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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题三 第三讲


第三讲

平面向量

1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为 0. a (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,a 的单位向量为± . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影. 2.向量的运算 (1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础,应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数,而不是向量,要注意运算数量积与实数运算律的差 异,平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a· b 运算结果不仅与 a,b 的长度有关而 且与 a 与 b 的夹角有关,即 a· b=|a||b|cos 〈a,b〉 . 3.两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0. 可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题,但二者不能混淆.

→ → 1. (2013· 福建)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 答案 C → → 解析 因为AC· BD=0, ∴AC⊥BD. 1→ → 1 ∴四边形 ABCD 的面积 S= |AC||BD|= × 5×2 5=5. 2 2 B.2 5 C.5 D.10

)

→ → 2. (2013· 湖北)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投 影为 3 2 A. 2 3 2 C. - 2 答案 A ( 3 15 B. 2 3 15 D.- 2 )

→ → 解析 AB=(2,1),CD=(5,5), → → AB· CD 2×5+1×5 → → ∴AB在CD方向上的投影为 = → 52+52 |CD| 15 3 2 = = . 2 5 2 λ 3. (2013· 北京)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则 μ =________.

答案 4 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立直角坐标系,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3),根据 c=λa+μb?(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2)有-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解 1 λ 之得 λ=-2 且 μ=- ,故 =4. 2 μ → → 4. (2013· 天津)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60° ,E 为 CD 的中点.若AC· BE= 1,则 AB 的长为______. 1 答案 2 → → 解析 在平行四边形 ABCD 中,取 AB 的中点 F,则BE=FD, → → → 1→ → → → ∴BE=FD=AD- AB,又AC=AD+AB, 2 → → → → → 1→ ∴AC· BE=(AD+AB)· (AD- AB) 2 1 1 → → → → → → =AD2- AD· AB+AD· AB- AB2 2 2 1→ → 1→ → =|AD|2+ |AD||AB|cos 60° - |AB|2 2 2 1 1→ 1→2 =1+ × |AB|- |AB| =1. 2 2 2 1 → → → 1 ?→ ∴? ?2-|AB|?|AB|=0,又|AB|≠0,∴|AB|=2. 5. (2012· 江苏)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 → → → → CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________.

答案

2

解析 方法一 坐标法.

以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B( 2,0),E( 2,1),F(x,2). → → → 故AB=( 2,0),AF=(x,2),AE=( 2,1), → BF=(x- 2,2), → → ∴AB· AF=( 2,0)· (x,2)= 2x. → → 又AB· AF= 2,∴x=1. → ∴BF=(1- 2,2). → → ∴AE· BF=( 2,1)· (1- 2,2)= 2-2+2= 2. → → → → 方法二 用AB,BC表示AE,BF是关键. → → → → 设DF=xAB,则CF=(x-1)AB. → → → → → AB· AF=AB· (AD+DF) → → → → =AB· (AD+xAB)=xAB2=2x, → → 又∵AB· AF= 2,∴2x= 2, 2 → → → → ? 2 ?→ ∴x= .∴BF=BC+CF=BC+ AB. 2 ? 2 -1? → → → → ?→ ? 2 →? ?AB ∴AE· BF=(AB+BE)· BC+ ? ? 2 -1? ? → 1 → ?? → ? 2 ? → ? =? ?AB+2BC??BC+? 2 -1?AB? 2 → 1→ =? -1?AB2+ BC2 2 ?2 ? 1 2 =? -1?×2+ ×4= 2. 2 ?2 ?

题型一 向量的概念及线性运算 例1 π? (1)已知向量 a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且 a∥b,则 tan? ?α-4?等于 A.3 ( )

1 1 B. C.-3 D.- 3 3 → → → → → → (2)已知|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0, 点 C 在∠AOB 内, 且∠AOC=30° ,设OC=mOA m → +nOB (m,n∈R),则 =________. n π? 审题破题 (1)直接根据向量共线的坐标表示求 tan α,再用差角公式求 tan? ?α-4?;(2)寻 找点 C 满足的条件. 答案 解析 (1)C (2)3 (1)∵a∥b,∴cos α=-2sin α.

