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2011年浙江省高中数学竞赛试题


2011 年浙江省高中数学竞赛试题 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 θ ∈ [ A. 2sin θ
5π 3π , ] ,则 1 ? sin 2θ ? 1 + sin 2θ 可化简为( 4 2



B. ?2sin θ

C.

?2 cos θ

D. 2 cos θ )

2.如果复数 ( a + 2i )(1 + i ) 的模为 4,则实数 a 的值为(

A. 2

B. 2 2

C.

±2

D. ±2 2 )

3. 设 A , 为两个互不同集合, B 命题 P: ∈ A ∩ B ,命题 q: ∈ A 或 x ∈ B , p 是 q 的 x x 则 ( A. 充分且必要条件 4. 过椭圆 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件

D. 非充分且非必要条件

x2 + y 2 = 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45o 弦 AB,则 AB 为( 2 B.
4 6 3



A.

2 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) = ? x ? 5 ?1

x≥0 ,则该函数为( x<0



A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

8. 在平面区域 {( x, y ) | x |≤ 1,| y |≤ 1} 上恒有 ax ? 2by ≤ 2 ,则动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积

为(

)A. 4

B.8

C. 16

D.

32

π ? π? 9. 已知函数 f ( x) = sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( 6 ? 2?
?1 ? A. ? , 1? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?



10. 已知 a ∈ [?1,1] ,则 x 2 + (a ? 4) x + 4 ? 2a > 0 的解为( A. x > 3 或 x < 2 B. x > 2 或 x < 1 C. x > 3 或 x < 1

) D. 1 < x < 3

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分)
11. 函数 f ( x) = 2 sin

x ? 3 cos x 的最小正周期为_________。 2

12. 已知等差数列 {an } 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 + a8 + a15 =_________.
1

r r r r 13. 向量 a = (1, sin θ ) , b = (cos θ , 3) , θ ∈ R ,则 a ? b 的取值范围为



14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点(含端

点) D 为 BC 边上的中点,且 PD ⊥ PE 。则直线 AP, PE 的夹角为____。 ,
15.设 x, y 为实数,则
5 x 2 + 4 y 2 =10 x

max ( x 2 + y 2 ) = ____________。

16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只

灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有
__________种。 (用组合数符号表示) 17. 设 x, y, z 为整数,且 x + y + z = 3, x 3 + y 3 + z 3 = 3 ,则 x 2 + y 2 + z 2 = ____。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)
18. 设 a ≤ 2 ,求 y = ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

19. 给定两个数列 {x n } , {y n }满足 x0 = y 0 = 1 , x n =

2 x n?1 y n ?1 (n ≥ 1) , y n = (n ≥ 1) 。 2 + x n ?1 1 + 2 y n ?1

证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 y n = x jn 。
20. 已知椭圆

x2 y 2 + = 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 为 F1 右侧 52 4 2

一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的值。

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分)
21. 在锐角三角形 ABC 中,∠A =

π
3

,设在其内部同时满足 PA ≤ PB 和 PA ≤ PC 的点 P 的全体

1 形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。证明三角形 ABC 为等边三角形。 3

22. 设 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 3 。求证: a+b b+c c+a 3 + + ≥ ,并指明等号成立的条件。 2+a+b 2+b+c 2+c+a 2
2


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