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天津市2016届高三“五校”联考试题 数学理


2016 届天津市“五校”联考数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用 2B 铅 笔将答题卡涂黑。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净 后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3

.考试结束,监考人答题卡收回. 祝各位考试考试顺利!

一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则集合 (CU B ) ? A = A.[-1,4] C. ? 2,3? B. (??, 2) ? (2,3) D. (??, ?1) ? ? 4, ?? ?

2.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是

1 2 3 C. 4
A.

2 3 4 D. 5
B.

3.下列叙述正确的个数是 ①若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题; ②若命题 p : ?x0 ? R, x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ; 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ; ③在 ?ABC 中“ ?A ? 600 ”是“ cos A ? 第 2 题图

④若向量 a, b 满足 a ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为钝角。 A.1 B. 2
3

? ?

? ?

?

?

1 ”的充要条件; 2

C. 3

D. 4

4.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A. 2 2 B. 4 2 C. 2 D.4

5.已知 ?ABC 的面积为

3 ? , AC ? 3, ?ABC ? ,则 ?ABC 的周长等于 2 3
·1·

A. 3 ? 3 C. 2 ? 3

B. 3 3

D.

3 3 2

x ?1 ? y ? y?2 6.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? 记 的最大值为 a , x 2 ? ( y ? 3 ) 2 的最小 x?2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
值为 b ,则 a ? b = A.4 B.5 C. 7 ? 4 3 D. 8 ? 4 3

7. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 S2014 ? 0 ,S2015 ? 0 , 对任意正整数 n , 都有 an ? ak , 则 k 的值为( A.1006 ) B.1007
x

C.1008

D.1009

8.已知函数 f ? x ? ? ? 判断正确的是

?e ? 2 ? x ? 0 ? ? ,则下列关于函数 y ? f ? ? f ? kx ? ? 1? ? ? 1( k ? 0 )的零点个数的 ln x x ? 0 ? ? ? ?

A.当 k ? 0 时,有 3 个零点;当 k ? 0 时,有 4 个零点 B.当 k ? 0 时,有 4 个零点;当 k ? 0 时,有 3 个零点 C.无论 k 为何值,均有 3 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,) 9.复数

i 的共轭复数为____________ 1? i
1 正视图 1

2

10.已知一个几何体的三视图及有关数据如右图所示,则该几 何体的体积为____________ 11.若函数 y ? log a x 2 ? ax ? 1 有最小值,则 a 的取值范围 是____________ 12. 已知点 P 是边长为 4 的正方形内任一点, 则点 P 到四个顶 点的距离均大于 2 的概率是 ____________ 13.在矩形 ABCD 中,已知 AB ? 3, AD ? 2 ,点 E 是 BC 的
? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 中点, 点 F 在 CD 上, 若 AB ? AF ? 3 则 AE ? BF 的值是
2

侧视图

?

?

2 2

俯视图

A

D

.

F
·2·

B

E

C

14.若实数 a, b, c 满足

1 1 1 1 1 ? b ? 1, a ?b ? b ? c ? a ? c ? 1 ,则 a 2 2 2 2 2

c 的最大值是



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ?

(cos x ? sin x) ? sin 2 x . cos x

( 1 ) 求 f ( x) 的定义域及最小正周期; ( 2) 当 x ? (?

?
2

,0] 时,求函数 f ( x) 的最值;

( 3 ) 求 f ( x) 的单调递减区间 .

16. (本小题共 13 分)甲袋中装有大小相同的白球 1 个,红球 2 个;乙袋中装有与甲袋中相同大小的红 球 2 个,白球 3 个.先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出 2 个小球. (1)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率; (2)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

17.(本小题共 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是两个 边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 的中点, E 为 PA 的一动点. (1)求证: PO ? 平面 ABCD ; (2)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值; (3)当 PE ? ? PA 时,二面角 E ? BD ? A 的 余弦值为

P E

5 ,求实数 ? 的值 5

A
O

B
C

D 18. (本小题共 13 分)已知椭圆 C 的两焦点 F1 (-1,0)和 F2 (1,0) , P 为椭圆上一点,且

2 | F1 F2 |?| PF1 | ? | PF2 |
(1)求椭圆 C 的方程;

·3·

(2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 直线 l 相切的圆的方程。

12 6 ,求以 F2 为圆心且与 11

19. (本小题共 14 分)已知 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, a1 ? 2 且 4 S n ? a n ? a n ?1 , (n ? N ) ,数 列 {bn } 中, b1 ?