1 - -1 2 =-3. 1 - ? 1+? ? 2? → → → → (2)方法一 |OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0, π? 1 ∴tan α=- ,∴tan? ?α-4?= 2 不妨假设点 C 在 AB 上,且∠AOC=30° . 以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,则 A 点坐标 3 3 → → → 为(1,0),B 点坐标为(0, 3),C 点坐标为? , ?,OC=mOA+nOB (m,n∈R),所以 ?4 4 ? 3 1 m 存在 m= ,n= 使假设成立,此时 =3. 4 4 n → → → → 方法二 由条件|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB=0,可建立以 O 为原点,OA 所在直线为 x → → 轴,OB 所在直线为 y 轴的直角坐标系,则OA=(1,0),OB=(0, 3). → → → → 由OC=mOA+nOB,得OC=(m, 3n). 又因为∠AOC=30° ,点 C 在∠AOB 内, 3n 1 n 1 m 可得 =tan 30° = , = ,即 =3. m m 3 n 3 反思归纳 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定 理. 平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示, 这个定理的一个极为重要的导出结果是,如果 a,b 不共线,那么 λ1a+λ2b=μ1a+μ2b 的 → → 充要条件是 λ1=μ1 且 λ2=μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论,即如果OA=xOB+ → yOC,则 A,B,C 三点共线的充要条件是 x+y=1. 变式训练 1 如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB, 1 4 → → → → AC 于不同的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN (m,n>0),则 + 的最小值为( ) m n

A.2 9 C. 2

B.4 D.9

答案 C → → → 解析 MO=AO-AM → → AB+AC 1 → ?1 1 ? → 1 → = - AB=?2-m?AB+ AC. 2 m 2 → ?1 1? → 1 → 同理NO=?2-n?AC+ AB,M,O,N 三点共线, 2 1 1 → 1→ 1 1 → 1→ - ?AB+ AC=λ??2-n?AC+ AB?, 故? ? ?2 m? 2 ? 2 ?? 1 1 λ 1 λ λ 1 1 → → → → ? ? ? 即? AC不共线, 根据平面向量基本定理 - - ?2-m-2?AB+?2-2+n?AC=0,由于AB, 2 m

λ 1 λ λ =0 且 - + =0,消掉 λ 即得 m+n=2, 2 2 2 n 1 4? 1 4 1 故 + = (m+n)? ?m+n? m n 2 n 4m 1 1 9 5+ + ?≥ (5+4)= . = ? m n? 2 2? 2 题型二 平面向量的数量积 例2 (1)已知向量 a 和 b 的夹角为 120° ,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. (2)(2012· 上海)在矩形 ABCD 中,边 AB、AD 的长分别为 2、1,若 M、N 分别是边 BC、 → → |BM| |CN| → → CD 上的点,且满足 = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| → → → → 审题破题 (1)利用公式|a|2=a· a 直接计算;(2)利用基向量法,把AM,AN都用AB,AD表 示,再求数量积. 答案 解析 (1)7 (2)[1,4]

(1)|5a-b|2=(5a-b)2=25a2-10a· b+b2 1? 2 =25×12-10×1×3×? ?-2?+3 =49, 所以|5a-b|=7. → → |BM| |CN| (2)如图所示,设 = → → |BC| |CD| → → =λ(0≤λ≤1),则BM=λBC, → → → → → CN=λCD,DN=CN-CD → =(λ-1)CD, → → → → → → ∴AM· AN=(AB+BM)· (AD+DN) → → → → =(AB+λBC)· [AD+(λ-1)CD] → → → → =(λ-1)AB· CD+λBC· AD =4(1-λ)+λ=4-3λ, → → ∴当 λ=0 时,AM· AN取得最大值 4; → → 当 λ=1 时,AM· AN取得最小值 1. → → ∴AM· AN∈[1,4]. 反思归纳 向量的数量积计算有三种方法:(1)利用向量数量积的定义,计算两个向量的 模及夹角;(2)根据向量数量积的几何意义,明确向量投影的含义;(3)建立坐标系写出向 量坐标,利用向量的坐标进行运算. → → 变式训练 2 (1)(2012· 天津)在△ABC 中, ∠A=90° , AB=1, AC=2.设点 P, Q 满足AP=λAB, → → → → AQ=(1-λ)AC,λ∈R.若BQ· CP=-2,则 λ=________. 2 答案 3 → → → → → 解析 由题意知BQ=AQ-AB=(1-λ)AC-AB,

