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闸北区2016年高三数学理科一模试卷(含答案)


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闸北区 2015 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并 在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 16 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 6 分,否则一律得零分.

?1 ? 1. ? x ? 2 ? ? 2 ? 1? 的展开式中常数项为 . ?x ? ?ln?1 ? x ?, x ? 0, ? 2.函数 f ? x ? ? ? 的单调性为________;奇偶性为 1 ln ,x ? 0 ? ? 1? x
2

5



3.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆 上,则该正三棱锥的体积是 .

? 4.在菱形 ABCD 中, AB ? 1 , ?DAB ? 60 , E 为 CD 的中点,则 AB ? AE 的值是

??? ? ??? ?



5.如图,靠山有一个水库.某人先从水坝的底部 A 测得水坝对面 的山顶 P 的仰角为 40 ,再沿坝面向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得 ?ABP ? 56 ,若坝面与水平面所成的锐角为
? ?

30? ,则山高为

米.(结果四舍五入取整)

6.将序号分别为 1, 2,3, 4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 7. 等差数列 {an } 的公差为 d , 关于 x 的不等式 dx2 ? 2a1 x ? 0 的解集为 ?0,9? , 则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 8.过点 M .

?

3, y0 作圆 O : x2 ? y 2 ? 1 的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ?

?

?
6

,那么 y0 的取

值范围是 . 9.如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时 针方向旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x ( x ? [0, ? ] ) , OP 所经过的在正方 形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x ) 有以下三个结论:

3 ?? ? ; ?? ?3? 2 ?? ? ?? ? ? ?? ②对任意 x ? ?0, ? ,都有 f ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 4 ; ?2 ? ?2 ? ? 2? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?? ? ③对任意 x1 , x2 ? ? , ? ? ,且 x1 ? x2 ,都有 ? 0. x1 ? x2 ?2 ?
①f? 其中所有正确的结论的序号是 .

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确 的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 6 分,否则一律得零分. 10. “抛物线 y ? ax2 的准线方程为 y ? 2 ”是“抛物线 y ? ax2 的焦点与双曲线 的焦点重合”的 A.充分不必要条件; C.充要条件; B.必要不充分条件; D.既不充分也不必要条件.

y2 ? x2 ? 1 3
【 】

11.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出下列四个命题: ①若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行; ②若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行; ③若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线; ④若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面. 其中真命题的个数为 A.4; B.3; C.2; D.1. 【 】

? ? ?? ? ? 12.已知 i 和 j 是互相垂直的单位向量,向量 an 满足: i ? a n ? n , j ? a n ? 2n ? 1 , n ? N , ? ?? ? 设 ?n 为 i 和 an 的夹角,则 【 】
A. ?n 随着 n 的增大而增大; C.随着 n 的增大, ?n 先增大后减小; B. ?n 随着 n 的增大而减小; D.随着 n 的增大, ?n 先减小后增大.

三、解答题(本题满分 78 分)本大题共有 4 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 13. (本题满分 18 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 10 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终 边交单位圆于点 A ,且 ? ? ?

? ?? ? ? , ? ,将角 ? 的终边绕原点逆时针方向旋转 ,交单位圆与 3 ?4 2?

点 B ,过 B 作 BC ? y 轴于点 C . (1)若点 A 的纵坐标为

3 ,求点 B 的横坐标; 2

y A B C

(2)求 ?AOC 的面积 S 的最大值.

α -1 O 1 x

14. (本题满分 20 分,第 1 小题 10 分,第 2 小题 10 分) 经过多年的运作, “双十一” 抢购活 动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为 迎接 2015 年 “双十一” 网购狂欢节, 某厂家拟投入适当的广告费, 对网上所售产品进行促销. 经 调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足 p ? 3 ?

中 0 ? x ? a , a 为正常数).已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万元(不含促销费用),每

2 (其 x ?1

20 ) 元,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求 . p (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数;
一件产品的销售价格定为 (4 ? (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值.

15. (本题满分 20 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,第 4 小题 3 分) 如图,已知动直线 l 交圆 ( x ? 3) ? y ? 9 于坐标
2 2

y A

B

原点 O 和点 A ,交直线 x ? 6 于点 B . (1)若 OB ? 3 5 ,求点 A 、点 B 的坐标; (2)设动点 M 满足 OM ? AB ,其轨迹为曲线 C , 求曲线 C 的方程 F ( x, y) ? 0 ; (3)请指出曲线 C 的对称性、顶点和图形范围,并说明理由.

???? ?

??? ?

O

3

6

x

(4)请判断曲线 C 是否存在渐近线,若存在,请直接写出渐近线方程;若不存在,请说明理由.

