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2014届高考数学一轮复习讲义:6[1].1


一轮复习讲义

数列的概念与简单表示法

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要点梳理
1.数列的定义 数列的 项 . 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 按项与项间的 大小关系分类 按其他标 准分类

忆一忆知识要点

按照 一定次序 排列的一列数称为数列,数列中的每个数叫做这个
<

br />类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列

满足条件 项数有限 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M an 的符号正负相间,如 1, -1,1,-1,? 其中 n∈N*

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要点梳理
3.数列的表示法

忆一忆知识要点

数列有三种表示法,它们分别是列表法 、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个公 式 an=f(n)来表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式. ? S1 ?n=1? ? 5.已知 Sn,则 an=? . ? Sn-Sn-1 ?n≥2? ?

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[难点正本

疑点清源]

1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构 成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关, 这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数 相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列. (2)数列中的数可以重复出现, 而集合中的元素不能重复出现. (3)数列的项与项数:数列的项与项数是两个不同的概念,数 列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应 的位置序号.

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2.数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2, 3,?,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数 解析式,即 f(n)=an (n∈N*).

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由数列的前几项归纳数 列的通项公式
例1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,?; (2)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,?; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ,1, , ,?; 2 10 17 (5)0,1,0,1,?.
先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与 项数之间的关系,项与前后项之间的关系.

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(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n

+1

表示,其各项的绝对值

的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故 通项公式为 an=(-1)n(6n-5).

(2)将数列变形为 8 8 8 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),?, 9 9 9 1 ? 8? ∴an= ?1-10n?. 9? ?
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分子分别 2-3 21-3 比分母少 3.因此把第 1 项变为- ,原数列可化为- 1 , 2 2 22-3 23-3 24-3 ,- 3 , 4 ,?, 22 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

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3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号 2 5 10 17 的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn =2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16,?即数列{n2},可得分母的通项 公式为 cn=n2+1, 2n+1 因此可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1
?n为奇数? ?n为偶数? 1+?-1?n 1+cos nπ 或 an= 或 an= . 2 2
?0 ? (5)an=? ?1 ?

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探究提高
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析, 抓住以下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳 得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号 变化, 可用(-1)n 或(-1)n+1 来调整.

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变式训练 1
写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,?; 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333,?.
解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1.

(2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 21,22,23,24,?,所 2n-1 以 an= n . 2

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(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n;各项 绝对值的分母组成数列 1,2,3,4, ?; 而各项绝对值的分子组成的 数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 2+?-1?n 所以 an=(-1)n· n . ? 1 ?-n ?n为正奇数? 也可写为 an=? . 3 ? ?n为正偶数? ?n 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 , , , ,?,分母都是 3,而分 3 3 3 3
子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?, 1 n 所以 an= (10 -1). 3

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已知数列的递推公式求通 项公式
例 2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1 (n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an.

(1)可用构造等比数列法求解.(2)可转化后利用累乘法求解. (3)可利用累加法求解.

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解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1 又 a1+1=2,∴an+1=2·n 1, 3 ∴an=2·n 1-1. 3
n-1 (2)∵an= n an-1 (n≥2), n-2 1 ∴an-1= a ,?,a2= a1. 2 n-1 n-2 以上(n-1)个式子相乘得 n-1 a1 1 12 an=a1··· n = n =n. ?· 23
- -

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(3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1 (n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 n?3n+1? = (n≥2). 2 1 当 n=1 时,a1= ×(3×1+1)=2 符合公式, 2 3 2 n ∴an= n + . 2 2

探究提高
已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构 造法求解. 当出现 an=an-1+m 时, 构造等差数列; 当出现 an=xan-1+y 时, 构造等比数列;当出现 an=an-1+f(n)时,用累加法求解;当出 an 现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1

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变式训练 2
根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)在数列{an}中,an+1=3a2 ,a1=3; n an (2)在数列{an}中,a1=1,an+1= ; 2an+1 (3)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1; (4)在数列{an}中,a1=8,a2=2,且满足 an+2-4an+1+3an=0. 解 (1)由已知 an>0,在递推关系式两边取对数.
有 lg an+1=2lg an+lg 3, 令 bn=lg an,则 bn+1=2bn+lg 3, ∴bn+1+lg 3=2(bn+lg 3),∴{bn+lg 3}是等比数列, ∴bn+lg 3=2n-1· 3=2nlg 3, 2lg

∴bn=2nlg 3-lg 3=(2n-1)lg 3=lg an, 2n ? a n ? 3 ? 1. 主页

an 1 1 (2)将 an+1= 取倒数得: =2+a , 2an+1 an+1 n 1 1 1 ∴ -a =2,又 =1, a1 an+1 n
?1? ? ? ∴?a ?是以 ? ? ? n?

