 元,若出海后天气坏,将损失 2000 元;若不出海也要损失 1000 元, 根据预测天气好的概率为 0.6,则出海效益的期望是( A、2600 B、2400 C、 2200 D、2000
1 2
? ( x ) ? 1 ? ? ( ? x ) ;③ P (| ? |< a ) ? 2 ? ( a ) ? 1 ;④ P (| ? |> a ) ? 1 ? ? ( a ) .其中正确命题的个数为(



8. 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N(0,1), 记 ? ( x ) ? P (? < x ) . 给 出 下 列 结 论 : ① ? (0 ) ?

;②



A.1 B.2 C.3 D.4 9. 为了解某校高三学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名高三学 生的视力情况,得到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢 失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数列,设 最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值分 别为 ( ) A.0.27, 78 B.0.27, 83 C.2.7, 78 D.2.7, 83 10. 抛掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这些试验成功,则在 10 次试验中,成功次数ξ

的期望是 A. 10
3

( B. 55
9

) C.
50 9

D.

80 9

11.如果随机变量ξ ~N ( 0 ,1 ),标准正态分布表中相应 x 0 的值为 ? ( x 0 ) 则 A. P (?
? x0 ) ? ? (x0 )

(

)

B. P (? ? x 0 ) ? ? ( x 0 ) D. P (? ? x 0 ) ? ? ( x 0 )

C. P (| ? |? x 0 ) ? ? ( x 0 )

12.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立地做了 10 次和 15 次试验,并 且利用线性回归方法, 求得回归直线分别为 l1 和 l 2 .已知两个人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均数 都为 s ,对变量 y 的观测数据的平均数都为 t ,那么下列说法正确的是( ) A. l1 与 l 2 有交点( s , t ) C. l1 与 l 2 平行 题号 答案 二、填空题: (共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分) 2 2 13. 若以连续掷两次骰子分别得点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 落在圆 x +y =16 内的概率是 14. 一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组频数和频率分别为 36 和 0.25,则 n=__________. 15.五组 ( x , y ) 数据的散点图如图所示,现去掉其中一组数据后,对剩下的四组数
y

B. l1 与 l 2 相交,但交点不是( s , t ) D. l1 与 l 2 重合

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

( 5 , 9 .5 ) 据进行线性相关分析,为使线性相关分数最大,应去掉的一组数据 ( 4 , 7 .8 ) 是 . 16.. 有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ξ 表示取到 ( 2 , 3 .5 ) 次品的个数,则 Dξ = (1, 2 ) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) x 17. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话.已知某一时刻电话A、B占线 的概率为 0.5,电话C、D占线的概率为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影 响.假设该时刻有 ? 部电话占线,试求随机变量 ? 的概率分布和它的期望 18.蓝球运动员比赛投篮,命中得 1 分,不中得 0 分,已知运动员甲投篮命中率的概率为 P .

(3, 9 )

32、记投篮 1 次得分 ξ ,求方差 D ? 的最大值; 33、当(1)中 D ? 取最大值 时,甲一投 3 次篮,求所得总分 y 的概率分布. 19. 甲、乙两个商店购进同一种商品的价格为每件 30 元,销售价均为每件 50 元。根据前 5 年的有关资料 统计,甲商店这种商品的需求量ξ 服从以下分布: ξ 10 20 30 40 50

P

0.15

0.20

0.25

0.30

0.10

乙商店这种商品的需求量? 服从二项分布? ~ B ( 40,0.8 ) 若这种商品在一年内没有售完,则甲商店在一年后以每件 25 元的价格处理。乙商店一年后剩下的这 种商品第 1 件按 25 元的价格处理,第 2 件按 24 元的价格处理,第 3 件按 23 元的价格处理,依此类推。 今年甲、乙两个商店同时购进这种商品 40 件,根据前 5 年的销售情况,请你预测哪间商店的期望利润较 大? 20. 甲、乙两个篮球队进行比赛每场比赛均不出现平局,而且若有一队胜 4 场,则比赛宣告结束,假设甲、 乙在每场比赛中获胜的概率都是
1 2 .

(1)求需要比赛场数ξ 的分布列及数学期望 Eξ ; (2)如果比赛场馆是租借的,场地租金 200 元,而且每赛一场追加服务费 32 元,那 么举行一次这样的比赛,预计平均花销费用多少元钱?. 21. 袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为 , 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1
7 1

球,甲先取,乙后取,然后甲再取??取后不放回,直到两人中有一人取到白球时既终止,每个球在每一 次被取出的机会是等可能的,用 ? 表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数; (2)求随机变量 ? 的概率分布; (3)求甲取到白球的概率. . 22. 某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且客人 是否游览哪个景点互不影响,设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对 值. (1)求ξ 的分布及数学期望; (2)记“函数 f(x)=x -3ξ x+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率.
2

参考答案 一、D、A、D、B、B、C、B、C、A、C、D、A 二、13.
2 9

; 14. 144; 15.(3,9) 16. ;
2 2

39 80

三、17.解:P( ? =0)=0.5 ×0.6 -0.09. P( ? =1)= C 2 ×0.5 ×0.6 + C 2 ×0.5 ×0.4×0.6 – 0.3.
3
2 2