16. (本题满分 20 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 8 分,第 3 小题 8 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且点 ? n, Sn ? ( n ? N )在函数 y ? 2
?

x ?1

? 2 的图象上.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足: b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? an ,求 {bn } 的通项公式; (3)在第(2)问的条件下,若对于任意的 n ? N ,不等式 bn ? ?bn?1 恒成立,求实数 ? 的
?

取值范围.

闸北区 2015 学年度第一学期高三数学(理科)期末练习卷参考答案
一.填空题: 1、 3 ; 5、176; 二.选择题: 2、增函数;奇函数; 6、 96 ; 7、 5 ; 3、

3 ; 4

4、1 ; 9、① ②

8、 [?1,1] ;

10. A 11.D 12.B
三.解答题: 13. (本题满分 18 分,第(1)小题 8 分,第(2)小题 10 分) (1) 由定义得,A(cos ? ,sin ? ) ,B ? cos ? ? ?

? ?

? ?

??

? ?? ? ………………………………… ? ,sin ? ? ? ? ? , 3? 3 ?? ?

3分 依题意知 sin ? ?

??

?
3

3 ?? ? ? , ? ? ? , ? ,所以 2 ?4 2?

,……………………………………………3 分 所以点 B 的横坐标为

?? 2? 1 ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ,…………………………………………… 2 分 3? 3 2 ?
(2)

?? ? ? ?| OA |? 1,| OC |? sin ? ? ? ? , ?AOC ? ? ? ,……………………………………… 3? 2 ?
………… 2 分

?S ?

1 | OA || OC | sin ?AOC …………………………………………………………………… 2

…1分

1 ? ? ? ?? ?? 3 ? 1 ? ………………………………………… ? sin ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2 ? 3? ?2 3? 8 ? 4 ?
3分

?? ? ? , , ?4 2? ? ? ? ? 5? 4? ? ? ∴ ? 2? ? ? ? ? , ? ,……………………………………………………… 1 分 3? ? 6 3 ? ? ? 5? ? ?? ? ∴当 2? ? ? ,即 ? ? 时, sin ? 2? ? ? 取最大值 3 6 4 3? ? 1 ………………………………… 2 分 2, ∴ S 的最大值为 1? 3 ……………………………………………………………………………… 1 分 8 .
∵? ? ? 14. (本题满分 20 分,第(1)小题 10 分,第(2)小题 10 分) ( 1 ) 由 题 意 知 ,

y ? (4 ?

20 ) p ? x ? (10 ? 2 p) , …………………………………………………… 5 分 p 2 4 p ? 3? y ? 16 ? ?x 将 代 入 化 简 得 : x ?1 x ?1 ( 0 ? x ? a ). ……………………………… 5 分
2 )



4 ? 4 ? y ? 17 ? ? ? x ? 1? ? 17 ? 2 ? ( x ? 1) ? 13 …………………………………………… x ?1 ? x ?1 ?
…3分 当 且 仅 当

4 ? x ?1 x ?1





x ?1













号. ………………………………………………… 1 分 当 a ?1 时 , 促 销 费 用 投 入 1 大; ……………………………………………… 2 分 当

万 元 , 厂 家 的 利 润 最

a ?1



,

? 4 ? y ? 17 ? ? ? x ? 1? ? x ?1 ?



[0, a ]









增,……………………………………… 2 分 所以 x?a 时,函数有最大值,即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最 大. …………………… 1 分 综上,当 a ? 1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a ?1 时 , 促 销 费 用 投 入 a 万 元 时 , 厂 家 的 利 润 最 大. …………………………………… 1 分 15. (本题满分 20 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分,第 4 小题 3 分) 解: (1) A?

? 24 12 ? ,? ? (2 分) , B?3,?6? (1 分). 5? ? 5

? 6k 2 x ? ? ???? ? ??? ? 6k 2 6k 3 ? 1? k 2 k M , ) (2) OM ? AB ? ( ,则点 的参数方程为 ( 为参数), ? 3 1? k 2 1? k 2 ? y ? 6k ? 1? k 2 ? k 消 去 参 数 , 得 3 2 2 x ? xy ? 6 y ? 0 .……………………………………………………………6 分 ( 3 ) ① 关 于 轴 对 x
称; ……………………………………………………………………………1 分 将 方 程 中的 ( x, y) 换 成 ( x , ? y ) , 方 程的 形 式不 变 ,则 曲线 C 关于 x 轴 对 称. …………2 分 ② 曲 线 C 的 顶 点 为 0) ; …………………………………………………………………1 分



0



3 2 2 在方程 x ? xy ? 6 y ? 0 中, 令 y ? 0, 得 x ? 0 .则曲线 C 的顶点坐标为 (0, 0) …1

分 ③

0 ? x ? 6, y ? R ;

图 像 范 围 ……………………………………………………………1 分



y2 ?
0? x

. ………………………………………………………2 分 ?6 y , ?R 渐 近

x3 ?0 6? x





x?6 ( 4 ) 直 线 是 曲 线 C 的 线;…………………………………………………………………3 分 16. (本题满分 20 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分,第(3)小题 6 分) 解:(1)由题意可知, S n ? 2 n ?1 ? 2 .
当n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 n ,

?

