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《高数B》练习册(下)答案与提示2016 -2017 -


参考答案与提示

参考答案与提示 第7章 向量代数与空间解析几何
§7.1 空间直角坐标系
1. (1)b=c=0; c=0; a ? 0, b ? 0, c ? 0 . (2)

? y2 ? z2 ? 1 的双曲柱面; ? ? x?0

§7.3 空间曲线及其在坐标面上的投影
2 y2 1. x ? ?1 16 8

? x 2 ? y 2 ? (1 ? x)2 ? 9 ? z 2 ? 2x ? 36 ? 0 2. (1) ? (2) ? ? z?0 ? y?0

a2 ? b2 ? c2 ; a2 ? b2 ; c .

3. x2 ? y 2 ? 2, z ? 0

(3) (a,0,0) ; (0, b, c) 2. (0,1,?2)

§7.4 二次曲面
1. (x ? 2 )2 ? ( y ? 1)2 ? (z ? 4 )2 ? 116 3 3 9

§7.2 柱面与旋转曲面
1.绕 x 轴: 4x2 ? 9( y 2 ? z 2 ) ? 36 是一个双叶双曲面 绕 y 轴: 4(x2 ? z 2 ) ? 9 y 2 ? 36 是一个单叶双曲面 2(1)表示母线平行于 z 轴,准线为 xoy 平面上的椭圆
? 4x ? y ? 1 的椭圆柱面; ? ? z?0 (2) 表 示 母 线 平 行 于 x 轴 , 准 线 为 yoz 平 面 上 的 双 曲 线
2 2

表示的是以(- 2 ,-1,- 4 )为球心,以 2 29 为半径的球面 3 3 3

2.(1)表示椭球面; (3)表示双叶双曲面; (5)表示圆锥面.

(2)表示单叶双曲面; (4)表示椭圆抛物面;

§7.5 向量及其线性运算
1. (0,2,1); 0; 2 j
1

参考答案与提示

2.向量与 x 轴、y 轴垂直,即垂直于 xOy 面或 平行于 z 轴. 3. M 1 M 2 ? 2 ,

(3) d ? 1

y ?1 z ? 3 (4) x ? 4 ? ? 2 1 5

2.(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。
? x ? 9t ? y ?1 z ? 4 x 3.对称式: ? ,参数式: ? y ? 7t ? 1 ? 9 7 10 ? z ? 10t ? 4 ?

1 2 1 cos? ? ? , cos? ? ? , cos? ? ; 2 2 2
2 3 ? 1 2 1 0 ? ? ? , ? ? ? , ? ? , M 1M 2 ? ( ? ,? , ) 3 4 3 2 2 2

4. 交点为(0, ?1,1), 夹角为 ? ? arcsin 15 19
x ? y?2 ? z?4 ?2 3 1 6. 16x ? 14 y ? 11z ? 65 ? 0

5.

§7.6 数量积、向量积
1.(1) 正确 (6) 错误 2. C 3. (1) 4. 10 5. ?
?1

(2) 错误

(3)正确

(4)

错误

(5) 正确

7. 7 x ? 14y ? 24 ? 0

(2) ? 3 2

总习题七
1.(1)D (2) B (3) C (4) B (5) D (6) D

1 (3,?2,?2) 17

3 2.(1) ? 6 , (2) ? ,(3) (1,0,?1) , (4) d ? 3 6 , (5) y ? 2 , 4 2 1 2 24 x ?1 y ? 2 z ? 3 ? ? (6) (? ,? , ) , (7) , 7 7 7 3 4 ?3
? (8)1, (9) x2 ? y 2 ? 4z ; x2 ? y 2 ? z ? 5 ; ? ? x2 ? y 2 ? 4 z?0

6.

1106 2

§7.7 平面与直线
1.(1) 3x ? 7 y ? 5z ? 4 ? 0 (2) 交点坐标为(1, ?1,3)
2

3. ? 30 4.
d?3 2 2

参考答案与提示

5. l:  ? x ?1 ?