1 为首项,公差为 2 的等差数列.

1 1 ∴a =1+2(n-1),∴an= . 2n-1 n
(3)由 an+1=4an-3n+1,得 an+1-(n+1)=4(an-n), 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且公比为 4 的等比数 列,∴an-n=(a1-1)4n-1,∴an=4n-1+n. (4)将 an+2-4an+1+3an=0 变形为 an+2-an+1=3(an+1-an),

则数列{an+1-an}是以 a2-a1=-6 为首项,3 为公比的等比数列, 则 an+1-an=-6·n 1,利用累加法可得 an=11-3n. 3


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由an与Sn的关系求通项an
例 3 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1, 6Sn 且 =(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式.

当 n=1 时,由 a1=S1,求 a1; 当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1 消去 Sn,得 an+1 与 an 的关系.转化 成由递推关系求通项. 1 解 由 a1=S1= (a1+1)(a1+2), 6
解得 a1=1 或 a1=2,由已知 a1=S1>1,因此 a1=2.

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又由 an+1=Sn+1-Sn 1 1 = (an+1+1)(an+1+2)- (an+1)(an+2), 6 6 得 an+1-an-3=0 或 an+1=-an.

因为 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去. 因此 an+1-an-3=0. 即 an+1-an=3,从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故 {an}的通项为 an=3n-1.

探究提高
(1)已知{an}的前 n 项和 Sn,求 an 时应注意以下三点: ①应重视分类讨论的应用,分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论;特 别注意 an=Sn-Sn-1 中需 n≥2.

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探究提高
②由 Sn-Sn-1=an 推得的 an,当 n=1 时,a1 也适合“an 式”, 则需统一“合写”. ③由 Sn-Sn-1=an 推得的 an,当 n=1 时,a1 不适合“an 式”, 则 数 列 的 通 项 公 式 应 分 段 表 示 (“ 分 写 ”) , 即 an = ?S ?n=1?, ? 1 ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?. ? (2)利用 Sn 与 an 的关系求通项是一个重要内容,应注意 Sn 与 an 间关系的灵活运用.

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变式训练 3
Sn 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an= n +2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表 达式; S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ n -(n-1)2= 2 3 2 013?若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由. Sn 解 (1)由 an= n +2(n-1),
得 Sn=nan-2n(n-1) (n∈N*). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即 an-an-1=4,∴数列{an}是以 a1=1 为首项,4 为公差的等差 数列.

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?a1+an?n 于是,an=4n-3,Sn= =2n2-n (n∈N*). 2 Sn (2)由 Sn=nan-2n(n-1),得 n =2n-1 (n∈N*), S2 S3 Sn ∴S1+ + +?+ n -(n-1)2=1+3+5+7+?+(2n-1)-(n 2 3
-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令 2n-1=2 013,得 n=1 007, 即存在满足条件的自然数 n=1 007.

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思想与方法
用函数的思想方法解决数列问题
(14 分)已知数列{an}. (1)若 an=n2-5n+4 ①数列中有多少项是负数? ②n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. (2)若 an=n2+kn+4 且对于 n∈N*,都有 an+1>an 成立.求实数 k 的取值范围.

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审题视角
(1)求使 an<0 的 n 值;从二次函数看 an 的最小值.(2)数列 是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式 f(n)= n2+kn+4.f(n)在 N*上单调递增,但自变量不连续.从二 次函数的对称轴研究单调性.

规范解答 解 (1)①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. [4 分] ∵n∈N*,∴n=2,3. ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3.

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②∵an=n

2

? 5 ?2 9 -5n+4=?n-2? - 的对称轴方程为 4 ? ?

