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2014届杭二中2013期中高三数学理月考11月


杭州二中 2013 学年第一学期高三年级期中考试数学试卷
注意事项:考试时间:120 分钟;满分:150 分。本场考试不得使用计算器,请考生用水笔或钢笔将所 有试题的答案填写在答题纸上,答在试卷上的无效。 一.选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1. 设 a、 为向量,则“ b

? ? ? ? a ? b ? a b ”是“ a // b ”的(

) D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

1 2.在△ABC 中, a =3 2, b =2 3, cos C = ,则△ ABC 的面积为( 3 A.3 3 B.2 3 C.4 3 D. 3 )

3. 已知函数 f ( x) ? log 1 x ?1 ,则下列结论正确的是(
2

A. f ( ? ) ? f (0) ? f (3) C. f (3) ? f ( ? ) ? f (0)

1 2

B. f (0) ? f ( ? ) ? f (3) D. f (3) ? f (0) ? f ( ? ) )

1 2

? 2 个单位,得到函数 y ? 1? 2 sin x 的图象,则 f (x) 是( 4 2 sin x 2 cos x A. B. C. sin x D. cos x 4 ? 5.若 sin(? ? ? ) sin ? ? cos(? ? ? ) cos ? ? ,且 ? 为第二象限角,则 tan( ? ? ) ? ( ) 5 4 1 1 A. 7 B. C. ?7 D. ? 7 7
4.将函数 y ? f ?( x) sin x 的图象向左平移 6.若数列 ?an ?,?bn ? 的通项公式分别是 an ? ( ?1) 立,则实数 a 的取值范围是( A. ? -1, ? )
n ? 2012

1 2

1 2

a, bn ? 2 ?

( ?1)n ?2013 , 且 an ? bn 对任意 n ? N ? 恒成 n

? ?

1? 2?

B. ? -2, ?

? ?

1? 2?

C. ? -2, ?

? ?

3? 2?

D. ? -1, ?

? ?

3? 2?

7.设函数 f(x)=x2-23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)=( A.0 B.38 C. 56
3

) D.112 )

8.设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 D. x3 ? 2

9.已知 f ( x) ? loga ( x ? 1), g( x) ? 2loga (2 x ? t )(a ? 1) ,若 x ? [0,1), t ? [4,6) 时,

F x) ? g ( x) ? f ( x) 有最小值 4 ,则 a 的最小值为( (
A.1 B. 2 C.1 或 2


D. 2 或 4

1

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? 1 x 10.已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x ) ? ? ,则( f ( )( x ? 2) ? ? 2 2
A.在 [1,6) 上,方程 f ( x ) ? B.关于 x 的方程 f ( x ) ?

)

1 x ? 0 有 5 个零点 6

1 ? 0 ( n ? N ? )有 2n ? 4 个不同的零点 n 2
?

C.当 x ? [2n?1,2n ] ( n ? N )时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的面积为 4 D.对于实数 x ? [1, ??) ,不等式 xf ( x ) ? 6 恒成立

二.填空题(本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

4 ? ? ) ? , 则 cos 2? 的值是 . 2 5 ? ? ? ? ? ? 0 12.平面向量 a与b 的夹角为 60 , a ? (2,0), a ? 2b ? 2 3, 则 b ?
11.已知 cos( 13.函数 f ( x) ? sin? x ? 值为 .
2 2

?

.

? 则正数 ? 的 3 cos? x (x ? R ),又f ( )? ? 2, f ( )? 0,且 ? -? 的最小值等于 , ? ? 2
1 的最小值为 ab

14.已知正实数 a、 b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ? 15.记数列 ?an ? 的前 n 和为 s n , ? 若

.

? sn ? 则 ? 是公差为 d 的等差数列, ?an ? 为等差数列时, d 的值为 ? an ?

.

16.设实数 x1 、 x2 、 ? 、 xn 中的最大值为 max ?x1,x2, ,xn ? ,最小值 min?x1,x2, ,xn ? ,设 ? ?

?ABC 的三边长分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ,设 ?ABC 的倾斜度为

?a b c ? ?a b c ? . t ? max ? ,, ? ? min ? ,, ? ,设 a ? 2 ,则 t 的取值范围是 ?b c a ? ?b c a ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? 17.已知向量 ?、、 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? , ? 的最 ??
大值和最小值分别是 m n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是 、 三.解答题(本大题有 5 小题,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 已知集合 A= x x ? 3x ? 2 ? 0 ,集合 B= y y ? x ? 2 x ? a ,集合 C= x x ? ax ? 4 ? 0 .命题
2 2 2

??

