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信号时域分析


第二章 信号与系统的时域分析
引言: §2.0 引言: 基本思路: 基本思路:对LTI系统,由于其具有叠加性,齐 次性,时不变性,故而,如能实现将任意信号在时域分解为 简单单元信号的线性组合,那么只要得到LTI系统对基本 信号的响应,就可以利用系统的线性特性,将系统的输 出响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。 即: x(t) = a xi(t) x(n) = a x (n)


i
i

i


i
i

i i

则由系统的线性特性有:
y(t) = ∑al yi(t)

y(n) = ∑ai yi (n)

其中: 其中:

xi (t) → yi (t) xi (n) → yi (n)

对单元信号的要求: 对单元信号的要求: 1. 本身要简 2.能够构成相当广泛的一类信号 能够构成相当广泛的一类信号, 2.能够构成相当广泛的一类信号,具有普遍性 3.系统对单元信号的响应易于求得 系统对单元信号的响应易于求得. 3.系统对单元信号的响应易于求得. 问题的实质: 问题的实质: 1 研究信号的分解:即以什么样的信号作为构成任意信号的 基本信号单元,如何用基本信号单元的线性组合来构成任意 信号; 2 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应和对任意信号的 响应。 本章的内容: 本章的内容: 1.用 (t)表示连续时间信号x(t),用卷积积分求得响应 表示连续时间信号x(t),用卷积积分求得响应; 1.用δ(t)表示连续时间信号x(t),用卷积积分求得响应; 2.用 (n)表示离散时间信号x(n),用卷积和求得响应; 2.用δ(n)表示离散时间信号x(n),用卷积和求得响应; 表示离散时间信号x(n),用卷积和求得响应 3.在信号进行时域分解的的情况下,研究系统的性质; 3.在信号进行时域分解的的情况下,研究系统的性质; 在信号进行时域分解的的情况下

第二章 信号与系统的时域分析
信号的时域分解: §2.1 信号的时域分解 一.用δ(t) 表示连续时间信号: 用 表示连续时间信号 定义: 单位距形脉冲 ?1 0<t <? ? δ? (t) = ?? ?0 otherwise ? 0<t < ? ?1 ?δ? (t) = ? otherwise ?0
?.1 ? ?δ? (t ? k?) = ? ?.0
δ ? (t )
1 ?

0

?

t
?δ ? (t ? k?)

k? < t < (k +1)? 其它t

1

0

k?

(k + 1)?

t

用一系列的距形脉冲近似, 将x(t)用一系列的距形脉冲近似 用一系列的距形脉冲近似

x(t )
x? (t )

x(k?)

?
0 ?

?

?
t

k? (k + 1)?

第 k个矩形可表示为: x(k?)δ? (t ? k?) ?? 这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号 x? (t ) , ∞ 即: x (t) = x(k?)δ (t ? k?) ??
? k =?∞



?

x? (t) =

? k δ 当 ? → 0 时,? → τ ,? (t ? k ?) → δ (t ? τ ) , → dτ , ∑ → ∫ ,于是:

k =?∞

∑ x(k?)δ




?

(t ? k?) ??

x(t) = ∫ x(τ )δ (t ?τ )dτ
?∞

这一关系也可以根据δ (t)的性质直接推导而来:





?∞

x(τ )δ (t ?τ )dτ = ∫ x(t)δ (t ?τ )dτ = x(t)∫ δ (t ?τ )dτ = x(t)
?∞ ?∞





表明: 表明:任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为无数 多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。

第二章 信号与系统的时域分析
信号的时域分解: §2.1 信号的时域分解: 表示连续时间信号: 一.用δ(t) 表示连续时间信号: 结论:以上讨论表明, 结论:以上讨论表明,任何连续时间信号可以分解成无 数多个移位、加权的单位冲激之和, 数多个移位、加权的单位冲激之和,解决了连续时间信号 时域分解的问题. 时域分解的问题. 表示离散时间信号: 二.用δ(n) 表示离散时间信号: u ( n)可以由 δ (n) 线性组合构成即:
u(n) =
k =?∞

∑ δ (k) = ∑δ (n ? k)
k =0

n



对任何离散时间信号 x ( n) ,如果每次从其中取出 一个点,就可以将整个信号拆开来,每次取出的 一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位 脉冲。

于是有:

x ( n) =

k =?∞

∑ x(k )δ (n ? k )



表明:任何信号 x(n) 都可以被分解成移位 表明: 加权的单位脉冲信号的线性组合。

第二章 信号与系统的时域分析
连续时间信号LTI系统的时域分析 的时域分析: §2.2连续时间信号 连续时间信号 的时域分析 卷积积分: 一. 卷积积分
单位冲激响应: 单位冲激响应

h(t )
LTI

h(t) δ(t) 单位冲激响应h(t)的定义 单位冲激响应 的定义:LTI系统对δ(t)的响应 系统对δ 的响应 的定义 系统对

δ (t) → h(t)
由系统的时不变性: δ (t ? ?) → h(t ? ?) 由齐次性: 由叠加性:
? →0

x(k?)δ (t ? ?)? → x(k?)h(t ? ?)?

∑x(k?)δ (t ? ?)? → ∑x(k?)δ (t ? ?)?
k? →τ
∞ ?∞

k

? → dτ

k





?∞

x(τ )δ (t ?τ )dτ → ∫ x(τ )h(t ?τ )dτ x(t) → y(t)

y (t ) = x(t ) ? h(t )

第二章 信号与系统的时域分析
的时域分析: §2.2连续时间信号LTI系统的时域分析: 2.2连续时间信号LTI 连续时间信号LTI 的时域分析 结论: 结论:只要知道了系统的单位冲激响 h(t), 应h(t),就可以求 得系统对 任何x(t)所产生的响应y(t), x(t)所产生的响应 任何x(t)所产生的响应y(t),

y (t ) = x(t ) ? h(t )
这表明:系统的单位冲激响应h(t) 这表明:系统的单位冲激响应h(t) 可以 完全表征一个LTI系统。 LTI系统 完全表征一个LTI系统。

第二章 信号与系统的时域分析
二.卷积积分的求法 卷积积分的求法: 卷积积分的求法 (1) 解析法 如果信号可以写成解析式 可用卷记积分的 解析法: 如果信号可以写成解析式,可用卷记积分的 公式做. 公式做 h(t) = e?atu(t)........a > 0 x(t) = u(t) 求: y(t) 例:
?a(t ?τ) ∞ y(t) = ∫?∞u(τ) ? e ? u(t ? τ)dτ

运算过程的实质: 运算过程的实质 参与卷积的两个信号中,一个不动,另一个反转后随参 变量t移动。对每一个t的值,将 x(τ )和 h(t ? τ )对应相 乘,再计算相乘后曲线所包围的面积。 积分上下限的确定具有重要意义 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。

t ?a(t ?τ) 1 (1? e?at )u(t) = ∫0 e dτ = a

图解法: (2) 图解法: 卷积的过程包括反转,平移,相乘,积分,( ,(如 注: 卷积的过程包括反转,平移,相乘,积分,(如 下图所示),关键是确定参变量t ),关键是确定参变量 下图所示),关键是确定参变量t在不同区间积分的的上下 限.

x(t ) 1
? 12
h( ?τ ) 1
1

h(t )
1

0

2

y(t) = x(t)*h(t)

0

? 12

3

2

3

例:
1

x(t )
T T -T T -T
h ( ? τ)

h(t )
0
T

求y(t)=?

h (t ? τ )
t

t-T 0

1.t < ?T y (t ) = 0
2. ? T < t < 0 y (t ) = ∫ (t ? τ )dτ
?T t

h (t ? τ )
t-T t -T

0

T

h (t ? τ )
2

= 1 t + Tt + 1 T 2 2
2

t-T -T t 0

T

例:
1

x(t )
T T -T

h(t )
h (t ? τ )
t-T -T 0 tT T

求y(t)=?