5 n= . 2

又 n∈N*, ∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3= -2. [8 分]

(2)由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公 式 an=n2+kn+4,可以看作是关于 n 的二次函数,考 k 3 * 虑到 n∈N ,所以- < ,即得 k>-3. [14 分] 2 2

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批阅笔记

(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N* 上的二次函数,因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调 性,得到实数 k 的取值范围,使问题得到解决. (2)在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对 称轴位置的选取. (3)易错分析:本题易错答案为 k>-2.原因是忽略了数列作为函 数的特殊性,即自变量是正整数.

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方法与技巧
1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(- 1)n 或(-1)n 1 来区分奇偶项的符号); 已知数列中的递推关系, 一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、猜想和 转化的方法. 2.强调 an 与
?S ? 1 Sn 的关系:an=? ?Sn-Sn-1 ?


?n=1? . ?n≥2?

3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度 较难把握.一般有三种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想; (2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为 an+1+λ=p(an+ λ),由待定系数法求出 λ,再化为等比数列; (3)逐差累加或累乘法.

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失误与防范
1.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集 或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的 一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意 函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 2.根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观察分析,抓住 其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征;相邻项的 联系特征;拆项后的各部分特征;符号特征,应多进行对比、 分析,从整体到局部多角度观察、归纳、联想.

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例1. 已知数列 { 9n ?29n ? 2 }. 9n ? 1 98 (1)求第10项; (2) 是该数列的项吗? 101 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; (4) 在区间 ( 1 , 2 )内有无数列中的项? 3 3 9n 2 ? 9n ? 2 ? 3n ? 2 . 解:设 an ? f ( n) ? 3n ? 1 9n 2 ? 1
2

(1) a10 ? f (10) ? 3 ? 10 ? 2 ? 28 . 3 ? 10 ? 1 31 (2) 解 3n ? 2 ? 98 , 得 n ? 100 . 3n ? 1 101 3
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所以 98 不是该数列的项. 101

9n2 ? 9n ? 2 }. 例1. 已知数列 { 9n 2 ? 1 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; (4) 在区间 ( 1 , 2 )内有无数列中的项? 3 3 解: (3) an ? 1 ? 3 , 3n ? 1 ? 0 ? 3 ? 1, ? 0 ? 1 ? 3 ? 1, 即 an ? (0,1). 3n ? 1 3n ? 1
?n ? 1 ? 3n ? 2 ? 2 , ? ? (4) 令 ? 3 3n ? 1 3 ?n ? ? 7, 6 8. 3

所以n=2时上式成立. 即 a2 ? 4 在区间 ( 1 , 2 ) 内.
7
3 3
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【1】根据右面的框图得到数列{an}, 则数列{an}的 5,11, 23, 47, 95 开始 所有项依次为_______________.
已知9是数列 3 3, 3 9, 3 15, 3 21,? 【2】 中的一项, 则它是第 _____ 项. 122
A=5
输出A

an ? 3 6n ? 3

A=2A+1


6n ? 3 ? 9 ? n ? 122 【3】已知数列{an}满足 a1 ? 0, an?1 ? 则a2011等于 2 .
3

an ? 2 , 5a ?2 4 n

A≥50?


结束

a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 4 , a4 ? 2, a5 ? 0 3
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【4】 数列 {an} 的通项公式为an=log2(n2+3)-2, 则 log23 是这个数列的第____项. 3
log 2 ( n2 ? 3) ? 2 ? log 2 3
log 2 ( n2 ? 3) ? log 2 3 ? log 2 4 ? log 2 12

