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第1、2、3、4、5章复习纲要及作业选讲


大 学 物 理 大 学 物 理

讲 义 讲 义

顾 斌 顾 斌 20

第1、2、3、4、5章
20 13 13

期中复习

作业选讲

复习纲要

第一章教学基本要求
1.正确理解参考系的意义,能用适当的坐标系描述质点的运动; 2.正确理解描述质点运动的位置矢量、位移、速度、加速度 (包含切向加速度和法向加速度)等量的物理意义; 3.掌握两大类运动学问题的计算方法:已知运动方程求速度和 加速度;根据给定的加速度和运动初始条件求速度和运动方程; (一般考计算题) 4.掌握牛顿运动定律及其适用条件,能合理选择坐标系建立牛 顿运动定律的矢量方程和分量方程; 5.掌握运用牛顿运动定律求解力和加速度的一般方法;对于某 些较简单的力学问题,能根据受力情况建立起运动微分方程, 并结合初始条件用积分方法求解运动方程; 6.了解惯性力的性质和非惯性系中力学问题的处理方法;
顾 斌 20 13 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13

一、运动的描述: 1、基本物理量: 位置矢量 位 移 速 度 加速度

2、线量与角量的关系:

大 学





? v ? ? d v ? a? dt
学 物 理

? dr dt ? d2 r ? d t2

顾 斌

? r ? ? ?r ?

线

? r (t ) ? ? r2 ? r1







20 13

? ? ? (t )
?? ? ? 2 ? ?1 d? ? ? dt d? d2? ? ? ? dt d t2
20 13

讲 义

讲 义



顾 斌

v ? R?

dv at ? ? R? dt

v2 2 an ? ? R? R




大 学 物 理 讲 义 理 讲 义 顾 斌 20 13 顾 斌 20 13 大 学 物

质点运动学两类基本问题

应用牛顿定律解题 两类问题:已知力求运动; 已知运动求力。 解题思路:
学 物 理 大 顾 斌 20 13

? ? ? ? ? ? 1) 已知 F 求 v , r 。 2) 已知 v , r 求 F 。
讲 义 20 理 讲 义 顾 斌 13

(1)确定研究对象:


(2)分析受力(隔离法),作出受力图 (3)建立坐标系,列方程 (4)求解,讨论。
大 学

分析运动状态(运动学条件,初始条件);

二、牛顿运动定律及其应用: 1、牛顿第一定律(惯性定律) 2、牛顿第二定律 3、牛顿第三定律
20 13

适用范围:质点、宏观、低速、惯 性系。
顾 斌 13

常见的力学问题分为两类:
讲 义 物 理

? ? ? ? ? ? 1) 已知 F 求 v , r 。 2) 已知 v , r 求 F 。
学 讲 义 大 顾 斌 20

三、非惯性系中的力学定律、惯性力:


四、运动的相对性

? ? ? v A对 B ? v A对 C ? v C对 B

大 学

? ? f惯 ? ? m a 惯性力: ? ? ? 非惯性系中的力学规律: F ? f 惯 ? m a '


? ? ? a A 对 B ? a A对 C ? a C 对 B

第二章教学基本要求
1.正确理解功的意义,能计算变力作功和合 力的功; 2.掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定 律处理力学问题;
顾 斌 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13 20 13

变力的功

(变力沿曲线做的功)

顾 斌

20 13 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大
b a b

A ?
解析式:

? A? ?

? ? F ? dr ?

顾 斌

20

13

?

b a

F cos ? d s

a

( Fx dx ? Fy dy ? Fz dz ) —线积分

大 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 顾 斌

讲 义 顾 斌 20 13 20 13

大 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 顾 斌

讲 义 顾 斌 20 13 20 13

第三章教学基本要求
1.正确理解冲量的意义,能计算变力的 冲量; 2.应用动量定理、动量守恒定律处理力 学问题; 3.能综合应用各种力学原理和定律,解 决较复杂的力学问题;
顾 斌 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13 20 13

力的冲量

I ?

?

t2 t1

? ? ? ? ? F d t ? p 2 ? p1 ? m v 2 ? m v1
顾 斌 20 13

N ? m i xi ? ? ? ? 质心位矢: ? x c ? i ?1 M ? N ? m i yi ? ? ? ? ? rc mi ri ? yc ? i ?1 ? rc ? M ? M i N ? m i zi ? ? ? z c ? i ?1 M ? ? ?

讲 义

xc ? yc ? zc ?

20

? ?

