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2014届高三数学一轮复习 第六章 第七节 直接证明与间接证明课件 理 新人教A版


第七节

直接证明与间接证明

1.直接证明 内容 综合法 分析法 证明的结论 从要_____________出 发,逐步寻求使它成立 充分条件 的____________,直至 最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成 立的条件

利用已知条件和某些 数学定义、公理、定 理等,经过一系列的 定义 推理论证 ___________,最后推 导出所要证明的结论 成立 _______

实质

由因导果

执果索因 Q?P1 → P1?P2 →?→ 得到一个明显 成立的条件

框图 表示

P?Q1 → Q1?Q2 →?→ Qn?Q

2.间接证明

不成立 反证法:假设原命题 ___________(即在原命题的条件 矛盾 下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出_______.因
此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法 叫做反证法.

1.综合法和分析法的区别和联系是什么?
【提示】 综合法的特点是:从“已知”看“可知”,

逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是寻找它的必要条
件.分析法的特点:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已 知”.其逐步推理实际上是寻求它的充分条件.在解决问题 时,经常把综合法和分析法结合起来使用.

2.反证法的关键是推出矛盾,所谓矛盾主要是指什
么? 【提示】 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,

这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定 义、公理、定理、事实矛盾等.

1.(人教A版教材习题改编)用反证法证明命题“三角形 三个内角至少有一个不大于60°”时,应假设( )

A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°

C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60° 【答案】 B

1 2.(2013· 河源模拟)设a,b,c都是正数,则a+ ,b+ b 1 1 ,c+ 三个数( ) c a A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2

1 1 1 【解析】 ∵(a+ )+(b+ )+(c+ ) b c a 1 1 1 =(a+ )+(b+ )+(c+ )≥6, a b c 当且仅当a=b=c时取等号, ∴三个数中至少有一个不小于2.
【答案】 D

3.(2013· 湛江质检)已知函数f(x)=lg b,则f(-a)=________(用b表示).

1-x ,若f(a)= 1+x

1+x 1-x 【解析】 ∵f(-x)=lg =-lg =-f(x), 1-x 1+x ∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-b.

【答案】

-b

4.定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性

质:
①1*1=1,②(n+1)*1=n*1+1,则n*1=________. 【解析】 由(n+1)*1=n*1+1,得

n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2 =?=1*1+(n-1)=1+n-1=n. 【答案】 n

定义在x∈[0,1]上的函数f(x).若x1≥0,x2≥0且x1+

x2≤1,都有f(x1 +x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想
函数.g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,如果是,请 予证明;如果不是,请说明理由. 【思路点拨】 根据理想函数的定义加以判定证明.

【尝试解答】

g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.

当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1是增函数,
∴20-1≤g(x)≤21-1,即0≤g(x)≤1, 则函数g(x)(x∈[0,1])满足条件(1), 当x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1时, f(x1+x2)=2x1+x2-1, f(x1)+f(x2)=2x1+2x2-2, ∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)] =2x1+x2-2x1-2x2+1

=2x1(2x2-1)-(2x2-1)

=(2x2-1)(2x1-1),
∵x1≥0,x2≥0, ∴2x1-1≥0,2x2-1≥0, ∴f(x1+x2)-[f(x1)+f(x2)]≥0, 则f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)满足条件(2). 故函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是理想函数.

1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已

知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已
知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推 理,最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

(2012·湖南高考改编)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r),其 中x>0,r为有理数. (1)若0<r<1,求函数f(x)的最小值.

(2)试用(1)的结论证明命题:设a1>0,a2>0,b1,b2为
正有理数,若b1+b2=1,则a1b1·2b2≤a1b1+a2b2. a 【解】 (1)f′(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),

令f′(x)=0,得x=1,

当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0, ∴f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0. (2)由(1)知,当x>0时,f(x)≥f(1)=0, 即xr≤rx+(1-r). (*) 由b1+b2=1,且b1,b2为正有理数,∴b2=1-b1, 于是在(*)中, a1 令x= >0,r=b1∈(0,1). a2 a1 a1 ∴( )b1≤b1· +(1-b1), a2 a2 则a1b1·a21-b1≤a1b1+a2(1-b1), 故a1b1·a2b2≤a1b1+a2b2成立.

1 1 1 已知a>0, - >1,求证: 1+a> . b a 1-b

【思路点拨】

从条件难以向结论转化.转换角度从结

论出发,寻找使结论成立的充分条件.

1 1 【尝试解答】 由已知 - >1及a>0可知0<b<1, b a 1 要证 1+a> , 1-b 只需证 1+a· 1-b>1,

只需证1+a-b-ab>1, a-b 1 1 只需证a-b-ab>0即 >1,即 - >1. ab b a 1 1 由已知, - >1成立, b a 故原不等式得证.

1.对于无理不等式,常用分析法证明.通过反推,逐 步寻找结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺 利获解的关键.

2.对于较复杂的不等式,通常用分析法探索证明途
径,然后用综合法加以证明,分析法的特点是:从“未知” 看“需知”,逐步靠拢“已知”,优点是利于思考,因为它 的方向明确,思路自然,而综合法的优点是易于表述,条理 清晰,形式简洁.

判断下面命题是真命题还是假命题,并用分析法证明 你的结论. b2-ac 命题:若a>b>c且a+b+c=0,则 < 3. a
【解】 命题是真命题,证明如下: ∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0. b2-ac 要证 < 3, a 只需证 b2-ac< 3a,即证b2-ac<3a2. 因为b=-a-c,故只需证(a+c)2-ac<3a2,

即证2a2-ac-c2>0,即证(2a+c)(a-c)>0.