.

?

?

?

?

?

?

p : A ? B ? ? ,命题 q : A ? C (Ⅰ)若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p ? q 为真命题,求实数 a 的取值范围.
19. (本题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中,点 P(ai , ai ?1 )(i ? 1,2,?, n) 在直线 y ? 2 x ? k 上,数列 ?bn ? 满足条件:
2

(Ⅰ)求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? bn log 2

b1 ? 2, bn ? an?1 ? an (n ? N ? ).
1 , sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 求 2n?1 ? sn ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最小值. bn

20.(本题满分 14 分)

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? , x ? R . 2 2 ? 5? ] 时,求函数 f (x) 的最小值和最大值 (Ⅰ)当 x ? [ ? , 12 12 (Ⅱ)设△ABC 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 ,若 sin B ? 2 sin A ,求 a, b 的值.
已知函数 f ( x) ? 21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? ln

x (0 ? x ? 2) . 2? x

(Ⅰ)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数

y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S2013 ; n

(Ⅲ)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2an ? (an )m ? 1 对 ?n ? N* ,且 n ? 2 恒成立,求实 数 m 的取值范围. 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ,若 y ? 若y?

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“一阶比增函数”; x

f ( x) 在 (0, ?? ) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 x2
[来源:Z_xx_k.Com]

集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 .

(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x3 ? 2hx 2 ? hx ,若 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围; (Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d ? (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b

c

a?b?c
来源:学+科+网]

[

d

t

4

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k , 请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求出 M 的 最小值;若不存在,说明理由.
3

?

?

杭州二中 2013 学年第一学期高三年年级期中考试数学答案
一、选择题

1 C
二、填空题 7 11. ? 25 15.1 或
1 2

2 C

3 C

4 B

5 B

6 C

7 D

8 C

9 B

10 D

12.1 16. [1,
5 ?1 ) 2

13.1
1 2

14.

17 2

17.

三、解答题
18. 解; ,

? y ? x 2 ? 2 x ? a ? ( x ? 1)2 ? a ? 1 ? a ? 1,? B ? ? y y ? a ? 1?

, A ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ? x 1 ? x ? 2
2

?

? ?

?

C ? x x 2 ? ax ? 4 ? 0

?

?

(Ⅰ)由命题 p 是假命题,可得 A ? B=? ,即得 a ? 1 ? 2,? a ? 3 . (Ⅱ)? p ? q 为真命题,? p、 q 都为真命题, 即 A ? B ? ?, A ? C 且

? a ?1 ? 2 ? ?有 ? 1 ? a ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 . ? 4 ? 2a ? 4 ? 0 ?

19.解: (Ⅰ)依题意

an?1 ? 2an ? k ,?bn ? 2an ? k ? an ? an ? k

?bn?1 ? an?1 ? k ? 2an ? k ? k ? 2(an ? k ) ? 2bn b 又? b1 ? 2, 而 n ?1 ? 2 ,? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. bn
即得 bn ? 2? n?1 ? 2n ,为数列 ?bn ? 的通项公式. -------6 分 2 (Ⅱ)由 cn ? bn log 2

1 1 ? 2n ? log2 n ? ?n ? 2n. bn 2

?sn ? ?(c1 ? c2 ? ?? cn ) ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n ??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ?? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
上两式相减得

sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 n ?1 n ?1 n?1 由 2 ? sn ? 60n ? 2 ,即得 n ? 2 ? 60n,?2 ? 60 ,
n?1 5 n?1 6 又当 n ? 4 时, 2 ? 2 ? 32 ? 60 ,当 n ? 5 时, 2 ? 2 ? 64 ? 60.

故使 2

n?1

? sn ? 60n ? 2 成立的正整数的最小值为 5. -------14 分
4

20.解: (Ⅰ) f ( x) ?
由 x ? [?

? 3 1 3 1+cos 2 x 1 sin 2 x ? cos2 x ? ? sin2 x ? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 2 2 2 2 2
] ,? 2 x ?

? 5?
12 12 ,

?
6

? [?

? 2?
3 , 3

]

? f ( x ) 的最小值为 ? 1 ? 3 , 最大值0. -------7 分
2

(Ⅱ)由 f (C ) ? 0 即得 f (C ) ? sin(2C ? 则 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,而又 C ? (0, ? ) , ?

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

),? 2C ?

?

?
2

6

,? C ?