0

y ?1 z ?1 ? 1 1

4.(1)

?r x ?r y ?r z ? , ? , ? , ?x r ?y r ?z r

6. x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1 (2)

? 2r r 2 ? x 2 ? 2r r 2 ? y 2 ? 2r r 2 ? z 2 ? , 2 ? , 2 ? ?x 2 r3 ?y r3 ?z r3

第 8 章 多元函数微分学
1. (1) 2dx

§8.3 全微分及其应用
(2) 0.25e

§8.1 多元函数的基本概念
1、 (1) {( x, y) x ? y ? 1 } (2) {( x, y, z) x2 ? y 2 ? z 2 , x2 ? y 2 ? 0} (3) ?

2. (1) dz ? cos(xy)( ydx ? xdy) (2) du ? y xz ?1 ( yz ln ydx ? xzdy ? xy ln ydz)

1 4

(4) 连续

§8.4 多元复合函数求导法
1、(1) 24t 3 ? 3t 2 ? 2t (2) 2 x? ? ? 1

2、提示: 令y ? kx

§8.2 偏导数
1.(1) ? 1 ; (2)

?e

2、(1) u x ? f1? ? yf 2? ? yzf 3? ,
2 ? ? ?? (2) z? xx ? 2 f ? 4 x f ,

2

u y ? xf 2? ? xzf 3? ,

u z ? xyf 3? ;

?z 2 2 x ?z 2x 2x ? csc , ? ? 2 csc ; 2. (1) ?x y y ?y y y
(2) z x ? (1 ? xy ) y

? ?? z? xy ? 4 xyf

xy y2 ] , z y ? (1 ? xy ) y [ln(1 ? xy ) ? 1 ? xy 1 ? xy

?2 z 1 x ?? ? 3 f 22 ?? (3) ? f1? ? 2 f 2? ? xyf11 ?x?y y y

?2 z 2 xy 3. , ? 2 2 ?x ( x ? y 2 )2 ?2 z 2 xy ?? 2 2 ?y ( x ? y 2 )2

?2 z y 2 ? x2 , ? ?x?y ( x 2 ? y 2 )2
1、

§8.5 隐函数的求导公式
x? y x? y
2、 ?

sin 2 x , sin 2 z

?

sin 2 y sin 2 z

3

参考答案与提示

3、 4、

z ( z ? 2 xyz ? x y ) ( z 2 ? xy ) 3
4 2 2 2

dz ?

zF1?dx ? zF2?dy xF1? ? yF2?

?u ?u ?u ? ? (?r sin ? ) ? ? r cos? ?? ?x ?y
5、 ? 2e? x 6.
2

y2

§8.6 多元函数的极值及其应用
1、极小值 f ( ,?1) ? ?

1 2

e 2

?z z ?z z2 ?2 z z2 , ? , ? ?? ?x x ? z ?y xy ? yz ?x 2 ( x ? z )3 ?z 2 xy ? y? ?z 2 y 3 ? xz? ? ? , ? ?x x? ? ?y xy? ?
lim f ( x, y ) ? f (0,0) ? f x (0,0) x ? f y (0,0) y x2 ? y2 ?0

2. m ? f (4,2) ? ?64, M ? f (2,1) ? 4 3.两直角边边长为 4. x ? 90, y ? 140

7.

1 l 时,周长最大. 2

8. 提示:

( x , y )?( 0, 0 )

总习题八
1、(1) {( x, y) 0 ? x ? y ? 1 }
2 2

(2) 1

10.

8abc 3 3

(3)

3 ? 12t 2 1 ? (3t ? 4t 3 ) 2
2

(4) e (dx ? dy)
2

(5) y ? x 2、(1) B (2) C

(6) 既非充分也非必要,充分,必要 (3) A
2 xy

1 1 1 2 6, 2 2 2 3 1 1 1 4 6 最远点 ( ? ,? , ) ,距离为 2 2 2 3
11. 最近点 ( , ,? ) ,距离为
xy

(4) D
2

(5) B
2 xy

?? ? x ye (2 f12 ?? ? e f 22 ?? ) 3、 2 xf1? ? (2 x ? x y)e f 2? ? x yf11
4.