3.0 < t < T
y (t ) =
=

t <T t ? T > ?T



t t?T
2

(t ? τ ) d τ

1 T 2

h (t ? τ )
-T t-T T t

4.T < t < 2T y (t ) = ∫tT T (t ? τ) dτ ?

t >T t ?T < T

5.t > 2T y (t ) = 0

1 = ? t 2 + Tt 2

h (t ? τ )
-T T t-T

t ?T > T

t

第二章 信号与系统的时域分析
卷积的性质: 三.卷积的性质 卷积的性质 (1) 交换率 x(t) ? h(t) = h(t) ? x(t) 交换率:

x(t )

h(t)

y(t)

h(t ) x(t)
∞ ?∞

y(t)

y (t ) = x(t ) ? h(t ) = ∫ x(τ )h(t ? τ )dτ
= ∫ x(t ? τ )h(τ )dτ = h(t ) ? x(t )
?∞ ∞

一个单位冲激响应是 h(t ) 的LTI系统对输入信号 x (t )所产生的响 应,与一个单位冲激响应是 x (t ) 的LTI系统对输入信号 h(t )所 产生的响应相同。

? 二个LTI系统级联可以交换级联次序

第二章 信号与系统的时域分析
卷积的性质: 三.卷积的性质 卷积的性质
(2) 结合率 结合率:

[x(t) ? h1(t)]? h2 (t) = x(t) ?[h1(t) ? h2 (t)]

从系统的观点解释: 从系统的观点解释:

x(t )

h1(t)

w(t)
h1(t) ? h2 (t)

h2(t)
y(t)

y(t)

x(t )

y(t) = w(t) ? h2 (t) = [x(t) ? h1(t)]? h2 (t) h(t) = h1(t) ? h2 (t)

(1) (2)

一个系统是由若干LTI系统级联所构成,则系统总的单位冲激响应等 一个系统是由若干LTI系统级联所构成,则系统总的单位冲激响应等 LTI系统级联所构成 于各个LTI子系统单位冲激响应的卷积 子系统单位冲激响应的卷积. 于各个 子系统单位冲激响应的卷积

第二章 信号与系统的时域分析
卷积的性质: 三.卷积的性质 卷积的性质
(3) 分配率 分配率:

x(t) ? h1(t) + x(t) ? h2 (t) = x(t) ?[h1(t) + h2 (t)]

h1(t)
x(t )
+

h2 (t)
x(t )
h1(t) + h2 (t)
y(t)

y(t)

y(t) = x(t) ? h1(t) + x(t) ? h2 (t)................(1) = x(t) ?[h1(t) + h2 (t)]......................(2)
一个系统有若干LTI系统的并联构成, 一个系统有若干LTI系统的并联构成,则系统总的单 LTI系统的并联构成 位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。 位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。

产生以上结论的前提条件: 产生以上结论的前提条件: 系统必须是LTI系统; 系统; ① 系统必须是 系统 所有涉及到的卷积运算必须收敛。 ② 所有涉及到的卷积运算必须收敛。 如: x(t )
平方 乘2

y (t ) = 2 x 2 (t )

若交换级联次序, 若交换级联次序,即: y (t ) = 4 x 2 (t ) x(t ) 平方
乘2

显然是不等价的。 显然是不等价的。

第二章
微分: (4) 微分:如果 (5)积分: (5)积分: 积分

信号与系统的时域分析
x′(t) ? h(t) = x(t) ? h′(t) = y′(t)
t t t

三.卷积的性质: 卷积的性质:

x(t) ? h(t) = y(t)

[∫ x(τ )dτ ]? h(t) = x(t) ?[∫ h(τ )dτ ] = [∫ y(τ )dτ ]

与δ(t)的卷积: (t)的卷积 的卷积:

x(t) ?δ (t) = x(t)

?∞

?∞

?∞

单位冲激响应等于δ(t)的系统是恒等系统 单位冲激响应等于δ(t)的系统是恒等系统 信号平移: 信号平移: x(t) ?δ (t ? t0 ) = x(t ? t0)
x(t ? t0 ) ?δ (t ? t1) = x(t ? t0 ? t1)

若: y(t) = x(t) ? h(t)

则: x(t ? t1) ? h(t ? t2 ) = y(t ? t1 ? t2 )

证 : x(t ? t1 ) ? h(t ? t 2 ) = [ x(t ) ? δ (t ? t1 )] ? [h(t ) ? δ (t ? t 2 )] = [ x(t ) * h(t )] *[δ (t ? t1 ) * δ (t ? t 2 )]; 结合率 = y (t ) * [δ (t ? t1 ) * δ (t ? t 2 )] = y (t ? t1 ? t 2 )

x(t) *δ ′(t) = x′(t);
t ?∞
t

微分器
积分器
t t

x(t) *u(t) = ∫ x(τ )dτ ;
?∞ ?∞

x(t ) * u (t ) = x(t ) ? ∫ δ (τ )dτ = ∫ x(τ )dτ ? δ (t ) = ∫ x(τ )dτ
?∞

恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算: 恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算:

例2

?1 x(t ) = ? ?0

0<t <T otherwise
∞ ?∞

?t h(t ) = ? ?0

0 < t < 2T otherwise

y (t ) = x(t ) ? h(t ) = ∫ x(τ )h(t ? τ )dτ = ∫ x(t ? τ )h(τ )dτ
?∞ ∞

如果用图解法做:

h(τ )
2T

x(τ )

x(t ? τ )
1

τ
0
2T

T
t ?T
0

τ
t

① 当 t < 0 时,

y (t ) = 0
t

1 2 ② 当 0 < t < T 时, y (t ) = ∫0 τ dτ = t 2 t 1 2 ③ 当 T < t < 2T 时, y (t ) = ∫t ?T τ dτ = Tt ? 2 T 2T 1 2 2 y ④ 当 2T < t < 3T 时, (t ) = ∫t ?T τ dτ = 2T ? (t ? T ) 2 ⑤ 当 t > 3T 时, y (t ) = 0 y (t )
3 2 T 2 1 2 T 2

t
T 2T
3T

0

x 将 x(t )微分一次的,′(t ) = δ (t ) ? δ (t ? T )
x(t )