?

nbn 1 (n ? N ? ) 。 ,且 bn ?1 ? (n ? 1) ? bn 4

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 c n ?

an 2
1 2 ? 3bn 3

,求 {c n } 的前 n 项和 Tn ;

(3)证明:对一切 n ? N ? ,

3 ? 2 ai ? 2 2 ? ? ai 2 3 ? 1) i ?1 ( 2
n

20. (本小题共 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R, k ? R.
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求证: g (1) g (2) ? g (2n) ? (e
2 n ?1

? 2) n (n ? N? ) .

·4·

2016 届天津市“五校”联考数学(理科)试卷
数学试卷(理科) 评分标准
一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、D 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. ?

1 1 ? i 2 2

10. 1 ? a ? 2 13. 3 ? 1

11.

4 3 3

12. 1 ?

?
4

14. 2 - log 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知函数 f ( x) ?

(cos x ? sin x) ? sin 2 x . cos x

( 4 ) 求 f ( x) 的定义域及最小正周期; ( 5) 当 x ? (?

?
2

,0] 时,求函数 f ( x) 的最值;

( 6 ) 求 f ( x) 的单调递减区间 . 解:( 1 )由 cos x ? 0 ,得 x ? k? ? 定义域为 {x | x ? k? ?

?
2

,k?Z ,

2分 , k ? Z} 2 (cos x ? sin x) ? 2 sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x f ( x) ? cos x

?

? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 sin( 2 x ?
f ( x) 的最小正周期为 ?
(2)? ?

?

4

) ?1

3分

4分

?
2

?x?0

??

当 2x ? 当 2x ?

?

3? 时, f ( x) min ? ? 2 ? 1 9分 4 2 8 ? ? ? 3? ? 5? (3)? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 又 x ? k? ? , k ? Z ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 2 ? ? ? 5? 13 分 ] k?Z f ( x) 的单调递减区间 [k? ? , k? ? ) , (k? ? , k? ? 8 2 2 8 ??
时,即 x ? ? 16. 甲袋中装有大小相同的白球 1 个,红球 2 个;乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球 2 个,白球 3 个.先从甲袋中取出 1 个球投入乙袋中,然后从乙袋中取出 2 个小球.
·5·

?

4

?

?
4

3? ? ? ? 2x ? ? 4 4 4

5分 7分

时,即 x ? 0 时, f ( x) man ? 0

?

(Ⅰ)求从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率; (Ⅱ)记从乙袋中取出的 2 个小球中白球个数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 16.解答 (Ⅰ)记“乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球”为事件 A,包含如下两个事件: “从甲 袋中取出 1 红球投入乙袋,然后从乙袋取出的两球中仅 1 个红球” 、 “从甲袋中取出 1 白球投入 乙袋,然后从乙袋取出的两球中仅 1 个红球” ,分别记为事件 A1、A2,且 A1 与 A2 互斥,则:

2 18 3 P( A1 ) ? C 3 C ? 2 3 C 45
6

1

1

1 8 4 P( A2 ) ? C 2 C ? 2 3 C 45
6

1

1

∴ P ( A) ?

18 8 26 ? ? 45 45 45 26 . 45
6分

故从乙袋中取出的 2 个小球中仅有 1 个红球的概率为
2 2

1 C2 2 C3 7 (Ⅱ) ? =0、1、2. P (? ? 0) ? ? ? 3 C 2 3 C 2 45
6 6

1 2 26 1 C 4 2 C 3 12 3 4 , P (? ? 2) ? , P(? ? 1) ? C 2 C ? C3C ? ? ? 2 2 3 C 3 C 45 3 C 2 3 C 2 45
6 6 6 6

1

1

1

1

2

2

,(取值 1 分,答对一个得 1 分) ∴ ? 的分布列为

10 分 2

?