12. .(1) x1 ? 0.75, x2 ? 1.25 (2) x1 ? 0, x2 ? 1.5

?u ?u ?u ? cos? ? sin ? , ?r ?x ?y

4

参考答案与提示

第 9 章 二重积分
§9.1 二重积分的概念与性质
1、 I1 ? 4I 2 2、
2 ?? ln ( x ? y)d? ? ??[ln( x ? y)] d? D D

4、(1)

?2 6

(2) ?R 3

(3)原积分当 p ? 1 时收敛,收敛到 5、 6?

? ; p ? 1 时发散 p ?1

总习题九
1、(1)

3、(1) 2 ? I ? 8

(2) 36? ? I ? 100?

2 ? 3
0 ?1

(2) 0
1? y 2 ? 1? y
2

§9.2 二重积分的计算
1、(1)

(3)

?

dy ?

f ( x, y )dx ? ? dy ?
0

1

1? y ? 1? y

f ( x, y )dx

?

4 0

dx ?
e ey

2 x x

f ( x, y )dy 或

?
1 ?1

4 0

dy ?

y y2 4

f ( x, y )dx
(4)

?

1 ?1

dy ?

1 ( y ?1) 2 1 ( y ?1) 2

f ( x, y)dx

(2)

?
8 3

1 0

dy ?

f ( x, y)dx ,
(2) ? 2

?

dx?
(3)

1? x 2 0

f ( x, y )dy
(4)

(5)

?

1 0

dx?

x 1? 1? x 2

f ( x, y)dy
(2) B (3) D
? 1 2

2、(1) 3、(1) (2) (3)

9 4

1 2

2、(1) A 3、(1) ?

?

2? 0

d? ? f (r )rdr
0

1

3 ? 2 ?

(2) e

(3)

?
4

R 4 ? 9?R 2

? ?

?
2 0

d? ? f (r 2 )rdr
0

2

(4)

? ln 2
2

?
4
(8)

(5)

?2
8

?

?
4
(9) ?

(6) 80?

?
2 0

d? ?

2 R sin ? 0

f (r cos? , r sin ? )rdr
(7)

? ?1 2

49 20

?
2

5

参考答案与提示

4、(1)

3 1 e? e 8 2

(2)

3 ? 3
7. ? [ f (1) ? f (0)]

§10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用
1、(1) Pe ? 3

4 5. 3

16 64 ?? 6. 3 9

a b

3 3 ?3bkt 3 (2) P(t ) ? [ P ] e ? (1 ? P e )e

1

8、提示:将积分变量 x 换成 y,两个定积分的积化成二重积分。 9、提示:定积分换元后交换积分次序

(3) lim P(t ) ? Pe
t ? ??

2、 lim x(t ) ? N ,表明,在题目给出的条件下,最终每个人都

第 10 章

微分方程与差分方程

t ? ??

要染上传染病. 3. y (t ) ?

1000 1? 9?3
? t 3

, t ? 6时, y ? 500.

§10.1 微分方程的基本概念
2. x( p) ? px?( p) ? 0

§10.4 可降阶的二阶微分方程
1. (1) y ?

§10.2 一阶微分方程
1、(1) e ?
y

1 3 x ? sin x ? C1 x ? C2 6
?x

1 2x (e ? 1)) 2

(2) y ?
4

Cx 4? x

(2) y ? C1 ( x ? e ) ? C2 2.(1) y ? 1 ?

(3) y ? xeCx (5) y ? x ? 1 ? x 2 2、 f ( x ) ? 1 ? e
? cos x

(4) y ? e? x ( x ? C) (6) x ?

1 x

(2) y ? ?