→ → → → → → → CP=AP-AC=λAB-AC,且AB· AC=0, → → →2 →2 故BQ· CP=(λ-1)AC -λAB 2 =4(λ-1)-λ=3λ-4=-2,即 λ= . 3 → → → → → → → (2)(2013· 山东)已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若 A P =λAB+AC, → → 且AP⊥BC,则实数 λ 的值为________. 7 答案 12 → → → → → → → → → → → → → 解析 由AP⊥BC知AP· BC=0,即AP· BC=(λAB+AC)· (AC-AB)=(λ-1)AB· AC-λA B 2 1 7 → - ?-λ×9+4=0,解得 λ= . +AC2=(λ-1)×3×2×? 2 ? ? 12 题型三 平面向量与三角函数的综合 例3 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos x,sin x),c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),其 中 0<α<x<π. π (1)若 α= ,求函数 f(x)=b· c 的最小值及相应 x 的值; 4 π (2)若 a 与 b 的夹角为 ,且 a⊥c,求 tan 2α 的值. 3 审题破题 求解本题的关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角 函数中的有关问题.(1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式,然后利用换元法 将三角函数式转化为二次函数式,由此可解得函数的最小值及对应的 x 值.注意利用换 元法令 t=sin x+cos x 时,要确定 t 的取值范围.(2)由夹角公式及 a⊥c 可得关于角 α 的 三角函数等式,通过三角恒等变换可得结果. 解 (1)∵b=(cos x,sin x), π c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α= , 4 ∴f(x)=b· c=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin x· cos α=2sin xcos x+ 2(sin x+cos x). π 2 ? 令 t=sin x+cos x ? ?4<x<π?,则 2sin xcos x=t -1, 且-1<t< 2. 则 y=t2+ 2t-1=?t+ 2?2 3 - ,-1<t< 2, ? 2? 2 2 3 2 ∴当 t=- 时,ymin=- ,此时 sin x+cos x=- . 2 2 2 π? 2 π 即 2sin? ?x+4?=- 2 ,∵4<x<π, π π 5 π 7 11π ∴ <x+ < π,∴x+ = π,∴x= . 2 4 4 4 6 12 3 11π ∴函数 f(x)的最小值为- ,相应 x 的值为 . 2 12 π (2)∵a 与 b 的夹角为 , 3 π a· b ∴cos = =cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α). 3 |a|· |b|

π ∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α= . 3 ∵a⊥c, ∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0, π? ∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即 sin? ?2α+3?+2sin 2α=0. 5 3 3 ∴ sin 2α+ cos 2α=0,∴tan 2α=- . 2 2 5 反思归纳 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函 数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表 述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解 决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系, 就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题. π? 变式训练 3 (2013· 辽宁)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+sin2x=4sin2x,

|b|2=cos2x+sin2x=1, 及|a|=|b|,得 4sin2 x=1. π 1 π 0, ?,从而 sin x= ,所以 x= . 又 x∈? ? 2? 2 6 (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x 3 1 1 = sin 2x- cos 2x+ 2 2 2 π? 1 =sin? ?2x-6?+2, π π π 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1. 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2

典例 于

1 (1)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a· b=- , 〈a-c,b-c〉=60° ,则|c|的最大值等 2 ( B. 3 C. 2 D.1 )

A.2

→ → → → (2)(2012· 天津)已知△ABC 为等边三角形, AB=2.设点 P, Q 满足AP=λAB, AQ=(1-λ)AC, 3 → → λ∈R.若BQ· CP=- ,则 λ 等于 ( ) 2 -3± 2 2 1 1± 2 1± 10 A. B. C. D. 2 2 2 2