? n2 ? 3 ? 12

?n?3
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【5】

2 )2 n?2 ? 4 ? ( 2 )n?1 , an ? 5 ? ( 5 5

3 等于_______.
an ? 5 ? [( 2 )n?1 ]2 ? 4 ? ( 2 )n?1 , 5 5

2 )2 ? 4 . an ? 5t ? 4t ? 5( t ? 5 5
2

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1 解: ?3n ? bn ? 1 lg n, a 第______项最大. 解: ? aa ? bn ??nlg nn, , 解: ? n n ? bn n1 lg1 解: ? an ? bnn? lg 1 , lg e ? lg x n 考察函数 f ( xn ? 1 lg x, 则有 f ?( x) ? lg ee ? lg x, ) lg ?2lg x , 考察函数 f f xx) ? xlg x, 则有 f f(?xx) ? x2 e ? lg x 考察函数 ( ( ) ? x1 lg1x, 则有 ? ( ) ? , 2 xlg 考察函数 f? x) x lg x, 则有 f ?( x) ? x , l g e ( x? lg 2 令 f ?( x )? l l gee2 l xx ? 0则有 x ? e. g ?? l g x , g x ? ( )) 令 f f(?xx ?? ??x 0则有 x ? e. 0则有 x ? e. ,, x2 g e l g 令 xl 2 ? 令 f ?( x )? x ? 0则有 x ? e. , 2 函数 f ( x) 在 (0, e)x 上是增函数, 在 (e, ??) 上是减函数, 函数 f f xx) 在 (0, e) 上是增函数,在 (e, ??) ) 上是减函数, 函数 ( ( ) 在 (0, e) 上是增函数, 在 (e, ?? 上是减函数, 函数 f1( x) 在 (0, e) 上是增函数, 在 (e, ??) 上是减函 6 6 1

【6】 数列 {an },{bn } 满足 an ? lg n, bn ? 1 ,则数列 {an ? bn } 中 n

? a2 ? b2 ? 1 lg 2 ? lg6 8, a3 ? b3 ? 1 lg3 ? lg6 9, ? aa? b2 ??2lg 22 ? lg 6 8,aa? b3 ??3lg3 ?? lg 69, ? 2 2 ? b2 21 lg1? lg 8, 63 3 ? b3 31 lg3 lg 9,6 ? 2 ? ? ?a 3 ?ab3 ?22?2? blg 2 ? lg 8, a3 ? b3 ? 1 lg3 ? lg 9, 3 ? a3 ?b3? b aa 2 b.2 . 3 ? aa ? bb ?? a ? bb. . a22 ? 22 主页 ?3 ?3

【例2】

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当 n<8 时, an?1 ? an ; 当 n=8 时, 当 n>8 时,

a9 ? a8 ; an ? 1 ? an .

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【例3】

? a2 ? 1, a3 ? a1 ? 1 a2 ? 3 . 2 2

? an?1 ? an ? 1 an (n ≥ 2). n
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a n ?1 n ? 1 ? ? ( n ≥ 2). an n an an?1 a3 ? an ? ? ? ? ? ? a2 ? n ? n ? 1 ??? 4 ? 3 ? 1, an?1 an?2 a2 n?1 n? 2 3 2

? an ? n ( n ≥ 2). 2
?1, n ? 1, ? ? an ? ? n ? 2 , n ≥ 2. ?

又a1 ? 1 ? 1 , 2

(2) 当 an ? 2011 时, n ? 4022.
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【1】

3( n ? 1)

① 当 n ≥ 2 时,

两式相减得

nan ? 3n(n ? 1), ? an ? 3( n ? 1).

② 当 n ? 1 时,a1 ? 6也适合上式.

? an ? 3( n ? 1).
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【2】

an ? n
an an?1 a3 ? an ? ? ? ? ? ? a2 an?1 an?2 a2
an ? ? n ( n ≥ 3) an?1 n ? 1

? n ? n ? 1 ? ?? 4 ? 3 ? 2 ? n?1 n? 2 3 2

n.

当 n ? 1 时,a1 ? 1也适合上式.

? an ? n (n ? N? ).
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【3】
4017 则 a2009 ? _______ . 5

Tn 5 当 n≥2 时, an ? ? ( n?1)2 ? 52 n?1. Tn?1 5

n2

? a2009 ? 5

2?2009?1

?5

4017

.

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已知数列{an }的满足a1 ? 1,a2 ? 2,an? 2 ? an ?1 ? an, 【4】 则a100 ?

-1

.