13

xdm M ydm M

物 理



大 学

?

讲 义
?





顾 斌

?

? rdm M

? zd m
M



质心运动定理.

? ?F
n i ?1

i

? ? ma
n

C

顾 斌

动量守恒定律

如果
讲 义 物 理

20 13
i ?1

? ? Fi ? 0
顾 斌




? ? mi vi ? 恒矢量
讲 义
i ?1





大 学



20

n

13

第四章教学基本要求
1.正确理解力矩和冲量矩的意义,理解力对轴的 力矩; 2.学会质点的动量矩的计算和质点系动量矩的计 算; 3.掌握质点动量矩定理的应用问题; 4.掌握质点系动量矩定理; 5.理解角动量守恒定律及其应用
顾 斌 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13 20 13

力矩的一般意义

物 理

大 学

d





讲 义

o



? r



顾 斌

? M

讲 义

? Mo

顾 斌

? ? ? 定义: M ? r ? F 大小: M ? Fr sin ? ? Fd

20 13

力臂

?

? F

20

13

? ? ? ? ? 质点m对O点的角动量: l ? r ? p ? r ? m v
顾 斌
? r

20 13 顾 斌 20 13
? p

大小 l=rmvsin?
讲 义

? L

物 理

大 学





角动量守恒定律

? 若M ? 0

? l ?



讲 义



恒矢量

质量为m的小球系于细绳的一端 ,绳的另一 端缚在一根竖直放置的细棒上, 小球被约束在水平面 内绕细棒旋转, 某时刻角速度为?1,细绳的长度为r1。 当旋转了若干圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变 为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度?2 。 ? 解:小球受力 绳子的张力 T ,指向细棒; ? ? 重力W,竖直向下;支撑力 N ,竖直向上。 r1 ? ? ? r2 T 与绳子平行, 不产生力矩; N 与 W 平衡,力矩始终为零。所以, 作用于小 球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小 球对细棒的角动量必定是守恒的。
顾 斌 20 13 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13

根据质点对轴的角动量守恒定律

mv1r1 ? mv2 r2


v1 ? ?1 r1 ,
讲 义 物 理 学 大

顾 斌

式中v1是半径为r1时小球的线速度, v2是半径为 r2时小球的线速度。
20 13

v 2 ? ? 2 r2
顾 斌

r1 2 ? 2 ? ( ) ?1 解得 r2 可见, 由于细绳越转越短, r2 ? r1 , 小球的角速度 必定越转越大, 即 ? 2 ? ? 1 。
大 学 物 理

讲 义

代入上式得

2 mr1 ?1

?

2 mr2 ? 2

20

13

第五章教学基本要求
1.了解转动惯量在刚体转动中的意义和地位, 能计算简单刚体对某些给定轴的转动惯量; 2.能用转动定理求解定轴转动刚体的简单运动 和受力(矩)问题; 3.能综合运用各力学定律和原理解决刚体的定 轴转动问题; 4.能对刚体平面运动的运动学问题和动力学问 题进行简单的分析。
顾 斌 讲 义 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 大 顾 斌 20 13 20 13

刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点直线运动或刚体平动 位移
顾 斌

刚体的定轴转动
20 13

角位移 角速度
顾 斌 13

速度
讲 义 物 理

加速度


角加速度 匀角速定轴转动
理 讲 义

匀速直线运动

大 学

匀变速直线运动



匀变角速定轴转动



20

大 学 物 理 大 学 物 理 讲 义 顾 斌

讲 义 顾 斌 20 13 20 13

刚体运动学中角量和线量的关系

转动惯量的计算方法

讲 义

大 学



J ? ??m r ? ? r dm

i

物 理



2 i i



2

讲 义

顾 斌

? 质量连续分布刚体的转动惯量

20

i

dm

13

J ? ? ?mi ri ? m r ? m r ? ?
顾 斌
2 2 1 1 2 2 2

20 13

? 质量离散分布刚体的转动惯量

:质量元

计算转动惯量的几条规律:
1、对同一轴可叠加:J ? ? Ji 2、平行轴定理: J ? Jc ? md 2
顾 斌 讲 义 物 理 顾 斌 20 13
i

Jc m
20 13

J

C 质心

3、对薄平板刚体,有垂直轴定理:
z

Jz ? Jx ? Jy
物 理 讲 义





d

xi x

ri

y

大 学

yi

1 mR 2 2
R

Δmi

1 mR 2 4

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 (一)



? ? dr v? 速度 dt ? ? dv 加速度 a? dt 质量 m, 力 F b? ? 力的功 A ? F ? dr ?