→ → → 解析 (1)如图,设OA=a,OB=b,OC=c, → → 则CA=a-c,CB=b-c. ∵|a|=|b|=1,∴OA=OB=1. 1 又∵a· b=- , 2 1 ∴|a|· |b|· cos∠AOB=- , 2 1 ∴cos∠AOB=- .∴∠AOB=120° . 2 又∵〈a-c,b-c〉=60° ,而 120° +60° =180° , ∴O、A、C、B 四点共圆. ∴当 OC 为圆的直径时,|c|最大, 此时∠OAC=∠OBC=90° ,∴Rt△AOC≌Rt△BOC, ∴∠ACO=∠BCO=30° , → 1 → → → ∴|OA|= |OC|,∴|OC|=2|OA|=2. 2 → → → → → → (2)BQ· CP=(BA+AQ)· (CA+AP) 3 → → → → =[BA+(1-λ)AC]· (CA+λAB)=- , 2 1 所以 4λ2-4λ+1=0.所以 λ= . 2 答案 (1)A (2)A (1)解决本题关键是将向量 a,b,c 的起点移至同一点 C,得到四点 A、O、B、

得分技巧 C 共圆.

(2)向量坐标化,利用向量的坐标运算是解题的突破点. 阅卷老师提醒 (1)树立数形结合意识、向量是数形结合的载体,充分挖掘条件的几何意义. (2)拓宽思维层面,对向量的数量积运算的三种方法要灵活运用.

→ → → → → → → 1. △ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 2,OA+AB+AC=0 且|OA|=|AB|,则向量CA在CB 上的投影的长度为 A. 3 答案 A → → → 解析 由OA+AB+AC=0, → → → 得AB+AC=AO. 又 O 为△ABC 外接圆的圆心,OB=OC, ∴四边形 ABOC 为菱形,AO⊥BC. → → 由|OA|=|AB|=2,知△AOC 为等边三角形. B.3 C.- 3 D.-3 ( )

π → → → 故CA在CB上的投影的长度为|CF|=2cos = 3. 6 → → → → 2. 如图,△ABC 中,∠C=90° ,且 AC=BC=3,点 M 满足BM=2MA,则CM· CB=( )

A.2 C.4

B.3 D.6

答案 B → → → → → → 2 → ?2 → ? → 2 2 → → → 1 → 2 解析 CM· CB=(CB+BM)· CB=CB +CB×?3BA?=CB + CB· (CA-CB)= CB =3. 3 3 1 3. (2013· 浙江)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B= AB,且对于边 AB 上任一点 P, 4 → → → → 恒有PB· PC≥P0B· P0C,则 ( ) A.∠ABC=90° C.AB=AC 答案 D 解析 设 BC 中点为 M, → →? ?→ →? 1→ → → ?PB → 则PB· PC=? +PC?2-?PB-PC?2=PM2- CB2 4 ? 2 ? ? 2 ? 1 → → → → 同理P0B· P0C=P0M2- CB2 4 → → → → ∵PB· PC≥P0B· P0C恒成立, → → ∴|PM|≥|P0M|恒成立. 即 P0M⊥AB, 1 取 AB 的中点 N,又 P0B= AB, 4 则 CN⊥AB,∴AC=BC.故选 D. 4. 已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 答案 3 2 解析 ∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1, 2 ∴a· b=|a|· |b|cos 45° = |b|, 2 2 |2a-b|2=4-4× |b|+|b|2=10,∴|b|=3 2. 2 5. (2013· 课标全国Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60° ,c=ta+(1-t)b.若 b· c=0,则 t =________. 答案 2 解析 ∵c=ta+(1-t)b, ∴c· b=ta· b+(1-t)· b2 B.∠BAC=90° D.AC=BC

=t×1×1×cos 60° +(1-t)×12 1 1 = t+1-t=1- t=0. 2 2 ∴t=2. π 6. (2013· 浙江)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 , 6 |x| 则 的最大值等于______. |b| 答案 2 |x| 解析 ①当 x=0 时, =0; |b| ②当 x≠0 时, |b|2=(xe1+ye2)2 =x2+y2+2xye1· e2 =x2+y2+ 3xy. |x| |x| ∴ = 2 2 = |b| x +y + 3xy 1 ≤2. ?y+ 3?2+1 ?x 2 ? 4 |x| 由①②知 的最大值为 2. |b| = 1 y ? ?2+ 3?y?+1 ?x? ?x?