1

0

T

t
h(t )

x′(t )
(1)
T

t
(?1)

0

?
0

2T

t
2T

y′(t ) = x′(t ) ? h(t ) = h(t ) ? [δ (t ) ? δ (t ? T )] = h(t ) ? h(t ? T )

2T

y′(t )

T

0
?T
?2T

2T

t
3T

T

y (t )
3 2 T 2 1 2 T 2

y (t ) = ∫ y′(τ )dτ
?∞

t

t
T 2T
3T

0

第二章 信号与系统的时域分析
离散时间信号LTI系统的时域分析 的时域分析: §2.3离散时间信号 离散时间信号 的时域分析 卷积和: 一. 卷积和
单位脉冲响应: 单位脉冲响应

h(n)
LTI

h(n) δ(n) 单位脉冲响应h(n)的定义 单位脉冲响应 的定义:LTI系统对δ(n)的响应 系统对δ 的响应 的定义 系统对 x(n)可表示为移位加权的单位脉冲之和 x(n) = ∑ x(k )δ (n ? k ) 可表示为移位加权的单位脉冲之和 k =?∞ 如果: δ (n) → h(n) 如果


由系统的时不变性: δ (n ? k) → h(n ? k) 由齐次性: 由叠加性: x(k)δ (n ? k) → x(k)h(n ? k)
k =?∞

∑ x(k)δ (n ? k) → ∑x(k)h(n ? k)
x(n) → y(n)
k =?∞





y ( n) = x ( n) ? h( n)

第二章 信号与系统的时域分析
2.3离散时间信号LTI系统的时域分析: 离散时间信号LTI 的时域分析: §2.3离散时间信号LTI 的时域分析 结论:只要知道了系统的单位脉冲响应h(n) h(n), 结论:只要知道了系统的单位脉冲响应h(n),就 得系统对任何x(n)所产生的响应y(n), x(n)所产生的响应y(n),也即 可以求 得系统对任何x(n)所产生的响应y(n),也即 LTI系统对任何输入信号x(n)的响应 系统对任何输入信号x(n)的响应, LTI系统对任何输入信号x(n)的响应,可以用系统对 单位脉冲响应来决定,因而可以预言,h(n) ,h(n)将可以完 单位脉冲响应来决定,因而可以预言,h(n)将可以完 一个LTI系统的特性. LTI系统的特性 全刻画 一个LTI系统的特性. 卷积和的求法: 二.卷积和的求法: 解析法: 如果信号可以写成解析式, (1) 解析法: 如果信号可以写成解析式,可用 卷积和的公式做. 卷积和的公式做.

例1

x ( n) = α u ( n)
n

0 <α <1

h( n) = u ( n)

y ( n ) = x ( n ) ? h ( n) =
k =?∞ n





x ( n) = α u ( n) 0 < α < 1 h( n) = u ( n)
n
k =?∞

x ( k ) h( n ? k ) =

α k u (n ? k )u (k ) ∑



1 ? α n +1 k = ∑α = u ( n) 1?α k =0

x(k ) = α k u (k )
1

h( n ? k ) = u ( n ? k )
1

k
0

...
0

k
n

求和的上、下限的确定具有重要意义. 注: 求和的上、下限的确定具有重要意义.

第二章

信号与系统的时域分析

的时域分析: §2.3离散时间信号LTI系统的时域分析: 2.3离散时间信号LTI 离散时间信号LTI 的时域分析 图解法: (2) 图解法: 过程包括反转,平移,相乘, 注: 过程包括反转,平移,相乘,求和 关键是确定参变量n在不同区间求和的上下限. 关键是确定参变量n在不同区间求和的上下限.

例2

?1 x(n) = ? ?0 ?α n h(n) = ? ? 0
x(k )

0≤n≤4 otherw ise

α > 1, 0 ≤ n ≤ 6
otherw ise
h(n ? k ) = α n?k

1

k
0

k
n?6
0

4

n

x(n)

h(n)

0 h(n-k) 1 2 3 4
1.

0 123456
n<0 y ( n) = 0

n-6

n0
2. 0≤n≤4
3. n>4

y (n) = ∑ a n ? k
k =0

n

n-6

n
3.

n ?6 < 0

4≤n≤6
4. n ?6 > 0

y ( n) = ∑ a n ? k
k =0

4

n-6

n
4. 6 < n < 10 y ( n) =

n ?6 < 4 4
k = n ?6

∑a

n?k

n-6

n

5.

n?6 > 4

即 : n > 10

y(n) = 0

① n < 0 时,

y (n) = 0n n y ( n) = ∑ α n ? k = α n ∑ α ? k ② 0 ≤ n ≤ 4时,
k =0 k =0

1 ? α ? ( n +1) 1 ? α n +1 n =α ? = ?1 1?α 1?α 4 1 ? α ?5 y ③ 4 ≤ n ≤ 6 时,(n) = ∑ α n ? k = α n ? ?1 1?α k =0

α n ? 4 ? α n +1 = 1?α 4 α n?4 ? α 7 n?k ④ 6 ≤ n ≤ 10 时,(n) = ∑ α = y 1?α k = n ?6 ⑤ n > 10 时, y (n) = 0

通过图形正确确定反转移位信号的区间表示, 对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的 上下限是很有用的。 3. 列表法 分析卷积和的过程,可以发现: ① x(n) 与 h(n) 所有的各点都要遍乘一次; ② 在遍乘后,各点相加时,根据 ∑ x(k )h(n ? k ) , 参与相加的各点都具有 x(k )与 h( n ? k ) 的分量相加为特点。
k =?∞ ∞

1 0 2 1 y (?1) 2 0 4 2 y (0) 0 0 0 0 y (1) 3 0 6 3 y (2) 1 0 2 1 y (3) y (4) y (5) y (6) 优点: 优点:计算非常简单。 缺点: 缺点:① 只适用于两个有限长序列的卷积和; ② 一般情况下,无法写出y (n)的 表达式。

h( n ) h(?1) 1 h(0) 2 h(1) 0 h(2) 3 h(3) 1

x(0) x(1) x(2) x(3) 0 2 1 x ( n) 1

4.有限长序列的卷积法:
两个有限长序列的卷积和,利用单位脉冲序列的卷积特 性,可以方便的求得: h(n) x(n) 例:
1
0

1 1 2 n
0

2

1

n

x(n) = δ (n) + δ (n ?1) + δ (n ? 2) h(n) = δ (n) + δ (n ?1) y(n) = x(n) *h(n) = [δ (n) + δ (n ? 1) + δ (n ? 2)] *[δ (n) + δ (n ? 1)] = δ (n) + δ (n ? 1) + δn ? 2) + δ (n ? 1) + δ (n ? 2) + δ (n ? 3) = δ (n) + 2δ (n ? 1) + 2δ (n ? 2) + δ (n ? 3)