1

2

P( ? = 2 ) = C 2 ×0.5 ×0.6 + C 2 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6 + C 2 ×0.5 ×0.4 -0.37
3
2 2

1

1

2

3

2

2

.P( ? = 3 ) = C 2 C 2 ×0.5 ×0.4×0.6+ C 2 C 2 ×0.5 ×0.4 ×0.2. 2 2 P( ? = 4 ) = 0.5 ×0.4 = 0.04. 于是得到随机变量 ? 的概率分布列为: ? 0 1 2 3 4 P 0.09 0.3 0.37 0.2 0.04 ? = 0 ×0.09 + 1 ×0.3 + 2 ×0.37 + 3 ×0.2 + 4 ×0.04 =1.8. 所以 E
3 1
2

1

2

2

2

18.解: (1)依题意, ? 的分布列为
? E ? ? 0 ? (1 ? P ) ? 1 ? P ? P D ? ? (0 ? P ) ? (1 ? P ) ? (1 ? P ) ? P ? ? ( P ?
2 2

1 2

) ?
2

1 4

?P ?

1 2

时. D ? 取最大值,最大值是
1

1 4

.

(2)? ~ B (3, ),? ? 的分布列是
2

?

0 1-p 3
1 8

1 p

p
?

0
1 8

1
3 8

2
3 8

P

19.解:Eξ =10 ×0.15 + 20×0.20 + 30× 0.25 + 40 ×0.30 + 50× 0.10 =30 ∴甲商店的期望利润为 30 ×(50 – 30)–(40 – 30 )×(30 – 25 )=550 (元) Eη =40× 0.8 = 32 由题意知,乙商店剩下的产,商品亏本金额是以 30 – 25 =5 为首项,公差为 1,项数为 40 – 32 = 8 的 等差数列。 ∴乙商店剩下的亏本金额为 8×5 +
8 ? (8 ? 1) 2

×1 = 68(元)

∴乙商店的期望利润为 32×(50 – 30)– 68 = 576(元)> 550(元) 答:乙商店的期望利润较大。 20.解:设:测量一次绝对误差不超过 10m 的概率 P1 . 则 P1 ? P (| ? |? 1 0 ) ? ? (
1 0 ? 7 .5 10 ) ? ?( ? 1 0 ? 7 .5 10 ) ? ? (0 .2 5) ? ? ( ? 1 .7 5)

? ? (0.25) ? ? (1.75) ? 1 ? 0.5586 .

∴ n 次测量至少有一次测量的绝对误差不超过 10m 的概率
P2 ? 1 ? (1 ? 0 .5 5 8 6 ) ? 1 ? (0 .4 4 1 4 )
n n

由 1 ? (0 .4 4 1 4 ) > 0 .9 得 n >
n

?1 lg (0 .4 4 1 4 )

? 2 .8 1 5 .

∴至少要进行三次测量.
n ( n ? 1) 1 7 Cn C7
2 2

21.解:解:(1)设袋中原有 n 个白球,由题意知

?

?

2 7?6 2

?

n ( n ? 1) 7?6

可得 n ? 3 或 n ? ? 2 (舍去)即袋中原有 3 个白球. (2)由题意, ? 的可能取值为 1,2,3,4,5
P (? ? 1) ? P ?? ? 2 ? ? 3 7 ; 7?6 7 4? 3? 2 6 P (? ? 3) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 35 4? 3? 2? 3 3 P (? ? 4 ) ? ? ; 7? 6?5? 4 35 4 ? 3 ? 2 ?1? 3 1 P (? ? 5) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35 4?3 ? 2 ;

所以 ? 的分布列为:
?
P

1
3 7

2
2 7

3
6 35
22 35

4
3 35

5
1 35

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第 5 次取球,记”甲取到白球”为事件 A ,则
P ( A ) ? P ?? ? 1? ? P ? ? ? 3 ? ? P ?? ? 5 ? ?

.

22.解: (1)分别记“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点” , , 为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5, P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能取 值为 3,2,1,0,所以 ? 的可能取值为 1,3.

P( ? =3)=P(A1·A2·A3)+ P( A1 ? A 2 ? A 3 ) = P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 ) P ( A 2 ) P ( A 3 ) ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24, P( ? =1)=1-0.24=0.76. 所以 ? 的分布列为 E ? =1×0.76+3×0.24=1.48. (2)解法一 因为 f ( x ) ? ( x ?
2

?

1 0.76

3 0.24

P

3 2

?) ?1?
2

9 4

? ,
2

所以函数 f ( x ) ? x ? 3? x ? 1在区间 [ ? , ?? ) 上单调递增,
2

3

要使 f ( x ) 在 [ 2 , ?? ) 上单调递增,当且仅当 ? ? 2 , 即 ? ?
2

3

4 3

.

从而 P ( A ) ? P (? ?

4 3

) ? P (? ? 1) ? 0 . 76 .

解法二: ? 的可能取值为 1,3. 当 ? =1 时,函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1在区间 [ 2 , ?? ) 上单调递增,
2

当 ? =3 时,函数 f ( x ) ? x ? 9 x ? 1在区间 [ 2 , ?? ) 上不单调递增.0
2

所以 P ( A ) ? P (? ? 1) ? 0 . 76 .


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