1 ln( ax ? 1) a

1 2 y ? Cy 3 2
1、(1) B

§10.5 二阶常系数线性微分方程
(2) C
2

2、 y ? (C1 ? C2 x)ex

3.(1) y ? C1e 3 x ? C2 e ?3 x
6

参考答案与提示

(2) y ? (C1 ? C2 x)e2 x (3) y ? e 4. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
?
1 ? x 2

2.(1)6 阶

(2)1 阶

(C1 cos

3 3 x ? C 2 sin x) 2 2
2x

§10.7 一阶常系数线性差分方程
1.(1) C (2) C (?1) x (3) y x ? (? )
x

y ? (ax ? b)e

3 2

x

y ? ? x(ax2 ? bx ? c)

2 (1) yx ? 2 ? 3x

(2) y x ? 5 ?

y ? ? axex
y ? x 2 (ax ? b)e x
?

3 4

(3) yt ? C ? (t ? 2) ? 2t (4) y x ? C (?4) ? x(?4) (? x ? )
x x

y ? ? xe 4 x [(ax ? b) cos 2x ? (cx ? d ) sin 2x]
y ? ? aex ? (bx ? c) cos x ? (dx ? e) sin x
4x

1 8

1 8

5.(1) y ? C1 ? C 2 e

1 ? e ?2 x 12

§10.8 二阶常系数线性差分方程
1.(1) yx ? (C1 ? C2 x)(?5) x (2) yx ? 2(?3) x ? 2x (3) y x ? 4 (cos
x

(2) y ? e ? x ( x ? sin x)

§10.6 差分与差分方程的概念、 常系数线性差分方程解的结构
1.(1) ?yx ? 6x ? 4x ? 1 , ? yx ? 12x ? 10
2 2

?
3

x ? sin 1 2
x

?
3

x)

(4) y x ? (C1 ? C2 x)( ) ? 8 (5) y x ? C1 ? C2 (?4) ? x(
x

(2) ?y x ? 2 ? ( )
x

1 2

x ?1

, ? yx ? 2 ? ( )
2 x

1 2

x?2

1 7 x? ) 10 50

总习题十
x

(3) ?yx ? (2 x ? 3) ? 3 , ? yx ? (4x ? 12) ? 3
x 2

1.(1) y ? Ce
7

tan x

参考答案与提示

(2) (1 ? x 2 )(1 ? 2 y) ? C (3) y ? xy? (4) y?? ? 2 y? ? y ? 0 (5) y ? e? x (C1 cos3x ? C2 sin 3x) (6)

(10) y ? e

1 ? x 2

(C1 cos

3 3 3 x ? C 2 sin x) ? cos 2 x 2 2 26 1 1 ? sin 2 x ? 13 2

4.(1) yx ? 1 ? 4x (2) y x ? C (?2) ?
x

5 2 10 5 x ? x? 3 9 27

y ? ? x(ax2 ? bx ? c)e x
(2)C (3)C

(3) yx ? C ? x( x ? 2) ? 3x 5. f ( x) ? ?2e x
y sin( ) x

2.(1)B

3.(1) y ? 1 ? 2 ln (3) y ?

1? ex 1? e

(2) x ? Ce

6. y ? 1 ? 4 x ln x ? x

1 1 1 ? ? 2 (4) y ? arcsin x 2 x 2x 1 (5) y ? (6) y ? cos(C1 ? x) ? C2 1? x
(7) 当?2 ? 1 时, y ? (C1 ? C2 x)e ??x

1 3 2 2 1 x ? x ? 3 3 3 1 1 8. f ( x) ? sin x ? x cos x 2 2 1 9. f ( r ) ? 2 ? r
7. y ?

当?2 ? 1时, y ? C1e ( ?? ?

?2 ?1 ) x

? C 2 e ( ?? ?

?2 ?1 ) x

当?2 ? 1时, y ? e ??x (C1 cos 1 ? ?2 x ? C2 sin 1 ? ?2 x)
(8) y ? ( ?