动能 势能

质点运动

物 理

d? ?? 角速度 dt d? 角加速度 ? ? dt 转动惯量 J , 力矩 M
20 13 顾 斌 20 13

刚体定轴转动

讲 义

顾 斌

讲 义

1 E k ? mv 2 2

a



力矩的功 A ? 转动动能 转动势能

?? a Md?

?b



E p ? mgh

1 E k ? J? 2 2 E p ? mghc

大 学

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)
质点运动 牛顿定律
t



机械能守恒

Ek ? Ep ? const

大 学

1 2 1 2 动能定理 A ? mv ? mv0 2 2



i

i

1 2 1 2 转动动能定理 A ? J? ? J? 0 2 2
机械能守恒





讲 义

? ? ? 动量定理 ? Fdt ? m i v i ? m i v i 0 0 ? ? 动量守恒 ? mi v i ? ? mi v i 0
讲 义 物 理

顾 斌

? ? F ? ma

刚体定轴转动 转动定律 角动量定理
t

? ? M ? J?
? ?

20 13

?0 Mdt ? J? ? J 0?0
J? ? J 0? 0

角动量守恒

顾 斌

20

13

Ek ? Ep ? const

讲 义



t ? 3 s 时,

v = 23 m / s

大 学

v ? v0 ? 3t ? t ? 5 ? 3t ? t
2





?

v0

0

讲 义



v

dv ? ? ? 3 ? 2 t ? dt
t



物 理

顾 斌
2

dv ? adt ? ? 3 ? 2t ? dt

20

13

(1004期中) 一质点沿 x 方向运动,其加速度随时间的变化关系为 a=3+2t (m·s制),如果初始时质点的速度 v0为5 m/s, 则当 t =3s时,质点的速度 v 是多少? dv ? 3 ? 2t 解:因为 a ? dt
顾 斌 20 13

(1004、0904期中) 在一个转动的齿轮上,一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运 动,其路程s随时间的变化规律为
顾 斌 20 13

其中v0和b都是正的常量.则 t 时刻齿尖P的速度大小 为多少?加速度大小多少?
1 2? ? d ? v0 t ? bt ? ds 2 ? ? ? v ? bt 解: v ? ? 0 dt dt
讲 义 学 物 理 大 学 顾 斌 20 13

1 2 , s ? v0 t ? bt 2

dv d ? v0 ? bt ? a? ? ? ?b dt dt





讲 义



v 2 ? v0 ? bt ? ? an ? R R

2

a ? a? ? a ? b
2 2 n

2

v0 ? bt ? ? ? R2

4

1004期中 摩托快艇以速率 v0 沿直线 x 轴行驶,它受到的摩擦
20 13

阻力与速度成正比 f ? ? kv (k为常数),该快艇的质
顾 斌

量为m ,求关闭发动机后,快艇的速度与时间的关系?
讲 义 物 理 顾 斌

快艇的运动方程?(关闭发动机瞬间为 t = 0 时刻,
讲 义 大

初始条件为 x0 ? 0, v ? v0 )
学 理 大 学 物

20

13
v v0

dv 解:由牛二: ? kv ? m a ? m dt

?

dv k ? ? v m

?

t 0

dt

k ? t v k m t ? v ? v0e ln ? ? v0 m

摩托快艇以速率 v0 沿直线 x 轴行驶,它受到的摩擦 阻力与速度成正比 f ? ? kv (k为常数),该快艇的质
顾 斌 20 13

量为m ,求关闭发动机后,快艇的速度与时间的关系?
讲 义 20

快艇的运动方程?(关闭发动机瞬间为 t = 0 时刻,
学 讲 义

初始条件为 x0 ? 0, v ? v0 )
大 物 理

kt kt k t ? ? ? t m v m m 0 m m m )e ? v0 (? )[e ? 1] ? [1 ? e ] x ? v0 (? 0 k k k

大 学

dx ? v ? v0e 又 ? dt



?



k t m

顾 斌

13

?

?

x 0

dx ?

