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2.5.2 向量在物理中的应用举例学案(人教A版必修4)(1)


高一必修四教学合案

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2.5.2 向量在物理中的应用举例
学习目标 运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 重、难点 重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决物理问题. 难点:选择适当的方法,将物理问题转化为向量问题加以解决.

自主学习 1.力向量 力向量与前面学过的自由向量有区别. (1)相同点:力和向量都既要考虑________又要考虑________. (2)不同点:向量与________无关,力和__________有关,大小和方向相同的两个力, 如果__________不同,那么它们是不相等的. 2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是________. (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算,运动的叠加亦 用到向量的合成. (3)动量 mν 是____________. (4)功即是力 F 与所产生位移 s 的__________. 向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用,请利用向量的方法解决下列这个问 题.某人在静水中游泳,速度为 4 3 km/h, (1)如果他径直游向河对岸,水的流速为 4 km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为 多少? (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?

对点讲练 力向量问题 例1

如图所示,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体,绳子与铅垂方向的 夹角为 θ,绳子所受到的拉力为 F1. (1)求|F1|,|F2|随 θ 角的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,求 θ 角的取值范围.

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回顾归纳 利用向量法解决有关力的问题时, 常常先把力移到共同的作用点, 再作出相 应图形,以帮助建立数学模型. 变式训练 1

用两条成 120° 角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具重 10 N,求每根绳 子的拉力?

速度向量问题 例 2 在风速为 75( 6- 2) km/h 的西风中,飞机正以 150 km/h 的速度向西北方向飞 行,求没有风时飞机的飞行速度和航向.

回顾归纳 速度是向量, 速度的合成可以转化为向量的合成问题, 合成时要分清各个速 度之间的关系. 变式训练 2 一条河宽为 800 m,一船从 A 出发航行垂直到达河正对岸的 B 处,船速为 20 km/h.水速为 12 km/h,求船到达 B 处所需时间.

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恒力做功问题

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例 3 已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5),作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动 到点 B(7,0). (1)求 F1,F2 分别对质点所做的功;(2)求 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功.

回顾归纳 物体在力 F 作用下的位移为 s,则 W=F· s=|F|· |s|cos θ.其中 θ 为 F 与 s 的夹 角. 变式训练 3 已知 F=(2,3)作用于一物体,使物体从 A(2,0)移动到 B(-2,3),求 F 对 物体所做的功.

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 一般来说分为四步:(1)问题的转化,把物理问题转化成数学问题;(2)模型的建立,建 立以向量为主体的数学模型;(3)参数的获取,求出数学模型的相关解;(4)问题的答案, 回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象. 课时作业 一、选择题 1.用力 F 推动一物体水平运动 s m,设 F 与水平面的夹角为 θ,则对物体所做的功为 ) A.|F|· s B.Fcos θ· s C.Fsin θ· s D.|F|cos θ· s 2.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们夹角为 90° 时,合力大小为 20 N,则当它们 的夹角为 120° 时,合力大小为( ) A.40 N B.10 2 N C.20 2N D.10 3 N 3.共点力 F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体 M 上,产生位移 s=(2lg 5,1), 则共点力对物体做的功 W 为( ) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 4.已知作用在点 A 的三个力 f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且 A(1,1),则合力 f=f1 +f2+f3 的终点坐标为( ) A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 题号 1 2 3 4

(

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答案







二、填空题 5.已知向量 a 表示“向东航行 3 千米”,b 表示“向南航行 3 千米”则 a+b 表示 ________________________. 6.一个重 20 N 的物体从倾斜角 30° ,斜面长 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端,则重力 做的功是__________________________________________________________________. 7.

如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速 靠岸过程中,下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号). ①绳子的拉力不断增大;②绳子的拉力不断变小;③船的浮力不断变小;④船的浮力保 持不变. 三、解答题 8.

如图所示,两根绳子把重 1 kg 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上,∠ACW=150° ,∠BCW =120° ,求 A 和 B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计,g=10 N/kg).

9.已知 e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点 P 从 P0(-1,2)开始,沿着与向量 e1+e2 相同的 方向做匀速直线运动,速度为 e1+e2;另一动点 Q 从 Q0(-2,-1)开始,沿着与向量 3e1+2e2 相同的方向做匀速直线运动,速度为 3e1+2e2,设 P、Q 在 t=0 s 时分别在 P0、 → → Q0 处,问当PQ⊥P0Q0时所需的时间 t 为多少?