专题限时规范训练
一、选择题 a b 1. (2012· 四川)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中,使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b C.a=2b B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b| )

答案 C a b 解析 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,只要 a 与 b 同向,就 |a| |b| a b 有 = ,观察选项易知 C 满足题意. |a| |b| 2. (2013· 辽宁)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 A B 同方向的单位向量为 3 4? 4 3? A.? B.? ?5,-5? ?5,-5? 3 4? 4 3? C.? D.? ?-5,5? ?-5,5? 答案 A 解析 A B =O B -O A =(4,-1)-(1,3)=(3,-4), 4 AB ?3 → ∴与 A B 同方向的单位向量为 = ,-5? ?. → ?5 |AB| 3. 已知 a,b 是平面向量,若 a⊥(a-2b),b⊥(b-2a),则 a 与 b 的夹角是 ( )



(

)









π A. 6 答案 B

π B. 3

2π C. 3

5π D. 6

解析 由 a⊥(a-2b)得|a|2=2a· b, 由 b⊥(b-2a)得|b|2=2a· b, a· b 1 π ∴cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉= . |a||b| 2 3 4. 设向量 a=(1,sin θ),b=(3sin θ,1),且 a∥b,则 cos 2θ 等于 1 2 2 1 A.- B.- C. D. 3 3 3 3 答案 D 解析 ∵a∥b,∴3sin2θ=1, 2 1 ∴cos 2θ=1-2sin2θ=1- = . 3 3 π 5. 等腰直角三角形 ABC 中,A= ,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在△ABC 内部或其 2 → → 边界上运动,则BP· AM的取值范围是 ( ) A.[-1,0] C.[-2,-1] 答案 D 解析 以点 A 为坐标原点,射线 AB,AC 分别为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标 系,则 B(2,0),M(1,1).设 P(x,y),由于点 P 在△ABC 内部或其边界上运动,故 x≥0, → → → → y≥0 且 x+y≤2,BP· AM=(x-2,y)· (1,1)=x-2+y,所以BP· AM的取值范围是[-2,0]. → → → → 6.如图, 已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心, 则(OA+OB)· (OA+OC)的值为( ) B.[1,2] D.[-2,0] ( )

1 A. 9 1 C. 6 答案 D

1 B.- 9 1 D.- 6

解析 ∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心, 3 2π → → → → → → → → ∴|OA|=|OB|=|OC|= ,∠AOB=∠BOC=∠AOC= ,∴(OA+OB)· (OA+OC)=OA2 3 3 2π 1 3 → → → → → → ? 3?2 +OA· OC+OA· OB+OB· OC= +3×? ?2cos =- . 3 6 ?3? ?3? → → → → → 7. 已知OB=(2,0), OC=(2,2), CA=( 2cos α, 2sin α), 则OA与OB夹角的取值范围是( ) π π π 5π ? ? A.? B.? ?12,3? ?4,12? π 5π? 5π π? C.? D.? ?12,12? ?12,2? 答案 C

→ → → 解析 OA=OC+CA=(2+ 2cos α, 2+ 2sin α),设 A(x,y),

?x=2+ 2cos α, 则? 其中 α 是参数,消掉 α, ?y=2+ 2sin α,
即(x-2)2+(y-2)2=2,这是一个以点(2,2)为圆 → → 心、 2为半径的圆,作出图象如图所示,从图中可知两向量OA,OB夹角的取值范围是 ? π ,5π?. ?12 12? → → 8. 在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 的中点.P 为 EF 上任一点,实数 x,y 满足PA+xPB S1 S2 → +yPC=0.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB 的面积分别为 S,S1,S2,S3,记 =λ1, S S S3 =λ2, =λ3,则 λ2· λ3 取最大值时,2x+y 的值为 ( ) S 3 3 A.-1 B.1 C.- D. 2 2 答案 D S1 1 1 解析 由题意知 =λ1= ,即 S1= S. S 2 2 1 所以 S2+S3=S-S1= S, 2 S2+S3 1 1 两边同除以 S,得 = ,即 λ2+λ3= , S 2 2 1 所以 =λ2+λ3≥2 λ2λ3, 2 1 1 所以 λ2· λ3≤ ,当且仅当 λ2=λ3= , 16 4 此时点 P 位于 EF 的中点,延长 AP 交 BC 于 D, → → → 则 D 为中点,由PA+xPB+yPC=0, → → → → 得 xPB+yPC=-PA=AP, → → 1 → → AP=PD= (PB+PC) 2 1→ 1 → = PB+ PC, 2 2 1 1 3 所以 x= ,y= ,所以 2x+y= ,选 D. 2 2 2 二、填空题 → → 9. (2012· 浙江)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案 -16 解析 利用向量数量积的运算求解. 如图所示,