0

1

26 12 P 45 45 7 26 12 10 ∴ E? ? 0 ? ) ? 1? ? 2 ? = (分布列 1 分,期望 2 分; 45 45 45 9

7 45

13 分

17.(本小题共 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形, AB // CD , AB ? AD , ?PAB 和 (1) 求证:PO ? ?PAD 是两个边长为 2 的正三角形,DC ? 4 ,O 为 BD 的中点,E 为 PA 的一动点. 平面 ABCD ; (2)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值. (3)当 PE ? ? PA 时,二面角 E ? BD ? A 的 余弦值为

P E

5 ,求实数 ? 的值 5
D

A
O

B
C

17 (1) 证明: 设 F 为 DC 的中点, 连接 BF , 则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点,

P

E

A
·6·

B

O
F

D

C

∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ………………………………..2 分 ∵ BD ? ∴ PO ?

AD 2 ? AB 2 ? 2 2 ,

PB 2 ? BO 2 ? 2 , AO ?
2 2

1 BD ? 2 , 2
2

在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO ,……………………………3 分 ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ; ……………………………4 分

(2) 由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD , 又 AB ? AD , 所以过 O 分别做 AD, AB 的平行线, 以它们做 x, y 轴, 以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 5分 由已知得:

P E

A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0) F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) ,
1 1 2 E (? , ? , ), 2 2 2
D A

B
O
x

y

F

C

设平面 PDC 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ ,

?

? ???? ? ?n?PC ? 0 ? ? x1 ? 3 y1 ? 2 z1 ? 0 则 ? ? ???? ,即 ? , ? n ? PD ? 0 x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? ? 1 1 1
解得 ?

? ? ? y1 ? 0 ,令 z1 ? 1 ,则平面 PDC 的一个法向量为 n ? ( 2, 0,1) ,7 分 ? ? x1 ? 2 z1
令直线 CB 与平面 PDC 所成角为 ?

又 CB ? (?2, ?2, 0)

??? ?

则 sin θ ? cos ? n , CB ? ?

? ? ???

2 2 3 , ? 3 3?2 2
3 . 3
………………………………8 分

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 (3) PE ? ? PA ? (?1,?1,? 2 )

E ( ? ? , ? ? , 2 ? 2? )
·7·

………………9 分

设平面 EBD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,直线 CB 与平面 PDC 所成角 θ , 则?

? ?m ? BD ? 0 ? ?m ? ED ? 0

,即 ?

?x ? y ? 0 ?(1 ? ? ) x ? (? ? 1) y ? ( 2? ? 2 ) z ? 0
2? ? ?1 ? m ? (1,1, 2? ) ? ?1
11 分

令 x ? 1, y ? 1 , z ?

设平面 ABD 的法向量为 p ? ( x, y, z )

cos ? m, p ??

m, p m p

?

2? ? ?1 2?( 2? 2 ) ? ?1

?

5 5

解得 ? ?

1 3

……………… 13 分

18.已知椭圆 C 的两焦点 F1 (-1,0)和 F2 (1,0) , P 为椭圆上一点,且 2 | F1 F2 |?| PF1 | ? | PF2 | (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 直线 l 相切的圆的方程。 (1)由已知得 c ? 1 , 2 | F1 F2 |?| PF1 | ? | PF2 | 即 2 ? 2c ? 2a ? a ? 2c ? 2

12 6 ,求以 F2 为圆心且与 11

? b2 ? 3

x2 y2 ? ?1 ? 椭圆方程为 4 3

………………3 分

·8·

?

12 1 ? k 2 k 12 6 11 3 ? 4k 2

………………11 分解得 25k 2 ? 23k ? 54 ? 0 ………………12 分

? (k 2 ? 2)(25k 2 ? 27) ? 0 ? k 2 ? 2
?r ? 2 2 2 ?1 ? 2 6 3

2 ?圆的方程为(x ? 1 ) ? y2 ?

8 ………………13 分 3
?

19.已知 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和, a1 ? 2 且 4 S n ? a n ? a n ?1 , (n ? N ) ,数列 {bn } 中,b1 ? 且 bn ?1 ?