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2.5.2

向量在物理中的应用举例

知识梳理 1.(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2.(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 自主探究 → → 解 (1)如图甲所示,设人游泳的速度为OB,水流的速度为OA,以 OA、OB 为邻边作平 → → → → 行四边形 OACB,则此人的实际速度为OA+OB=OC,根据勾股定理,|OC|=8,

Rt△ACO 中,∠COA=60° ,故此人沿与河岸夹角 60° 顺着水流方向前进,速度大小为 8 km/h. → → (2)如图乙所示,设此人的实际速度为OB,水流速度为OA. → → → ∵实际速度=游速+水速,故游速为OB-OA=AB, → |OA| 3 → → → 在 Rt△AOB 中,|AB|=4 3,|OA|=4,|OB|=4 2,cos∠BAO= = . 3 → |AB| 3 故此人应沿与河岸夹角余弦值为 ,逆着水流方向前进,实际前进速度的大小为 3 4 2 km/h. 对点讲练 例1 解

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得-G=F1+F2,|F1|=

|G| , cos θ

|F2|=|G|tan θ,当 θ 从 0° 趋向于 90° 时,|F1|,|F2|都逐渐增大. |G| 1 (2)由|F1|= ,|F1|≤2|G|,得 cos θ≥ . 又因为 0° ≤θ<90° ,所以 0° ≤θ≤60° . cos θ 2 变式训练 1 解 设重力为 G,每根绳的拉力分别为 F1,F2,则由题意得 F1,F2 与- G 都成 60° 角,且|F1|=|F2|. ∴|F1|=|F2|=|G|=10 N. ∴每根绳子的拉力都为 10 N. 例2 解

设风速为 v0,有风时飞机的飞行速度为 va,无风时飞机的飞行速度为 vb, → 则 va=vb+v0,且 va,vb,v0 可构成三角形(如图所示),∵|AB|=|va|=150, → → |BC|=|v0|=75( 6- 2),|AC|=|vb|,作 AD∥BC,CD⊥AD 于 D,BE⊥AD 于 E, → → → → → → → → 则∠BAD=45° ,∴|CD|=|BE|=|EA|=75 2,∴|DA|=|DE|+|EA|=|CB|+|EA| → |CD| 75 2 3 =75( 6- 2)+75 2=75 6,从而 tan∠CAD= = = ,∴∠CAD=30° , 3 → |DA| 75 6 → ∴|AC|=150 2,∴vb=150 2 km/h,
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∴没有风时飞机的飞行速度为 150 2 km/h,方向为北偏西 60° . 变式训练 2 解

v 实际=v 船+v 水=v1+v2, |v1|=20, |v2|=12, ∴|v|2= |v1|2-|v2|2= 202-122=16(km/h). 0.8 ∴所需时间 t= =0.05(小时)=3(分钟).∴该船到达 B 处所需的时间为 3 分钟. 16 → → 例 3 解 (1)AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),W1=F1· AB=(3,4)· (-13,-15) → =3×(-13)+4×(-15)=-99(J),W2=F2· AB=(6,-5)· (-13,-15)=6×(-13)+ (-5)×(-15)=-3(J).∴力 F1,F2 对质点所做的功分别为-99 J 和-3 J. → → (2)W=F· AB=(F1+F2)· AB=[(3,4)+(6,-5)]· (-13,-15)=(9,-1)· (-13,-15)= 9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).∴合力 F 对质点所做的功为-102 J. → → 变式训练 3 解 AB=(-4,3),W=F· s=F· AB=(2,3)· (-4,3)=-8+9=1 (J). ∴力 F 对物体所做的功为 1 J. 课时作业 1.D 2.B [|F1|=|F2|=|F|cos 45° =10 2,当 θ= 120° ,由平行四边形法则知: |F 合|=|F1|=|F2|=10 2 N.] 3.D [F1+F2=(1,2lg 2).∴W=(F1+F2)· s=(1,2lg 2)· (2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.] 4.A [f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力 f 的终点为 P(x,y),则 → → OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).] 5.向东南方向航行 3 2 千米 1 6.10 J 解析 WG=G· s=|G|· |s|· cos 60° =20×1× =10 J. 2 7.①③ π 解析 设水的阻力为 f,绳的拉力为 F,F 与水平方向夹角为 θ(0<θ< ).则 2 |f| |F|cos θ=|f|,∴|F|= .∵θ 增大,cos θ 减小,∴|F|增大. cos θ ∵|F|sin θ 增大,∴船的浮力减小. 8.解

设 A、B 所受的力分别为 f1、f2, 10 N 的重力用 f 表示,则 f1+f2=f,以重力的作用点 C 为 f1、f2、f 的始点,作右图, → → → 使CE=f1,CF=f2,CG=f,则∠ECG=180° -150° =30° ,∠FCG=180° -120° =60° . 3 1 → → → → ∴|CE|=|CG|· cos 30° =10× =5 3.|CF|=|CG|· cos 60° =10× =5. 2 2 ∴在 A 处受力为 5 3 N,在 B 处受力为 5 N. 2 2 9.解 e1+e2=(1,1),|e1+e2|= 2,其单位向量为( , );3e1+2e2=(3,2),|3e1+ 2 2
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2e2|= 13,其单位向量为(

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3 2 , ),如图. 13 13

2 2 → → → → 依题意,|P0P|= 2t,|Q0Q|= 13t,∴P0P=|P0P|( , )=(t,t), 2 2 3 2 → → Q0Q=|Q0Q|( , )=(3t,2t),由 P0(-1,2),Q0(-2,-1), 13 13 → 得 P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴P0Q0=(-1,-3),=(2t-1,t-3), → → → → 由于PQ⊥P0Q0,∴P0Q0· PQ=0,即 2t-1+3t-9=0,解得 t=2. → → ∴当PQ⊥P0Q0时所需的时间为 2 s.

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