→ → → AB=AM+MB,

→ → → AC=AM+MC → → =AM-MB, → → → → → → ∴AB· AC=(AM+MB)· (AM-MB) → → → 2 → 2 =AM2-MB2=|AM| -|MB| =9-25=-16. 1 2 → → 10. (2013· 江苏)设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, BE= BC.若DE=λ1AB 2 3 → +λ2AC(λ1,λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 1 答案 2

1→ 2 → → → → 1→ 2 → 1→ 2 → → 解析 如图,DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)=- AB+ AC, 2 3 2 3 6 3 1 2 1 则 λ1=- ,λ2= ,λ1+λ2= . 6 3 2 → → → 11.(2013· 四川)在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ =________. 答案 2 → → → → 解析 由于 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O,∴AB+AD=AC=2AO, ∴λ=2. 12.(2012· 安徽)若平面向量 a,b 满足|2a-b|≤3,则 a· b 的最小值是________. 9 答案 - 8 解析 由向量减法的三角形法则知,当 a 与 b 共线且反向时,|2a-b|的最大值为 3. 此时设 a=λb(λ<0),则有|2a-b|=|2λb-b|=3, 3 3|λ| ∴|b|= ,|a|= . |2λ-1| |2λ-1| 又由 a· b=|a|· |b|cos〈a,b〉 ,知 当 a 与 b 共线且反向时,a· b 最小. 有:a· b=|a|· |b|· cos π 1 9|λ| 9λ 9 9 当且仅当λ=- 时取“=”?, =- = = ≥- ? 2 ? ? 1 8 ?2λ-1?2 4λ2-4λ+1 ? -? ?-4λ-λ?-4 9 ∴a· b 的最小值为- . 8 三、解答题 → → → → → 13.在△ABC 中,已知 2AB· AC= 3|AB|· |AC|=3BC2,求角 A、B、C 的大小. 解 设 BC=a,AC=b,AB=c. → → → → 由 2AB· AC= 3|AB|· |AC|得 2bccos A= 3bc, 3 所以 cos A= . 2

π 又 A∈(0,π),因此 A= . 6 → → → 由 3|AB|· |AC|=3BC2,得 cb= 3a2. 3 于是 sin C· sin B= 3sin2A= . 4 5π 3 ? 所以 sin C· sin? ? 6 -C?= 4 , ?1cos C+ 3sin C?= 3, sin C· 2 ?2 ? 4 因此 2sin C· cos C+2 3sin2 C= 3, π? sin 2C- 3cos 2C=0,即 2sin? ?2C-3?=0. π 5π π π 4π 由 A= 知 0<C< ,所以- <2C- < ,从而 6 6 3 3 3 π π π 2π 2C- =0,或 2C- =π,即 C= 或 C= , 3 3 6 3 π 2π π π π 2π 故 A= ,B= ,C= ,或 A= ,B= ,C= . 6 3 6 6 6 3 x x x 2 ? ? ? 14.已知向量 m=? ? 3sin 4,1?,n=?cos 4,cos 4?. 2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? ? 3 -x?的值; (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的取值范围. x x x 解 (1)m· n= 3sin cos +cos2 4 4 4 x 1+cos 2 x π? 1 3 x = sin + =sin? ?2+6?+2, 2 2 2 x π? 1 ∵m· n=1,∴sin? ?2+6?=2. π x π 1 x+ ?=1-2sin2? + ?= , cos? ? 3? ?2 6? 2 2π 1 ? ? π? cos? ? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π,∴B= .∴0<A< . 2 3 3 A π? ?1 ? π A π π ∴ < + < ,sin? ? 2 +6?∈?2,1?. 6 2 6 2 x π? 1 又∵f(x)=sin? ?2+6?+2. A π? 1 ∴f(A)=sin? ? 2 +6?+2.

3? 故函数 f(A)的取值范围是? ?1,2?.


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