?

??????????????2 分

式,

a n ? 2 n ?n ? N *? .
(2)解法一:

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 2 ? 2 也满足上 ?????????????????1 分 所以 ????????????????????????????1 分

1?1

由(1)可知 bn ?1 ? bn ? 2 n ?n ? N *? ,即 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? . 当 k ? 1 时, b2 ? b1 ? 2 ,???①
1

当 k ? 2 时, b3 ? b2 ? 2 2 ,所以 ? b3 ? b2 ? ?2 2 ,???② 当 k ? 3 时, b4 ? b3 ? 2 3 ,???③ 当 k ? 4 时, b5 ? b4 ? 2 4 ,所以 ? b5 ? b4 ? ?2 4 ,???④ ?? 当 k ? n ? 1 时( n 为偶数), bn ? bn ?1 ? 2 n ?1 ,所以 ? bn ? bn ?1 ? ?2 n ?1 ??? n ? 1 以上 n ? 1 个式子相加,得 bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1

2 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ?? 2 ?

?

n ?1

? ? 2?1 ? 2 ? ? 2
n ?1

n

3

3

?

2 . 3

又 b1 ? 0 , 所以,当 n 为偶数

2n 2 ? . ????????????????????????4 分 3 3 同理,当 n 为奇数 n ?1 2 1 ? ?? 2 ? 2 ? 2n 时, ? bn ? b1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ?1 ? , ? 1 ? ?? 2 ? 3 所以,当 n 为奇数 2n 2 时, bn ? ? .?????????????????????????4 分 3 3
时, bn ?

?

?

解法二: 猜测:当 n 为奇数时,

bn ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2

猜测:当 n 为偶数时,

1 ? ? 2 n ?1 ?1 ? (? ) n ?1 ? n 2 2 ? ??2 ? ? ? ? ? 22 ? 2 ? ? . ???2 分 1 3 3 1 ? (? ) 2

bn ? 2n?1 ? 2n?2

1 ? ? 2 n ?1 ?1 ? (? ) n ?1 ? n 2 2 ? ?? 2 ? . ???2 分 ? ? ? ? ? 22 ? 2 ? 1 3 3 1 ? (? ) 2

以下用数学归纳法证明: n ? 1 ,命题成立; 假设当 n ? k 时,命题成立: 当 n 为奇数时, bk ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 , 当 n ? k ? 1 时, n 为偶数,由 bk ?1 ? bk ? 2 k ?k ? N *? 得

bk ?1 ? 2k ? bk ? 2k ? 2k ?1 ? 2k ?2 ? ? ? ? ? 22 ? 2 , 故, n ? k ? 1 时,命题也成立。 同理,当 n 为偶数时,命题仍成
立。 ?????????????????????4 分

? 2n 2 ?n为偶数? ? ? ? 3 3 (3)由(2)可知 bn ? ? n ? 2 ? 2 ?n为奇数 ? ? 3 ? 3 2n 2 ? n b 3 3 ? 2 ?2 ? 1 ? ①当 n 为偶数时, n ? 3 , n ?1 n ?1 n ?1 bn ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3 bn 所以 随 n 的增大而减小, bn ?1 b 从而,当 n 为偶数时, n 的最大值是 bn ?1 b2 ? 1 .??????????????????????3 分 b3
②当 n 为奇数时,

bn bn ?1

2n 2 ? 2n ? 2 1 3 3 3 , ? n ?1 ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 ?2 2 2 ?2 ? 3 3

bn 随 n 的增大而增大, bn ?1 b 1 3 1 ? ? 1. 且 n ? ? n ?1 bn ?1 2 2 ? 2 2 b 综上, n 的最大值是 bn ?1
所以 1. ??????????????????????????????3 分 因此,若对于任意的 n ? N * ,不等式 bn ? ?bn ?1 恒成立,只需 ? ? 1 ,

故实数 ? 的取值范围是 ?1,?? ? .????????????????????????????2 分


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