求: y(n) = x(n) *h(n)

第二章 信号与系统的时域分析
三.卷积和的性质: 卷积和的性质:
与连续时间卷积性质相同,满足交换率、结合率、分配率; 与连续时间卷积性质相同,满足交换率、结合率、分配率; 从系统的观点作出的解释也相同; 从系统的观点作出的解释也相同; 条件限制也相同: 只适合于LTI系统; LTI系统 条件限制也相同: 只适合于LTI系统; 所涉及到的各个卷积和运算都应该收敛; 所涉及到的各个卷积和运算都应该收敛; y(n) = [x(n) ? x(n ?1)]2 是非线性系统,其单位脉冲响应是: 例1: 是非线性系统,其单位脉冲响应是: h(n)=[δ(n)+δ(n-1)]2=δ2(n)+2δ(n)δ(n-1) + δ2(n-1) δ δ δ δ δ = 1 n=0,1 0 其它n = δ(n)+δ(n-1) δ 单位脉冲响应是: 单位脉冲响应是 y(n) = x(n) + x(n ?1) 是一个LTI系统,其单位脉冲响应是: h(n) = δ (n) + δ (n ?1) 所以不能排除非线性系统或时变系统具有和一个LTI LTI系统相同的单 所以不能排除非线性系统或时变系统具有和一个LTI系统相同的单 位脉冲响应,不同的是, 位脉冲响应,不同的是,非线性系统或时变系统的单位脉冲响应不 一定可以完全刻画系统的特性。 一定可以完全刻画系统的特性。

第二章 信号与系统的时域分析
例2: 单位脉冲响应是: 单位脉冲响应是 y(n) = x(n) ? x(n ?1) 是一个LTI系统,其单位脉冲响应是:
h(n) = δ (n) ?δ (n ?1)

若 h1(n) = δ (n) ?δ (n ?1), h2 (n) = u(n) ,两个系统都是LTI系统。 当 x(n) = 1时,

[ x(n) * h1 (n)] * h2 (n) = 0; x(n) *[h1 (n) * h2 (n)] = 1;

按分配率 不满足分配率

原因:[x(n) *h2 (n)]*h1(n);
不收敛 收敛

第二章 信号与系统的时域分析
卷积和的性质: 三.卷积和的性质 卷积和的性质
x(n)与δ(n) 、u(n)的卷积和结果与连续时间信号的卷积积分结果类似 与 的卷积和结果与连续时间信号的卷积积分结果类似: 的卷积和结果与连续时间信号的卷积积分结果类似

x(n) ?δ (n) = x(n) ;

单位脉冲响应等于δ 的系统是恒等系统 单位脉冲响应等于δ(n)的系统是恒等系统 信号平移

x(n) ?δ (n ? n0 ) = x(n ? n0)
x(n ? n0 ) ?δ (n ? n1) = x(n ? n0 ? n1)

若: y(t) = x(t) ? h(n)
x(n) *u(n); =
k =?∞ n

则: x(n ? n1) ? h(n ? n2 ) = y(n ? n1 ? n2 )
求和器

∑x(k)

作业: 作业

第二章

信号与系统的时域分析
LTI系统的性质: 的性质: §2.4 LTI 的性质

既然,从卷积积分到卷积和我们看到LTI 既然,从卷积积分到卷积和我们看到LTI 特性可以完全由其h(t),h(n)刻画, h(t),h(n)刻画 特性可以完全由其h(t),h(n)刻画,那末我们 有必要研究一下,LTI系统的特性是如何体现在 有必要研究一下,LTI系统的特性是如何体现在 ,LTI

h(t)和h(n)中的 .

第二章 信号与系统的时域分析
一.即时系统与动态系统: 即时系统与动态系统: ·即时系统(无记忆系统) 在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入有关, 在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入有关, 而与该时刻以前、以后的输入无关,以离散时间LTI LTI系 而与该时刻以前、以后的输入无关,以离散时间LTI系 ∞ 统为例: y(n) = x(n) * h(n) = 统为例: x(k)h(n ? k) 对即时系统, 的项, 对即时系统,要求卷积和中只能有 k = n 的项,其 h(n ? k) = 0; k ≠n 他项均要为零,因此,只有: 他项均要为零,因此,只有:
h(n) = 0 n≠0
k =?∞



这表明,此系统的: h(n) = kδ (n); 这表明,此系统的:

因此有: y(n) = kx(n)

连续时间LTI系统的情况完全类似,对即时系统必须有: 连续时间LTI系统的情况完全类似,对即时系统必须有: LTI系统的情况完全类似 h(t) = kδ (t); y(t) = kx(t) k=1,则为恒等系统 此时: 则为恒等系统, 若k=1,则为恒等系统, 此时:

h(t) = δ (t);

h(n) = δ (n)

第二章

信号与系统的时域分析

LTI系统的性质 系统的性质: §2.4 LTI系统的性质: 可逆性:如果LTI系统是可逆的, LTI系统是可逆的 二.可逆性:如果LTI系统是可逆的,一定 存在一个逆系统,且该逆系统也是LTI系统, LTI系统 存在一个逆系统,且该逆系统也是LTI系统, 它们级联起来构成一个恒等系统。 它们级联起来构成一个恒等系统。
x (t )
h (t ) g (t ) x (t )

因此有: 因此有: h ( t ) ? g ( t ) = δ ( t )

h(n) ? g (n) = δ (n)

延时器是可逆的LTI LTI系统 例1:延时器是可逆的LTI系统

y(t) = x(t ? t0 )



h(t) = δ (t ? t0 )

其逆系统是: 其逆系统是: y(t) = x(t + t0 ) 显然有: 显然有: g(t) = δ (t + t0 )
h(t) ? g(t) = δ (t ? t0 ) ?δ (t + t0 ) = δ (t)

例2. 累加器是可逆的LTI系统, y(n) = k∑x(k) 累加器是可逆的LTI LTI系统 =?∞

n

h(n) = u(n)

逆系统是: 逆系统是 y(n) = x(n) ? x(n ?1)

g(n) = δ (n) ?δ (n ?1)

h(n) ? g(n) = u(n) ?[δ (n) ?δ (n ?1)] 显然也有: 显然也有 = u(n) ? u(n ?1) = δ (n)

第二章 信号与系统的时域分析
LTI系统的性质: 的性质: §3.4 LTI 的性质
三.因果性: 因果性: 在任何时刻系统的输出都只与该时刻以及该时刻以前的输入 有关,而与该时刻以后的输入无关.则系统是因果的. 有关,而与该时刻以后的输入无关.则系统是因果的. 以离散时间LTI LTI系统为例 以离散时间LTI系统为例 ∞ y(n) = x(n) * h(n) = ∑x(k)h(n ? k)
k =?∞