∵2a+c=a-b>0,a-c>0,
∴(2a+c)(a-c)>0成立,∴原命题成立.

(2011·安徽高考)设直线l1 :y=k1x+1,l2 :y=k2x -1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0. (1)证明:l1与l2相交;

(2)证明:l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
【思路点拨】 第(1)问采用反证法;(2)求直线l1与l2的

交点坐标,代入椭圆方程验证.

【尝试解答】 (1)假设l1与l2不相交, 则l1与l2平行或重合,有k1=k2, 代入k1k2+2=0,得k2+2=0. 1 这与k1为实数的事实相矛盾. 从而k1≠k2,即l1与l2相交. ?y=k x+1, ? 1 (2)由方程组? ?y=k2x-1, ? ? ?x= 2 , k2-k1 ? 解得交点P的坐标(x,y)为? ?y=k2+k1. ? k2-k1 ?

k2+k1 2 则交点坐标为P( , ), k2-k1 k2-k1 2 2 k2+k1 2 从而2x +y =2( ) +( ) k2-k1 k2-k1
2 2 2 8+k2+k2+2k1k2= k1+k2+4 2 1 2 = = 2 2 =1, 2 2 k2+k1-2k1k2 k1+k2+4

因此,表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.

1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯 一”或以否定形式出现时,直用反证法来证,反证法关键是 在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与

假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.
2.用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须否定结 论;(2)必须从否定结论进行推理;(3)推导出的矛盾必须是 明显的.

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数 列.
【解】 (1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 1 两式相减得an+1= an, 2 1 所以{an}是首项为1,公比为 的等比数列,所以an= 2 2
n-1.

1

(2)反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记 为ap+1,aq+ 1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N*), 1 1 1 - - 则2·q= p+ r,所以2·r q=2r p+1. ① 2 2 2 2 又因为p<q<r,所以r-q,r-p∈N*. 所以①式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证.

综合法与分析法的关系:分析法与综合法相辅相成,对

较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的
关系,找到解题思路,再运用综合法证明;或两种方法交叉 使用.

1.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范
性,常常用“要证(欲证)?”“即要证?”“就要证?”等 分析到一个明显成立的结论. 2.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并 用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结

果,其推理过程是错误的.

反证法证明的关键:(1)准确反设;(2)从否定的结论正
确推理;(3)得出矛盾.

从近两年高考试题看,综合法、分析法是高考考查的热 点,主要考查考生的观察、抽象概括、联想等思维能力,同 时也考查考生运用综合——分析法分析问题、解决问题的能

力.多在知识的交汇处命题,如数列、立体几何中的平行垂
直、不等式、函数、解析几何等都可能考查.在具体求解 时,应注意运用转化与化归思想寻求解题思路.

思想方法之十二 转化与化归思想在解题中的应用 (2012· 四川高考)设a,b为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若a -b =1,则a-b<1;②若 - =1,则a-b<1; b a ③若| a - b |=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a- b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
【解析】 ①中,a2-b2 =(a+b)(a-b)=1,a,b为正

实数,若a-b≥1,则必有a+b>1,不合题意,故①正确.

1 1 a-b ②中, - = =1,只需a-b=ab即可.如取a= b a ab 2 4 2,b= 满足上式,但a-b= >1,故②错. 3 3 ③中,a,b为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,且|a -b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1, 故③错. ④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2) =1. 若|a-b|≥1,不妨取a>b>1,则必有a2+ab+b2>1,不 合题意,故④正确.
【答案】 ①④

易错提示:(1)解题时不注意分析题目中条件与结论的
差异之处,不能化异为同,从而导致无从下手或无的放矢. (2)忽视命题真假不定,而一味地证明其为真,导致事 倍功半,甚至出现错误.

防 范 措 施 : (1)注 意 培 养 观 察 能 力,即 观 察 条 件、 结

论,且能从数学的角度揭示其差异,如“高次?低次”、
“分式(根式)?整式”、“多元?一元”等,从而为我们的 化归转化指明方向,奠定基础. (2)注 意 这 类 判 断命 题真假的题目 ,其解法上既要 规 范,又要灵活.当判断为真时,需严格地推理证明;而判断

为假时,只需举一反例即可.

1.(2012·江西高考改编)下列命题中,假命题为( A.存在四边相等的四边形不是正方形

)

B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互
为共轭复数 C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1 D.对于任意n∈N*,2n都是偶数

【解析】

选项B中,若z1+z2为实数,则保证z1,z2虚

部互为相反数即可,并不需要z1,z2互为共轭复数,如z1=1
-i,z2=2+i.故B不对. 【答案】 B

1 2.(2013· 深圳模拟)设数列{an}满足a1=0,且 - 1-an+1 1 =1. 1-an (1)数列{an}的通项公式; 1- an+1 (2)设bn= ,记Sn是数列{bn}的前n项和,证明 n Sn<1.
【解】 1 1 (1)由 - =1,知 1-an+1 1-an

1 数列{ }是公差为1的等差数列. 1-an

1 又 =1, 1-a1 1 ∴ =1+(n-1)×1=n, 1-an 1 故an=1- . n 1- an+1 n+1- n 1 1 (2)由(1)知,bn= = = - . n n n+1· n n+1 ∴Sn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 n n+1

1 <1, n+1 故Sn<1. =1-


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