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 1, a4 ? ?1,
a5 ? ?2, a6 ? ?1, a7 ? 1
a100 ? a16?6? 4 ? a4 ? ?1.
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T ?6

【5】已知数列{an}满足a1=2, an?1

2 则a1·2·3·· 2009的值为______. a a ·· ·a

1 ? an ? , 1 ? an

1 , a ? 1 ;a ? 2 a1 ? 2, a2 ? ?3, a3 ? ? 2 4 3 5 an ? 4 ? an ? T ? 4

a1 ? a2 ? a3 ?a2009 ? a2009

? a502?4?1 ? a1
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【6】

A
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三、高中的解题方法和数学思想

(一).高中数学常用的解题方法。 1.换元法 2.待定系数法 3.定义法 4.数学归纳法 5.参数法 6.反证法 7.消去法 8.分析与综合法 9.特殊与一般法 10.类比与归纳法

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三、高中的解题方法和数学思想

(二).高中数学常用的数学思想 1.数形结合思想

2.分类讨论思想
3.函数与方程思想

4.转化(化归)思想

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三、高中的解题方法和数学思想

高中数学解题基本方法(简介) 1.配方法:配方法是对数学式子进行一种定向变形 (配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知 和未知的联系,从而化繁为简。合理运用“裂项” 与 “添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。 有时也 将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出 现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有 二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式 的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变 换等问题。 主页 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平

三、高中的解题方法和数学思想
2.换元法:
把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而 使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是 构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问 题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变 量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或 者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的 计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化 无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、 函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法:局部换元、三角换元、均值换元等。 主页

三、高中的解题方法和数学思想 3.待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据 所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。 待定系数法解题的关键是依据已知,正确列 出等式或方程。

应用范围:分解因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等, 使用待定系数法解题的基本步骤是: 第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数 的方程; 第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问 题得到解决。
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三、高中的解题方法和数学思想
4.定义法

所谓定义法,就是直接用数学定义解题。 数学中的定理、公式、性质和法则等,都是 由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内 涵的逻辑方法,它通过指出概念所反映的事 物的本质属性来明确概念。 定义是基本概念对数学实体的高度抽象。 用定义法解题,是最直接的方法。例如判断 一个图像是否为函数,判断一个函数是否为 指数函数或对数函数等等。
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三、高中的解题方法和数学思想 5.数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维 方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关 的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着 广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法,其 步骤为: (1)证明命题在n=1(或n)时成立; (2)假设在n=k时命题成立,证明n=k+1时命 题也成立。 运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自 然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、 数列问题、几何问题、整除性问题等等。
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三、高中的解题方法和数学思想
6.参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一 些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参 数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而 解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参 数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例 子。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟 通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的 信息,顺利地解答问题。

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7.反证法 反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题 结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑 推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法 则或者已经证明为正确的命题等相矛,从而使命题 获得了证明。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推 理→否定”。实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系 列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题 成立。
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1.数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹 数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不 等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知 识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数 形结合的知识,主要体现是解析几何。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学 语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题 与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几 何化,几何问题代数化。

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三、高中的解题方法和数学思想 2.分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情 况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然 后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是一 种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是 一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零 为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思 想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高 考试题中占有重要的位置。

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引起分类讨论的原因主要是以下几个方面: ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分 类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、 法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如 等比数列的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。 这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时,必须根据参数的不同 取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a= 0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
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进行分类讨论时,我们要遵循的原则是:分类 的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复, 科学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要 的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时,其基本方法和步骤是: 1.要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围; 2.确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统 一、不漏不重、分类互斥(没有重复); 3.对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段 性结果;最后进行归纳小结,综合得出结论。

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三、高中的解题方法和数学思想 3.函数与方程的思想方法 函数思想,是指用函数的概念和性质去分 析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是 从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题 中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或 方程与不等式的混合组),然后通过解方程 (组)或不等式(组)来使问题获解。有时, 还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解 决问题的目的。

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三、高中的解题方法和数学思想
函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、 应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中 考查的重点。 常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有 关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题, 利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问 题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数 关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数 学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等 知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项 和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以 用函数方法解决。
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4.转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围 内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化, 把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模 式法、简单的问题。历年高考,等价转化思想无处不见, 我们要不断培养和训练自觉的转化意识,将有利于强化解 决数学问题中的应变能力,提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过 程中前因后果是充分必要的,才保证转化后的结果仍为原 问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的,要对结 论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根), 它能给人带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口。我 们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要 求,实施等价转化时确保其等价性,保证逻辑上的正确。 主页


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