如是因果的,y(n)只能与当前以及以前的输入有关,欲使y(n) ,y(n)只能与当前以及以前的输入有关 y(n)与 系统 如是因果的,y(n)只能与当前以及以前的输入有关,欲使y(n)与 时刻以后的输入无关,要求和式中k>n的项均为零,为此要求: k>n的项均为零 n时刻以后的输入无关,要求和式中k>n的项均为零,为此要求: h(n ? k) = 0, k >n 也即: 也即: h(n) = 0, n<0 相应的对连续时间LTI系统有: LTI系统有 相应的对连续时间LTI系统有:

h(t ) = 0,

t<0



h(t) = 0, h(n) = 0,

t <0 n<0

是LTI系统因果性的充分必要条件 LTI系统因果性的充分必要条件

因果系统的逆系统不一定是因果的, 因果系统的逆系统不一定是因果的,例: y(t) = x(t ?1) ; 因果的 其逆系统 的

y(t) = x(t +1) 非因果

第二章 信号与系统的时域分析
的性质: §2.4 LTI系统的性质 的性质
稳定性: 四. 稳定性 如果一个系统的输入是有界的,输出也有界,则系统是稳定的,否则系 统是非稳定的. 以离散时间LTI系统为例 以离散时间 系统为例
y(n) = h(n) * x(n) =
k =?∞

∑ x(k)h(n ? k) = ∑h(k)x(n ? k)
x(n) ≤ B
∞ k =?∞





设:

x(n) 有界,即: 有界 即
y(n) =


k =?∞

k =?∞ ∞

∑x(k)h(n ? k) = ∑h(k)x(n ? k) ≤ ∑ h(k) x(n ? k)
k =?∞ k =?∞



≤ B ∑ h(k)

欲使

y(n) < ∞ 则要求 ∑ h(k) < ∞
k =?∞



∴ h(n)绝对可和,是离散时间 绝对可和 是离散时间LTI稳定的充分必要条件 稳定的充分必要条件 是离散时间 h(t) 绝对可积,是连续时间 绝对可积 是连续时间LTI稳定的充分必要条件 稳定的充分必要条件 是连续时间

第二章 信号与系统的时域分析
的性质: §2.4 LTI系统的性质 的性质
五.单位阶跃响应 : 单位阶跃响应 以上讨论我们看到LTI系统的特性充分体现在 以上讨论我们看到 系统的特性充分体现在h(t),h(n)中,然 中然 系统的特性充分体现在 而,h(t),h(n)是系统对输入 δ(t),δ(n)的响应 在实际工程中,我们很难用 是系统对输入 δ 的响应,在实际工程中 我们很难用 的响应 在实际工程中 实验的方法,测定 实验的方法 测定h(t),h(n),而往往使用单位阶跃响应来描述系统. 而往往使用单位阶跃响应来描述系统 测定 而往往使用单位阶跃响应来描述系统
u(t) = ∫
t ?∞

δ(τ)dτ
s(t) = u(t) ? h(t)

u(n) =

系统对单位阶跃信号响应; 系统对单位阶跃信号响应

k =?∞

∑δ (k)

n

s(t ) = ∫

t

s(n) =

k =?∞

∑ h(k )

?∞ n

s(n) = u(n) ? h(n) d h(τ )dτ h(t ) = s(t )

dt h(n) = s(n) ? s(n ? 1)

单位阶跃响应 也完全可以表征一个LTI系统 也完全可以表征一个 系统. 系统

第二章 信号与系统的时域分析
§2.5 LTI系统的微分、差分方程描述: 的微分、差分方程描述 的微分 连续时间LTI系统的微分方程描述 一.连续时间 连续时间 系统的微分方程描述 描述连续时间LTI系统的 系统的LCCDE一般可以表示为 一般可以表示为: 描述连续时间 系统的 一般可以表示为
dyk (t) M dxk (t) ∑ak k = ∑bk k dt dt k =0 k =0
N

ak , bk

均为常数

LCCDE可以描述相当广泛的一类连续时间 可以描述相当广泛的一类连续时间LTI系统 分析 系统,分析 可以描述相当广泛的一类连续时间 系统 这种系统,就是求解该方程 就是求解该方程, 的解是由: 这种系统 就是求解该方程 对LCCDE的解是由 的解是由

y(t) = yh (t) + yp (t)
特解: 特解 齐次解: 齐次解
N

yp (t) 取决于系统的输入信号 yh (t) 即系统未加输入信号时方程的解
解的一般形式 当无重根时

即:

dy k (t ) =0 ∑ ak k dt k =0

yh (t ) = ∑ ck e λk t
k =1

N

λk:

k=1,2,3………..N

为特征根

Ck 是待定系数。

第二章 信号与系统的时域分析
的微分、 §2.5 LTI系统的微分、差分方程描述 的微分 差分方程描述:

连续时间LTI系统的微分方程描述 一.连续时间 连续时间 系统的微分方程描述 k=1,2,3………..N λk : 特征根 要确定其中N个待定系数 需要一组附加条件. 个待定系数,需要一组附加条件 要确定其中 个待定系数 需要一组附加条件 从数学的角度讲,解方程的一组附加条件可以 从数学的角度讲 解方程的一组附加条件可以 是任意的,这意味着一组附加条件的数值和给出 是任意的 这意味着一组附加条件的数值和给出 这一组附加条件的时刻都可以是任意的,如果这 这一组附加条件的时刻都可以是任意的 如果这 一组附加条件是在输入加入的时刻给出,我们称 一组附加条件是在输入加入的时刻给出 我们称 这样一组附加条件为初始条件. 这样一组附加条件为初始条件 现在研究系统的线性、 现在研究系统的线性、因果性和时不变性与 LCCDE及附加条件的关系 就是说在什么情况下 及附加条件的关系,就是说在什么情况下 及附加条件的关系 就是说在什么情况下, 描述的系统才是线性的、 由LCDDE描述的系统才是线性的、因果的和时 描述的系统才是线性的 不变的. 不变的

?第二章 信号与系统的时域分析 第二章
的微分、 §2.5 LTI系统的微分、差分方程描述 的微分 差分方程描述: (1) 线性 线性:
线性系统满足零输入零输出, x(t) = 0 时,方程变成齐次方程 线性系统满足零输入零输出 方程变成齐次方程, 方程变成齐次方程 k N dy (t) ak =0 ∑ k 其解: 其解 dt k =0 N y(t) = c eλkt = 0


k =1

k

x(t) = 0 时,要求 y(t) = 0,则有所有的系数 要求 则有所有的系数

的一组附加条件; 的一组附加条件

ck = 0 ;即要求确定 ck = 0 即要求确定

∑a
k =1 N k =1

N

k

=0
d dt

y(0) = 0
t =0

∑ck
? ?