1 , 4

nbn (n ? N ? ) 。 (n ? 1) ? bn

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 c n ?

an 2
1 2 ? 3bn 3

,求 {c n } 的前 n 项和 Tn ;

(3)证明对一切 n ? N ? , 解: (1) n ? 1 ,

3 ? 2 ai ? 2 2 ? ? ai 2 3 ? 1) i ?1 ( 2
n

? a2 ? 4

………………1 分

n?2

4 S n ? a n ? a n ?1

4 S n ?1 ? a n ? a n ?1

两式相减得 4a n ? a n (a n ?1 ? a n ?1 )

·9·

? a n ? 0 ? a n ?1 ? a n ?1 ? 4

………………2 分

? {a n } 的奇数项和偶数项分别构成以 4 为公差的等差数列………………3 分
当 n ? 2k ? 1, n ? N 时, a n = a 2 k ?1 ? 4k ? 2 ? 2n 当 n ? 2k , n ? N 时, a n = a 2 k ? 4k ? 2n
? ?

? a n ? 2n( n ? N ? )
(2)

………………5 分

1 bn ?1

?

n ?1 1 ? nbn n

1 1 1 ? ? (n ? 1)bn ?1 nbn n(n ? 1)

………………6 分

1 1 1 1 ? ? ?( ? ) nbn (n ? 1)bn ?1 n ?1 n
………………

1 1 1 1 ? ? ?( ? ) (n ? 1)bn ?1 (n ? 2)bn ? 2 n ? 2 n ?1 1 3n ? 1 ? nbn n

1 1 1 ? ? ?(1 ? ) 2b2 b1 2

? bn ?

1 1 n ? 1 也适合 bn ? (n ? N ? ) ……………8 分 (n ? 2) 3n ? 1 3n ? 1 n n?2 错位相减得 Tn ? 2 ? ………………10 分 ? cn ? n 2 2n

(3)
n

3 ? 2 2i ? 2 3 ? 4 i ?1 3 ? 4 i ?1 1 1 ……………12 分 ? ? ? i ?1 ? i 2i 2 i 2 i i ?1 (2 ? 1) (4 ? 1) (4 ? 1)(4 ? 1) 4 ? 1 4 ? 1

3 ? 2 ai ? 2 1 1 1 1 1 1 1 = ?( ? 2 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ) ? ai 2 4 ?1 4 ?1 ? 1) 3 4 ? 1 4 ? 1 4 ? 1 4 ? 1 i ?1 ( 2
=

1 1 1 2 ? ? n ? 3 3 4 ?1 3
x

………………14 分

20.已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R, k ? R. (1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求证: g (1) g (2) ? g (2n) ? (e
x x 2 n ?1

? 2) n (n ? N? ) .

答案(1)当 k ? e 时, f ( x) ? e ? ex , f ?( x) ? e ? e .……………1 分

·10·

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1. ……………2 分 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 因此, f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) ,单调递增区间是 (1, ? ?) .……………4 分 ( 2 )由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知: f ( x ) 是偶函数.于是, f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 恒成立等价于

f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 恒成立.……………5 分
由 f ?( x) ? e ? k ? 0 ,得 x ? ln k .……………6 分
x

当 k ? ? 0,1? 时, f ( x) ? e ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) ,此时, f ( x) 在区间 [0, ? ?) 上单调递增.
' x

故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.……………7 分 当 k ? (1, ??) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时, f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0

(ln k, ? ?)

?
小 值

?



k ? k ln k

?

由上表可知:在区间 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 依题意,得 k ? k ln k ? 0 .又 k ? 1, .?1 ? k ? e ……………9 分 综上:实数 k 的取值范围是 (0, e) ……………10 分 (3)? g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? e ? e ,……………11 分
x ?x

? 当 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 时,

g ( x1 ) g ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? ( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? 0 ? 2 e x1 ? x2 ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,


g ( x1 ) g ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? 2 ,……………12 分
·11·

? g (1) g (2n) ? e 2 n ?1 ? 2 , g (2) g (2n ? 1) ? e 2 n ?1 ? 2 ,?, g (2n) g (1) ? e 2 n ?1 ? 2.
? [ g (1) g (2)? g (2n)]2 ? [ g (1) g (2n)][ g (2) g (2n ? 1)]?[ g (2n) g (1)] ? (e 2 n ?1 ? 2) 2 n ,
故 g (1) g (2) ? g (2n) ? (e
2 n ?1

? 2) n,n ? N? .……………14 分
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·12·


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