?

t 0

v0e

?

k t m

dt

0904期中 已知一质量为m的质点在 x 轴上运动,质点只受到 指向原点的引力的作用,引力大小与质点离原点的 2 距离 x 的平方成反比,即 f ? ? k / x , k 是比例常 数.设质点在 x ? A 时的速度为零,求 x ? A / 4处 的速度的大小.
顾 斌 20 13

k dx vdv ? ? m x2

A / 4 k dx ?0vdv ? ?A ? m x 2


1 2 k?4 1? 3 v ? ? ? ?? k 2 m ? A A ? mA

大 学



解:根据牛顿第二定律 dv dx k dv dv ?m ? f ?? 2 ?m ? mv dt dx x dt dx
学 物 理

讲 义

v

讲 义



v ? 6k / ?mA?

顾 斌

20

13

解:(1)
d x Fx ? m 2 ? m dt
4

讲 义



2

大 学

(2)

I ? ? F ( t )dt ? ? ? ?8 ? 6t ? dt ? 16 (N ? s)
0 0





dt

2

4

讲 义



d 2 ? 3t ? 4t 2 ? t 3 ?
物 理

? m ( ?8 ? 6t ) ? ?8 ? 6t (N)

顾 斌

20

13

1004期中 一个力Fx作用在质量为 1.0 kg的质点上,使 之沿x轴运动.已知在此力作用下质点的运动学方程 为 x ? 3t ? 4t 2 ? t 3 (SI制).在0到4 s的时间间隔内, 求:(1)力Fx的表达式; (2)力Fx的冲量 I 的大小
顾 斌 20 13

顾 斌

0904期中 设想有两个自由质点,其质量分别为 m1 和 m2 , 它们之间仅以万有引力相互作用。开始时,两质点 间的距离为 l ,它们都处于静止状态,试求当它们 的距离变为 l/2 时,两质点的速率各为多少?
20 13 物 理 顾 斌

动量守恒:

0 = mv 1 1- m 2v2
学 大 学 物 理 讲 义 大

讲 义

机械能守恒:

m1 m2 m1 m2 1 1 2 2 0 ? ( ?G ) ? m1v1 ? m2 v2 ? (? G ) l 2 2 l/2

20

13



物 理

解:(1)初角速度:? 0 ? 200 ( 转/分 ) ? 20.93 ( rad / s )


(2)? ? (3)

? ? ?0
?t

1 1 2 ?? ? ? 0 ? ?t ? ? ? ?t ? ? 20.93 ? 7 ? ? 41.87 ? 7 2 ? 1173.1 (rad) 2 2

大 学

末角速度:? ? 3000 ( 转/分 ) ? 314 ( rad / s )
314 ? 20.93 ? ? 41.87 (rad / s 2 ) 7




讲 义

顾 斌

(1004期中) 一汽车发动机的转速在7.0 s内由200 转/分均匀地增加到3000转/分,试求: (1)这段时间内的初角速度和末角速度; (2)这段时间内的角加速度; (3)这段时间内转过的角度和圈数; (4)发动机轴上装有一半径为 r =0.2m 的飞轮,则 它的边缘上一点在这第7.0 s末的切向加速度和法向 加速度分别为多少?
顾 斌 20 13 讲 义 20 13

2 (4) 当t ? 7 s时:? ? 314 ( rad / s), ? ? 41.87 (rad / s )

a? ? ? r ? 41.87 ? 0.2 ? 8.37 (m / s 2 )
an ? ? 2 r ? 3142 ? 0.2 ? 1.97 ? 104 (m / s2 )

大 学



?? 1173.1 N? ? ? 186.8 2π 2π
学 大

物 理



讲 义

顾 斌

一汽车发动机的转速在7.0 s内由200转/分均匀地 增加到3000转/分,试求: (1)这段时间内的初角速度和末角速度; (2)这段时间内的角加速度; (3)这段时间内转过的角度和圈数; (4)发动机轴上装有一半径为 r =0.2m 的飞轮,则它 的边缘上一点在这第7.0 s末的切向加速度和法向加速 度分别为多少?
顾 斌 20 13 讲 义 20 13

讲 义

(1004期中)一个半径为r的定滑轮可 绕光滑的水平轴转动,已知滑轮对转 动轴的转动惯量为J。在跨过滑轮的细 绳的两端各系质量分别为m1和m2的物 体,且m1>m2,求两物体的加速度。 (已知:绳子和滑轮间不打滑)
顾 斌 20 13 20 讲 义 大

r

13

m2 m1

解: m1 g ? T1 ? m1 a

物 理

(1) 由以上四式,解得:


T1 r ? T2 r ? J ?

大 学

T2 ? m2 g ? m2 a



顾 斌

( 2)

( 3) ( 4)

a?

? m1 ? m2 ? g
J m1 ? m2 ? 2 r

a ? ?r




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