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《2.2.1对数与对数运算(一)》教案


湖南省长沙市第一中学

数学教案

高一(上)

第二章

基本初等函数

2.2.1 对数与对数运算(一)
教学目标
(一) 教学知识点 1. 对数的概念;2.对数式与指数式的互化. (二) 能力训练要求 1.理解对数的概念;2.能够进行对数式与指数式的互化;3.培养学生数学应用意识. (三)德育渗透目标 1.认识事物之间的普遍联系与相互转化;2.用联系的观点看问题; 3.了解对数在生产、生活实际中的应用.

教学重点
对数的定义.

教学难点
对数概念的理解.

教学过程
一、复习引入: 复习引入: 假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元, 如果每年平均增长 8%, 那么经过多少年国民生产总值是 2002 年的 2 倍?

(1 + 8% )x =2 ? x=?
也是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢? 二、新授内容: 新授内容: 定义:一般地, , 定义:一般地,如果 a (a > 0, a ≠ 1) 的 b 次幂等于 N,就是 a = N ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对
b

叫做对数的底数, 叫做真数. 数,记作 log a N = b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

a b = N ? log
2

a

N =b
10 2 = 100 ? log10 100 = 2 ;

例如: 4 = 16 ? log 4 16 = 2 ;
1

4 2 = 2 ? log 4 2 =

1 ; 2

10 ?2 = 0.01 ? log10 0.01 = ?2 .
a

探究:1。是不是所有的实数都有对数? log ⑴

N = b 中的 N 可以取哪些值?

负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )

2.根据对数的定义以及对数与指数的关系, log a 1 = ? ⑵

log a a = ?

log a 1 = 0 , log a a = 1 ;
都有 a = 1
0

∵对任意 a > 0 且 a ≠ 1 , ⑶对数恒等式

∴ log a 1 = 0

同样易知:

log a a = 1

如果把 a = N 中的 b 写成 log a N , 则有 a
b

log a N

=N.

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基本初等函数

⑷常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数. 为了简便,N 的常用对数 log10 N 简记作 lgN. 例如: log10 5 简记作 lg5; log10 3.5 简记作 lg3.5. ⑸自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的对数叫自然对 数,为了简便,N 的自然对数 log e N 简记作 lnN. 例如: log e 3 简记作 ln3; log e 10 简记作 ln10. (6)底数的取值范围 (0,1) U (1,+∞) ;真数的取值范围 (0,+∞) . 三、讲解范例: 讲解范例: 例 1.将下列指数式写成对数式: (1) 5 = 625
4

(2) 2

?6

=

1 64

(3) 3 = 27
a

(4)( ) = 5.73
m

1 3

解: (1) log 5 625=4; (2) log 2

1 =-6; (3) log 3 27=a; (4) log 1 5.73 = m . 64 3
(4) ln 10 = 2.303 .

例 2. 将下列对数式写成指数式: (1) log 1 16 = ?4 ; (2) log 2 128 = 7 ; (3) lg 0.01 = ?2 ;
2

解: (1) ( )

1 2

?4

= 16

(2) 2 7 =128;

(3) 10

?2

=0.01; (4) e

2.303

=10.

的值: 例 3.求下列各式中的 x 的值: (1) log 64 x = ?

2 ; (2) log x 8 = 6 3

(3) lg 100 = x

(4) ? ln e = x
2

例 4.计算: ⑴ log 9 27 ,⑵ log 4 3 81 ,⑶ log (2+ 3 ) 2 ? 3 ,⑷ log 3 4 625 . 5 解法一:⑴设 x = log 9 27 则 9 x = 27,
x 4

(

)

3 2 x = 33 , ∴ x =

3 2

⑵设 x = log 4 3 81



( 3)
4

x

= 81 , 3 = 3 4 , ∴ x = 16

⑶令 x = log (2+ 3 ) 2 ? 3 = log (2 + 3 ) 2 + 3 ⑷令 x = log 3 解法二:
3

(

)

(

)

?1

,

∴ 2+ 3

(

) = (2 + 3 )
x

?1

, ∴ x = ?1

54

625 , ∴

( 5 ) = 625 ,
3 4 x

5

4 x 3

= 54 , ∴ x = 3

⑴ log 9 27 = log 9 3 = log 9 9 2 =
3

3 ; 2

⑵ log 4 3 81 = log 4 3 (4 3 )16 = 16

⑶ log (2+ 3 ) 2 ? 3 = log (2 + 3 ) 2 + 3 四、练习:(书 P64`) 练习

(

)

(

)

?1

= ?1 ;⑷ log 3

54

625 = log 3 4 (3 5 4 ) 3 = 3
5

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1.把下列指数式写成对数式 (1) 2 =8;
3
? 1 1 (2) 2 =32 ; (3) 2 = ; (4) 27 3 = . 2 3 1

5

?1

解:(1) log 2 8=3

(2) log 2 32=5

(3) log 2

1 1 1 =-1 (4) log 27 =- 2 3 3

2.把下列对数式写成指数式 (1) log 3 9=2 ⑵ log 5 125=3 ⑶ log 2

1 =-2 4
1 4

⑷ log 3

1 =-4 81
1 81

解:(1) 3 =9 3.求下列各式的值 (1) log 5 25 ⑷ lg 0.01

2

(2) 5 =125

3

(3) 2 =

?2

(4) 3 =

?4

⑵ log 2

1 16

⑶ lg 100 ⑹ lg 0.0001

⑸ lg 10000
2

解:(1) log 5 25= log 5 5 =2 (2) log 2 (4) lg 0.01=-2 4.求下列各式的值 (1) log15 15 ⑵ log 0.4 1 ⑶ log 9 81

1 =-4 16

(3) lg 100=2 (6) lg 0.0001=-4

(5) lg 10000=4

⑷ log 2..5 6.25

⑸ log 7 343

⑹ log 3 243

解:(1) log15 15=1 (4) log 2..5 6.25=2

(2) log 0.4 1=0 (5) log 7 343=3

(3) log 9 81=2 (6) log 3 243=5 ⑶求对数式的值.

五、课堂小结 课堂小结 ⑴对数的定义; ⑵指数式与对数式互换; 课后作业: 六、课后作业 1.阅读教材第 62~64 页; 2.作业: 《习案》作业二十


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