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【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练:1.2.3 三角函数的诱导公式


1.2 1.2.3

任意角的三角函数 三角函数的诱导公式

设 0°≤α ≤90°,对于任意一个 0°到 360°的角β ,以下四 种情形中有且仅有一种成立. α ,当β ∈[0°,90°], ? ?180°-α ,当β ∈[90°,180°], β =? 180°+α ,当β ∈[180°,270°], ? ?360°-α ,当β ∈[270°,360°]. 思考:180°-α ,180°+α ,360°-α 的三角函数值与α 的 三角函数值有怎样的关系呢?

基 础 巩 固
? 17π ? ?的值为________. 1.sin?- 6 ? ?

1 答案:- 2

2.设 cos(π +α )= 是________.

3 3? ?π <α < π 2 2?

? ?,那么 sin(2π -α )的值 ?

1 答案: 2

3.设 cos(-80°)=k,则 tan 100°=________.

答案:-

1-k

2

k

? π? 4 2 4.sin?- ?+2sin π +3sin π =________. 3 3 ? 3?

答案:0

5 . sin2150 ° + sin2135 ° + 2sin 210 ° + cos2225 ° 的 值 为 ______.

1 答案: 4

? ? π? π? 6.sin?α - ?+cos?α + ?=______. 4? 4? ? ?

答案:0

7 . sin21 ° + sin22 ° + sin23 ° + …+ sin288 ° + sin289 ° = ______.

解析: sin21°+sin289°=1, sin22°+sin288°=1, …sin244° +sin246°=1,∴原式=44+sin245°= 89 答案: 2 89 . 2

8.已知三角形中的两个内角α 、β 满足 sin 2α =sin 2β ,那 么这个三角形的形状是________.

解析:由 sin 2α =sin 2β 得 2α =2β 或 2α +2β =π ,即α π =β 或α +β = . 2 答案:等腰三角形或直角三角形

9.△ABC 中,cos(2A+B+C)=________.

解析:∵A+B+C=π ,∴cos(2A+B+C)=cos(π +A)=-cos

A.
答案:-cos A

10.在△ABC 中,下列四个关系式中: ①sin(A+B)=sin C; ②cos(A+B)=cos C; ③sin

A+B

=sin ; 2 2

C

④cos

A+B

=sin . 2 2

C

其中正确的是________(填序号).

答案:①④

能 力 升 级 11 . sin(n π + θ ) ? cos(n π + θ ) ? tan(n π + θ )(n ∈ Z) = ______.

解析:n 为奇数时,原式=(-sin θ )?(-cos θ )?tan θ = sin2θ ;n 为偶数时,原式=sin θ ?cos θ ?tan θ =sin2θ . 答案:sin2θ

12.设φ (x)=sin2?
?π ? ? ?=________. ?3?



? ? π? -x?+cos2?x- ?+tan(19π -x),则φ 2? ?2 ? ?

解析:∵φ (x)=cos2x+sin2x-tan x=1-tan x,
?π ? π ∴φ ? ?=1-tan =1- 3. 3 ?3?

答案:1- 3

13.若 sin(180°+α )=-

10 ,0°<α <90°, 10



sin?(-α )?+sin?(-90°-α )? 的值. cos?(540°-α )?+cos?(-270°-α )?

解析:由 sin(180°+α )=- 10 3 10 ,cos α = . 10 10 ∴

10 ,0°<α <90°得 sin α = 10

sin?(-α )?+sin?(-90°-α )? cos?(540°-α )?+cos?(-270°-α )?

10 3 10 - - 10 10 -sin α -cos α = = =2. -cos α +sin α 3 10 10 - + 10 10

14.化简:cos?
?

?3k+1

3

π +α ?+cos?
? ?

?

?3k-1

3

π -α ?,其中 k∈Z.
?

?

解析:方法一

当 k=2n,n∈Z 时,

? ? ? ? π π 原式=cos?kπ + +α ?+cos?kπ - -α ? 3 3 ? ? ? ? ? π =cos?2nπ + +α 3 ? ? ? ? π ?+cos?2nπ - -α ? 3 ? ? ?

=cos? =cos?



? ? π ? +α ?+cos?- -α ? ?3 ? ? 3 ? ?π ? ?π ? ?π ? +α ?+cos? +α ?=2cos? +α ?. ?3 ? ?3 ? ?3 ?