3 4

3 1 1 x ? x 2 )e x ? e ? x 2 2 4

(9) y ? 2 xe sin x
x

8

参考答案与提示

(4) p ? 1 ,绝对收敛; p ? 1 条件收敛

(5)条件收敛

第 11 章

无穷级数
1.(1)A (2)C

§11.4 泰勒级数与幂级数
(3)D (2) [?3,3) (4)A (3) [?2,0) (4) [ ?1,1] 2(1) (?? ,?? )

§11.1 常数项级数的概念与性质
1 3 1 5 1 7 1.(1) x ? x ? x ? x ? ? ? ? 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 (2) x ? x ? x ? x ? ? ? ? 2 3 4 1 n ?1 1 2(1) n (2) ( ?1) n 2
3(1)发散 4(1)收敛 (2) 收敛 (2)发散 (3) 收敛

3(1)

2x , x ? (?1,1) (1 ? x 2 ) 2

(2)

1 1 1? x arctan x ? ln ? x, x ? (?1,1) 2 4 1? x

4(1)

? (?1)n
n ?0 ?

?

x 2 n ?1 , ? ? ? x ? ?? (2n ? 1)!22 n ?1

§11.2 正项级数及其审敛法
1.(1)

q ? 1,

a , q ?1 1? q

(2) (2) p ? 1 , p ? 1

x 2 n ?1 , ? ? ? x ? ?? ? n ? 0 (2n ? 1)!

2(1)发散
3(1)收敛 4(1)发散

(2)收敛

(3)收敛

(4)收敛
(3)收敛 (3)收敛

(5)发散

(3) x ?
?

? (?1)n
n?2
n

?

xn , ?1 ? x ? 1 (n ? 1)n
n

(2)收敛 (2)收敛

(4)

? (?1) (n ? 1) x
n ?0

, ?1 ? x ? 1

§11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛
1.(1)条件收敛 (2)绝对收敛 (3)绝对收敛
9

1 (?1)n n (5) f ( x) ? ?[? ? ]x , 3 ? 2n ?1 3 n ?0
?

?1 ? x ? 1

参考答案与提示

5.

?(
n ?0

?

1 1 ? n ?1 )(x ? 4) n , n ?1 2 3

? 6 ? x ? ?2

(2)

(?1)n ?1 2n ? 1 n x , ? n n ?1
?

?

1 1 ?x? 2 2

总习题十一
1.(1)

(3) (3)DFI 7.

?

2 ,收敛,2 n(n ? 1)

1 1 x 2 n ?1 ? x ? x3 ? x5 ? ? ? ? ? (?1) n ? ???, ?1 ? x ? 1 4 3 5 2n ? 1
n

(2) ? 3

(4)8 (5)2 (6) 2e 2 (1) A (2) C (3) C (4) B (5) C 3 (1)发散 (2)收敛 (3)收敛 (4) 发散 (5) a ? 0且a ? 1时 ,级数收敛; a ? 1时 ,级数发散. (6)当 0< a <1 时级数收敛; 当 a >1 时级数发散; 当 a =1 时,s > 1 级数收敛,0< s ≤1 级数发散. 4(1)绝对收敛 (2)条件收敛 (3)条件收敛 (4)发散 (5) a ? 1时 ,级数绝对收敛; a ? 1时 ,级数条件收敛; 当 0< a <1 时级数发散. (6)条件收敛 5 (1)

? (?1) ( 2
n ?0

?

1
n?2

?

1 2
2n ?3

)(x ? 1)n ,

?1 ? x ? 3

8.提示:利用不等式 0 ?

1 2 1 ? (an ? 2 ) n ?? n2 ? ? 2

an

9. 提示:利用不等式 0 ? bn ? an ? cn ? an

1 x (e ? e ? x ) , ? ? ? x ? ?? 2 5 x 3 ?x 11. s ( x) ? e ? e 2 2 1 ? n ?1 ( ) 12. (1) an ? n ?1 4
10. (2) y ( x) ? (2)

2x 2 ? ln(1 ? x 2 ) , x ? (?1,1) 1? x2

?a
n ?0

?

n

? ? ln(1 ? ) 4

?

(2)

2x , x ? (?1,1) (1 ? x)3

6 (1) 1 ?

? (?1)n
n ?1

?

( 2 x) 2 n , 2(2n)!

? ? ? x ? ??
10


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