eλkt

=0

y/ (0) = 0 ? ? y N ?1 = 0

∑ck
k =1

N

d N?1 dt N?1

eλkt

t =0

=0

这表明LCCDE连同一组全部为零的附加条件才能描述一个线性系统. 这表明 连同一组全部为零的附加条件才能描述一个线性系统 连同一组全部为零的附加条件才能描述一个线性系统

第二章 信号与系统的时域分析
的微分、 §2.5 LTI系统的微分、差分方程描述 的微分 差分方程描述: (2) 因果性 因果性:
0

假设系统在 t = t0 的时刻加入输入信号,附加条件在 t = 0时给 的时刻加入输入信号 附加条件在 出,当 t < 0时,附加条件是在信号加入以后的某个时刻给出 当 附加条件是在信号加入以后的某个时刻给出. 附加条件是在信号加入以后的某个时刻给出

t0

0

t

为了满足线性,要求这组附加条件必须全部为零 即: 为了满足线性 要求这组附加条件必须全部为零,即 要求这组附加条件必须全部为零 于是系统的输出 的时 y(0) = 0, y′(0) = 0,??, y( N?1) (0) = 0 ;于是系统的输出 y(t ) 在t=0的时 刻必须为零. 刻必须为零 而输入信号在t<0时已经加入 因而 y(t )应该由系统本身特性和输 而输入信号在 时已经加入,因而 时已经加入 入信号决定,于是产生了矛盾 一方面附加条件要求 y(t )在t=0必须为零 入信号决定 于是产生了矛盾,一方面附加条件要求 必须为零, 于是产生了矛盾 必须为零 另一方面 y(t ) 在t=0必须受到系统和输入信号的约束 这就要求系统 必须受到系统和输入信号的约束,这就要求系统 必须受到系统和输入信号的约束 在t0~0这一区间 对 x(t) 的响应必须能预见到t=0时刻的响应 从而导 ~ 这一区间,对 的响应必须能预见到 时刻的响应,从而导 这一区间 时刻的响应 致系统的非因果性. 致系统的非因果性

第二章 信号与系统的时域分析
的微分、 §2.5 LTI系统的微分、差分方程描述 的微分 差分方程描述: (2) 因果性 因果性:
因而可以得出结论: 只有附加条件在输入信号加入的时刻给出,即 因而可以得出结论 只有附加条件在输入信号加入的时刻给出 即 附加条件同时是初始条件,才能保证系统是因果的 才能保证系统是因果的. 附加条件同时是初始条件 才能保证系统是因果的 综上所述: 一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件才能描述一 连同一组全部为零的初始条件才能描述一 综上所述 一个 连同 个线性的,因果的同时也是时不变的系统 因果的同时也是时不变的系统. 个线性的 因果的同时也是时不变的系统 如果这组初始条件不全为零,则系统是增量线性系统 则系统是增量线性系统. 如果这组初始条件不全为零 则系统是增量线性系统 (3) 时不变性 时不变性: 验证: 验证 以一个一阶微分方程为例 初始条件: 初始条件

y′(t) + y(t) = x(t)

y(t0 ) = 0

x1 (t ) x2 (t )

t0

t0+T

只需验证: x1(t) → y1(t); x2 (t) = x1(t ?T ) → y2 (t) y2(t) = y1(t ?T )

? x1(t) x1(t) = ? ?0,

t > t0 t ≤ t0

y(t0 ) = 0;

系统的输出y1(t)满足

′ ?y1(t) + y1(t) = x1(t) ? y1(t0 ) = 0 ? ?x1(t ?T ) 若: x2 (t) = x1(t ?T ) = ? ? 0, ′ ?y2 (t) + y2 (t) = x2 (t) ? ? y2 (t0 + T ) = 0

t > t0 +T t ≤ t0 +T

系统的输出y2 (t)满足

显然:

′ ?y1(t ?T ) + y1(t ?T ) = x1(t ?T ) = x2 (t) ? y2 (t0 + T ) = y1(t0 ) = 0 ?

∴y2 (t) =y1(t ?T)

表明系统是时不变的

结论: 一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件 结论: 可以描述一个LTI因果系统。这组条件是: ′(0) = 0,??, y( N?1) (0) = 0 y(0) = 0, y 如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述,且具有 一组零初始条件,就称该系统初始是静止的或最 初始是静止的或最 初是松弛的。 初是松弛的
反之,一个 反之,一个LTI系统可以由一组初始条件全部为零 系统可以由一组初始条件全部为零 来描述。 的LCCDE来描述。 来描述

如果LCCDE具有一组非零的初始条件,则可以 证明它所描述的系统是增量线性的。

第二章 信号与系统的时域分析
离散时间LTI系统的差分方程描述 的差分方程描述: 二. 离散时间 的差分方程描述
1.描述离散时间 描述离散时间LTI系统的 系统的LCCDE一般可以表示为 一般可以表示为: 系统的 一般可以表示为

∑a y(n ? k) = ∑b x(n ? k)
k =0 k k =0 k

N

M

与连续时间LTI系统 系统LCCDE一样 它的解也分为齐次解和 一样,它的解也分为齐次解和 与连续时间 系统 一样 特解,也需要一组附加条件 也需要一组附加条件: 特解 也需要一组附加条件 y(n) = yh (n) + yp (n) 可以得出与微分方程相同的结论: 可以得出与微分方程相同的结论 一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件,可以描 连同一组全部为零的初始条件 一个 连同一组全部为零的初始条件, 述一个线性,因果和时不变的离散时间系统 因果和时不变的离散时间系统, 述一个线性 因果和时不变的离散时间系统,其初始条件 一般为: 一般为

y(?1), y(?2), y(?3),??y(?N)

? 当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时,所 具有一组全部为零的初始条件 具有一组全部为零的初始条件时 描述的系统是线性 因果、时不变的。 系统是线性、 描述的系统是线性、因果、时不变的。 ? 无论微分方程还是差分方程,由于其特解都与 无论微分方程还是差分方程, 输入信号具有相同的函数形式, 输入信号具有相同的函数形式,也就是说它是完全 由输入决定的,因而特解所对应的这一部分响应称 由输入决定的, 受迫响应或强迫响应。 为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于 与输入信号无关,也称为系统的自然响应 自然响应。 与输入信号无关,也称为系统的自然响应。 ? 增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。 增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。 零输入响应与输入信号无关 因此属于自然响应 与输入信号无关, 属于自然响应。 零输入响应与输入信号无关,因此属于自然响应。 ?零状态响应既与输入信号有关,也与系统特性有关, 零状态响应既与输入信号有关 也与系统特性有关, 零状态响应既与输入信号有关, 因而它包含了受迫响应 也包含有一部分自然响应。 包含了受迫响应, 因而它包含了受迫响应,也包含有一部分自然响应。

第二章 信号与系统的时域分析
离散时间LTI系统的差分方程描述 的差分方程描述: 二. 离散时间 的差分方程描述 2.差分方程的递推迭代解法 差分方程的递推迭代解法: 差分方程的递推迭代解法

∑a y(n ? k) = ∑b x(n ? k)
(
k = 0 项提出 将方程改写为 项提出) 将方程改写为: N 1 N y(n) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) a0 k =0 k =1
k =0 k k =0 k

N

M

要求 y (n) ,不仅要知道所有的输入 x(n) ,还要知道 不仅要知道所有的输入 还要知道
y(n ?1), y(n ? 2), y(n ? 3), y(n ? 4)??