?
3

,则由

b ? 2a b ? 2a ? ? 即? ? 2 2 2 2 2 ?c ? a ? b ? 2ab cos C ?3 ? a ? b ? ab
解得 a ? 1, b ? 2 . ----------14 分

21. 假设存在点 M (a, b) , (1) 使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x)
的图像上,则函数 y ? f ( x) 图像的对称中心为 M (a, b) . 由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 即 2 ? 2b ? ln

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x

?2 ? 2b ? 0, ?a ? 1, ? x 2 ? 2ax 解得 ? ? 0 对 ?x ? (0, 2) 恒成立,所以 ? 2 ? x ? 2ax ? 4 ? 4a ?4 ? 4a ? 0, ?b ? 1.

所以存在点 M (1,1) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y ? f ( x) 的图 像上. -------5 分 (Ⅱ)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2(0 ? x ? 2) .

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ???, 2n ? 1) . n n n 1 2 2 1 因为 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ①, n n n n 1 2 2 1 所以 S n ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ??? ? f ( ) ? f ( ) ②, n n n n
令x? 由①+②得 2Sn ? 2(2n ?1) ,所以 Sn ? 2n ?1(n ?N* ) . 所以 S2013 ? 2 ? 2013 ?1 ? 4025 .-------10 分

Sn ? 1 ? n( n ? N* ) . 2 n m a m n m * ?? 因为当 n ? N 且 n ? 2 时, 2 n ? ( an ) ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? . ln n ln 2
(Ⅲ)由(2)得 Sn ? 2n ?1(n ?N* ) ,所以 an ?
5

所以当 n ? N* 且 n ? 2 时,不等式

m n m ? n ? ?? 恒成立 ? ? . ? ?? ln n ln 2 ln 2 ? ln n ?min

设 g ( x) ?

ln x ? 1 x ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? . ln x (ln x)2

当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ??) 上单调递增. 因为 g (2) ? g (3) ?

2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3

3 . ln 3 m 3 m 3ln 2 ?? 由 ? g ( n) ?min ? ? ,得 ,解得 m ? ? . ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3ln 2 , ??) .-------15 分 所以实数 m 的取值范围是 ( ? ln 3
所以当 n ? N* 且 n ? 2 时, ? g (n) ?min ? g (3) ? 22. 解 : ( Ⅰ ) ? f ( x) ??1, 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x ) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 上 是 增 函 数 , x

? h ? 0 ?? 2 分 f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h ' ( x ) ? 1 ? 2 , 当 h( x ) 是增函数时 h ? 0 ,? 而 h( x ) ? 2 x x x
h( x ) 不是增函数时, h ? 0 ,综上 h ? 0
?? 4 分.

(Ⅱ) ? f ( x) ??1, 且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c ,则

f (a ) f (a ? b ? c) 4 ? ? , a a?b?c a?b?c 4a 4b 4c ? f (a ) ? d ? , f (c) ? t ? ,同理 f (b) ? d ? ,则有 a?b?c a?b?c a?b?c 4( a ? b ? c) d d d (b ? a ) f ( a ) ? f ( b) ? f ( c ) ? 2d ? t ? ? 4 ,? 2d ? t ? 4 ? 0 ,又? ? ,? ? 0, a?b?c a b ab
而 b ? a ? 0 ? d ? 0 ,? d ? 0 ,? d (2d ? t ? 4) ? 0 ??8 分.

(Ⅲ)? ? ? ? f ( x ) f ( x ) ? ? 2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??), f ( x ) ? k ?

? 对任意 f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k ,对 x ? (0, ??) 成立.先证明 f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成
立,假设存在 x0 ? (0, ??) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,记

f ( x0 ) ? m ? 0. x0 2

? f ( x ) 是二阶比增函数,即

f ( x) f ( x ) f ( x0 ) ? m ,? f ( x) ? mx 2 , 是增函数,? x ? x0 时, 2 ? 2 x x x02

?一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k ,这与对 x ? (0, ??) , f ( x ) ? k 矛盾.??11 分
6

? f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立. 即任意 f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立.
下面证明 f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解:假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,一定存在 x 3 ? x2 ? 0 ,

f ( x3 ) f ( x2 ) ? ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾,? f ( x ) ? 0 在 x ? (0, ??) 上无解. x3 x2
综上,对任意 f ( x) ? ? , f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,存在 M ? 0, 使x ? (0, ??) ,任意 f ( x) ? ? , 有 f ( x ) ? M 成立,? M min ? 0 . ??15 .

7


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