当 k=2n+1,n∈Z 时,







cos

? ? π ??(2n+1)?π + +α ? 3 ? ?



? ? π cos??(2n+1)?π - -α ? 3 ? ? ? ? ? ? π π =cos?π + +α ?+cos?π - -α ? 3 3 ? ? ? ?

=-cos?

?π ?3

+α ?-cos?
?

?

?π ?3

+α ?=-2cos?
?

?

?π ?3

+α ?.
?

?

? ? ? ? π π 方法二 原式=cos?kπ + +α ?+cos?kπ - -α ? 3 3 ? ? ? ? ? ? π =2cos?kπ + +α ?. 3 ? ?

当 k=2n,n∈Z 时,
? ? ?π ? π 原式=2cos?2nπ + +α ?=2cos? +α ?. 3 ? ? ?3 ?

当 k=2n+1,n∈Z 时,
? ? π 原式=2cos?2nπ +π + +α ? 3 ? ? ? ? ?π ? π =2cos?π + +α ?=-2cos? +α ?. 3 ? ? ?3 ?

15.已知 sin(α +β )=1,求证:tan(2α +β )+tan β =0.

证明:∵sin(α +β )=1, π ∴α +β =2kπ + (k∈Z). 2 π ∴α =2kπ + -β (k∈Z). 2 tan(2α +β )+tan β

? ? π =tan ?2?2kπ + -β 2 ? ?

? ?+β ?

? ?+tan β ?

=tan(4kπ +π -2β +β )+tan β =tan(4kπ +π -β )+tan β =tan(π -β )+tan β =-tan β +tan β =0. ∴tan(2α +β )+tan β =0 得证.

? ?sin π x,x<0, 16.设 f(x)=? ?f?x-1?+1,x≥0, ?

1 cos π x,x< , ? ? 2 g(x)=? 1 g ? x - 1 ?- 1 , x ≥ . ? ? 2
?1? ?1? ?5? ?3? 求证:g? ?+f? ?+g? ?+f? ?=1. ?4? ?3? ?6? ?4?

?1? ?1? ?5? ?3? 证明:g? ?+f? ?+g? ?+f? ? ?4? ?3? ?6? ?4? ? ? ?5 ? ? π ? ?1 ? =cos +?f? -1?+1?+?g? -1?-1?+ 4 ? ?3 ? ? ? ?6 ? ? ? ?3 ? ? ?f? -1?+1? ? ?4 ? ?

= =

? 2π ? ? π? ? π? 2 +sin?- ?+1+cos?- ?-1+sin?- ?+1 3 ? 2 ? ? 6? ? 4?

2 3 3 2 - +1+ -1- +1=1. 2 2 2 2

17.已知 sin α = +α )的值.

5 ,求 sin(3π +α )cos(4π -α )tan(5π 5

解析:∵sin α =

5 ,∴sin(3π +α )cos(4π -α )?tan(5π 5

-α )=-sin α cos α (-tan α ) =sin α cos α
? 5?2 1 sin α ? =sin2α =? ? 5 ? =5. cos α ? ?

18. 已知关于 x 的方程(1+tan2θ )x2-4tan2θ x+4tan2θ -1=0 的两根相等,且θ 为锐角,求θ 的值.

解析:∵方程两根相等, ∴Δ =(-4tan2θ )2-4(1+tan2θ )(4tan2θ -1)=0, 1 3 即 tan2θ = ,tan θ =± . 3 3 又θ 为锐角,则 tan θ = 3 π ,θ = . 3 6

5 19.已知 cos(75°+α )= ,α 是第三象限角,求 sin(195° 13 -α )+cos(α -15°)的值.

5 解析:∵cos(75°+α )= >0,α 是第三象限角, 13

12 ∴sin(75°+α )=- 1-cos2?(75°+α )?=- . 13 故 sin(195 ° - α ) + cos( α - 15 ° ) = - sin(15 ° - α ) + cos(15 °- α ) =- sin[90 °- (75 °+ α )] + cos[90 °- (75 °+ 5 12 17 α )]=-cos(75°+α )+sin(75°+α )=- - =- . 13 13 13

20 . 求

? ? ? π? π? π? sin ?π + ? sin ?2π + ? sin ?3π + ? … 4? 4? 4? ? ? ?

? π? sin?2 014π + ?的值. 4? ?


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