用递推的方法可以求得 n ≥ 0时所有的 y (n) 时所有的 例: y(0) 可从 y(-1),y(-2),y(-3)………y(-N)求得 求得 y(1) 可从 y(0), y(-1),y(-2)………y(-N+1)求得 求得 y(2) 可从 y(1), y(0), y(-1)………y(-N+2)求得 求得 . . .

第二章 信号与系统的时域分析
离散时间LTI系统的差分方程描述 的差分方程描述: 二. 离散时间 的差分方程描述 2.差分方程的递推迭代解法 差分方程的递推迭代解法: 差分方程的递推迭代解法

∑a y(n ? k) = ∑b x(n ? k)
k =0 k k =0 k

N

M

将(K=N的项提出 方程改写为: 的项提出) 方程改写为 的项提出

N ?1 1 N y(n ? N) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) aN k =0 k =0

时所有的y(n) 用递推的方法可以求得 n < 0时所有的 时所有的 例: y(-1) 可从 y(0),y(1),y(2)………y(N-1)求得 求得 y(-2) 可从 y(-1), y(0),y(1)………y(N-2)求得 求得 y(-3) 可从 y(-2), y(-1), y(0)………y(N-3)求得 求得 . . .

第二章 信号与系统的时域分析
离散时间LTI系统的差分方程描述 的差分方程描述: 二. 离散时间 的差分方程描述 2.差分方程的递推迭代解法 差分方程的递推迭代解法: 差分方程的递推迭代解法
N 1 N y(n) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) a0 k =0 k =1 N N ?1 1 y(n ? N) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) aN k =0 k =0 y(n ?1) + 2y(n) = x(n) N =1

例:

1 y (n) = [ x(n) ? y (n ? 1)] 2 求出n ≥ 0的y (n) 1 y (0) = [ x(0) ? y (?1)] 2 1 y (1) = [ x(1) ? y (0)] 2 1 y (2) = [ x(1) ? y (1)] 2 ?

y (n ? 1) = [ x(n) ? 2 y (n)] 求出n < 0的y (n) y (?1) = [ x(0) ? 2 y (0)] y (?2) = [ x(?1) ? 2 y (?1)] y (?3) = [ x(?2) ? 2 y (?2)] ?

?第二章 信号与系统的时域分析 第二章
离散时间LTI系统的差分方程描述 的差分方程描述: 二. 离散时间 的差分方程描述 3. FIR(Finite impulse response)与IIR(Infinite …)系统 与 系统 描述的离散时间系统可以分为两大类, 由LCCDE描述的离散时间系统可以分为两大类 描述的离散时间系统可以分为两大类 N M 即:FIR和IIR系统 和 系统

∑a y(n ? k) = ∑b x(n ? k)
k =0 k k =0 k

若 k ≠0

1 M y(n) = ∑bk x(n ? k) a0 k =0 = x(n) *h(n);

只有k=0的项 则方程变为: 的项) 只有 ak = 0 (只有 的项 则方程变为

h(n) =

bn a0

0≤n≤M

·只要知道输入序列 即可求得 只要知道输入序列,即可求得 即可求得y(n),无需递推 无需递推. 无需递推
·显然 h(n)是一个有限长序列 故为 显然, 是一个有限长序列,故为 故为FIR系统 方程称为非 系统,方程 显然 系统 方程称为非 递归方程. 递归方程 若ak除了a0外,不全为零 则y(n)不仅与输入有关 而且与 除了 不全为零,则 不仅与输入有关,而且与 不全为零 不仅与输入有关 以前的输出有关, 方程为递归型 递归型, 为无限长,称为 系 称为IIR系 以前的输出有关 方程为递归型 h(n)为无限长 称为 不同,故系统结构特性及设计方法均 统,这两类系统 h(n) 不同 故系统结构特性及设计方法均 这两类系统 有明显差异. 有明显差异

第二章

信号与系统的时域分析

LTI系统的方框图表示: 的方框图表示: 三. LTI 的方框图表示 一个LTI LTI系统往往可以由微分方程和差分方 一个LTI系统往往可以由微分方程和差分方 程表示,实现这样一个系统, 程表示,实现这样一个系统,就是要完成微分方程 和差分方程所表示的运算关系, 和差分方程所表示的运算关系,我们可以用另外 一种手段直观的分析和模拟实现一个系统, 一种手段直观的分析和模拟实现一个系统,即用 一些基本的运算单元(相乘、相加、延时、微分、 一些基本的运算单元(相乘、相加、延时、微分、 积分) 表示方程规定的运算关系, 积分),表示方程规定的运算关系,用计算机技 术或数字电路技术实现系统的模拟仿真, 术或数字电路技术实现系统的模拟仿真,模拟实 这就是系统的方框图表示 系统的方框图表示。 现,这就是系统的方框图表示。

第二章

信号与系统的时域分析

LTI系统的方框图表示: 的方框图表示: 三. LTI 的方框图表示
离散时间LTI系统的方框图表示: LTI系统的方框图表示 (一).离散时间LTI系统的方框图表示: LCCDE包括 移位、相加、 包括: LCCDE包括:移位、相加、乘系数三种运算 M N 1? ? y(n) = ?∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)? a0 ?k =0 k =1 ?

a

a



a+b

x ( n)

D

x(n ? 1)

例: b 描述一阶系统的差分方程: 描述一阶系统的差分方程: 改写为: 改写为: 这一方程的实现框图为: 这一方程的实现框图为:

y(n) = bx(n) ? ay(n ?1)

y(n) + ay(n ?1) = bx(n)

b
x(n)

+ D -a
y (n ? 1)

y (n)

第二章 信号与系统的时域分析
三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示
离散时间LTI系统的方框图表示: 系统的方框图表示: (一).离散时间 离散时间 系统的方框图表示 N M 一般情况: 改写为: 一般情况: ∑a y(n ? k) = ∑b x(n ? k) 改写为:
k =0 k k =1 k
N 1 M y(n) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) a0 k =0 k =1

W(n) = ∑bk x(n ? k)
k =0

M

1 y ( n) = a0

N ? ? w(n) ? ∑ ak y (n ? k ) ? ? k =1 ? ?

w(n) = ∑ bk x(n ? k )
k =0

M

1 y ( n) = a0

N ? ? ? w(n) ? ∑ ak y (n ? k ) ? k =1 ? ?

x ( n)
x(n ? 1)

b0




w(n)




1/ a0
?a1 ?a2
?aN ?1

y ( n)

D D

b1 b2
bM ?1

D D

y (n ? 1) y (n ? 2)

x(n ? 2)

?
D

⊕ ⊕

?

⊕ ⊕
直接Ⅰ 直接Ⅰ型

?

?
D

x(n ? M )

bM

?aN

y (n ? N )

第二章 信号与系统的时域分析
三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示
离散时间LTI系统的方框图表示: 系统的方框图表示: (一).离散时间 离散时间 系统的方框图表示 如果M=N: 需要 个延迟单元 移位寄存器 或计算机存储单元 需要2N个延迟单元 移位寄存器)或计算机存储单元 个延迟单元(移位寄存器 或计算机存储单元; 如果

x(n)
+ + +

1 α0

b0 D D D b1 D b2

+ + +

y(n)

-a1 -a2

+

-aN

D

D bN +

合并延时单元,得直接 型 合并延时单元 得直接II型 得直接

第二章 信号与系统的时域分析 N M 三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示 ∑ak y(n ? k) = ∑bk x(n ? k)
k =1 离散时间LTI系统的方框图表示: k =0 系统的方框图表示: (一).离散时间 离散时间 系统的方框图表示 N 1 M 合并延时单元,得直接 得直接II型 合并延时单元 得直接 型 y(n) = (∑bk x(n ? k) ? ∑ak y(n ? k)) a0 k =0 k =1

x( n)



1/ a0
? a1 ? a2

b0



y ( n)

⊕ ⊕ ⊕

D D

b1 b2

⊕ ⊕ ⊕
直接Ⅱ 直接Ⅱ型
(正准型 正准型) 正准型

?

?aN ?1
?aN

?
D

bN ?1 bN

?

第二章 信号与系统的时域分析
三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示
连续时间LTI系统的方框图表示: 系统的方框图表示: (二).连续时间 连续时间 系统的方框图表示 描述连续时间LTI系统的 系统的LCCDE: 描述连续时间 系统的 k N dy (t ) M dx k (t ) = ∑ bk ∑ ak k dt dt k k =0 k =0 LCCDE包括:微分、相加、乘系数三种运算 显然将离散时间系统 包括: 包括 微分、相加、乘系数三种运算,显然将离散时间系统 中的差分换成微分即可. 中的差分换成微分即可 由于微分器在工程中不易实现,抗干扰能力差 抗干扰能力差,工程上常用积分器 由于微分器在工程中不易实现 抗干扰能力差 工程上常用积分器 实现,可以将微分方程改写成积分方程 可以将微分方程改写成积分方程. 实现 可以将微分方程改写成积分方程 定义: y(t)的零次积分 定义 的零次积分 y( 0 ) (t ) = y (t ) t t y(1) (t ) = ∫? ∞ y (τ)dτ = ∫? ∞ y( 0) (τ) dτ = y (t ) ? u (t ) t y( 2) (t ) = ∫? ∞ y(1) (τ) dτ = y (t ) ? u (t ) ? u (t ) ? ? t y( k ) (t ) = ∫? ∞ y( k ?1) (τ) dτ = y (t ) ? u (t ) ? ?? ? u (t ) 将方程两边积分N次 令 则有: 将方程两边积分 次(令M=N),则有 则有 k个 个

连续时间LTI系统的方框图表示: 系统的方框图表示: (二).连续时间 连续时间 系统的方框图表示

∑a y
k =0 k

N

( N ?k )
N

(t) = ∑bk x( N ?k ) (t)
k =0

N

N ?1 1 ? ? y(t) = ?∑bk x( N ?k ) (t) ? ∑ak y( N ?k ) (t)? aN ?k =0 k =0 ?

w(t )

x(t )
∫ ∫

bN
bN ?1 bN ? 2
b1




w(t )

w(t )




1/ aN
?aN ?1 ∫

y (t )

?


⊕ ⊕
直接Ⅰ 直接Ⅰ型

?

⊕ ⊕

? aN ? 2 ∫
?a1

?

?


b0

?a0

第二章 信号与系统的时域分析
三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示
系统的方框图表示: (一)连续时间LTI系统的方框图表示: 连续时间 系统的方框图表示 交换级联次序 1 αN x(t)

+ +

bN bN-1

+ + +

y(t)


-aN-1


∫ ∫

+

-aN-2

bN-2

+

-a0




b0 +

第二章 信号与系统的时域分析
三. LTI系统的方框图表示 的方框图表示: 的方框图表示
连续时间LTI系统的方框图表示: 系统的方框图表示: (一).连续时间 连续时间 系统的方框图表示 合并积分单元,得直接 得直接II型 合并积分单元 得直接 型

dy k (t ) M dx k (t ) = ∑ bk ∑ ak k dt dt k k =0 k =0
N

x(t )



1/ aN

bN



y (t )

⊕ ⊕ ⊕

?aN ?1 ? aN ? 2

∫ ∫

bN ?1 bN ?2

⊕ ⊕ ⊕
直接Ⅱ 直接Ⅱ型
(正准型 正准型) 正准型

?

?a1
?a0

?


b1

?

b0

第二章

信号与系统的时域分析

LTI系统的方框图表示: 的方框图表示: 三. LTI 的方框图表示 (二).连续时间LTI系统的方框图表示: 连续时间LTI系统的方框图表示: LTI系统的方框图表示 将连续时间LTI LTI系统的直接型结构和离散 将连续时间LTI系统的直接型结构和离散 时间LTI系统的直接型结构比较,可以看出: LTI系统的直接型结构比较 时间LTI系统的直接型结构比较,可以看出: 将离散时间延时单元改为积分器, 将离散时间延时单元改为积分器,并把相 应的系数次序倒置,就可以从离散时间LTI LTI系统的 应的系数次序倒置,就可以从离散时间LTI系统的 直接型结构变成连续时间LTI系统的直接型结构. 直接型结构变成连续时间LTI系统的直接型结构. LTI系统的直接型结构 LTI系统还有级联 并联结构, 系统还有级联、 LTI系统还有级联、并联结构,将在以后 的章节介绍. 的章节介绍.

本章主要讨论了以下内容: 本章主要讨论了以下内容:
⒈ 信号的时域分解:
x(n) =
k =?∞ ∞

∑ x(k)δ (n ? k)



⒉ LTI系统的时域分析——卷积和与卷积积分 ⒊ LTI系统的描述方法: ① 用 h(t)、h(n) 描述LTI系统(也可用s(t )、s(n)描述); ② 用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统; ③ 用系统方框图描述(等同于LCCDE描述)。 ⒋ LTI系统的特性与 h(t)、h(n) 的关系: ① 记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 h(t )、h ( n ) 的关系; h ② 系统级联、并联时, (t)、h(n) 与各子系统的关系。

x(t) = ∫ x(τ )δ (t ?τ )dτ
?∞

作业: 作业:


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