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2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数解三角形


2016 年高考数学理试题分类——三角函数、解三角形
一.三角函数图像变换 1、(2016 年北京高考)将函数 y ? sin(2 x ?

李远敬

?

) 图象上的点 P ( , t ) 向左平移 s ( s ? 0 ) 个单位长度得到 4 3


?

>点 P ' ,若 P ' 位于函数 y ? sin 2 x 的图象上,则( A. t ?

1 ? , s 的最小值为 2 6 1 ? , s 的最小值为 2 3

B. t ?

? 3 , s 的最小值为 6 2

C. t ?

D. t ?

? 3 , s 的最小值为 3 2
π 3

2、(2016 年四川高考)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点

π π 个单位长度 (B)向右平行移动 个单位长度 3 3 π π (C)向左平行移动 个单位长度 (D)向右平行移动 个单位长度 6 6
(A)向左平行移动 3、(2016 年全国 II 高考)若将函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 ( )

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴为 12

(A)x ?

k? ? k? ? k? ? k? ? ? (k ? Z ) (B)x ? ? (k ? Z ) (C)x ? ? (k ? Z ) (D)x ? ? (k ? Z ) 2 6 2 6 2 12 2 12

4、(2016 年全国 III 高考)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像至少向右平 移_____________个单位长度得到. 5、(2016 年山东高考)函数 f(x)=( 3 sin x+cos x)( 3 cos x –sin x)的最小正周期是 (A)

π 2

(B)π

(C)

3π 2

(D)2π

二.三角函数周期、单调性、最值

? ? 6、(2016 年全国 I 高考)已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ? 0,
y ? f ( x) 图像的对称轴,且 f ( x) 在 (
(A)11 (B)9
2

π π π ), x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 4 2 4

π 5π , ) 单调,则 ? 的最大值为 18 36
(C)7 (D)5

7、(2016 年浙江高考)设函数 f ( x) ? sin x ? b sin x ? c ,则 f ( x) 的最小正周期 A.与 b 有关,且与 c 有关 C.与 b 无关,且与 c 无关 B.与 b 有关,但与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关
1

8、(2016 年浙江高考)已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 9、(2016 年上海高考)方程 3sin x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0,2? ? 上的解为___________ 10、(2016 年天津高考)已知函数 f(x)=4tanxsin( (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)讨论 f(x)在区间[ ?

? ? ? x )cos( x ? )- 3 . 2 3

? ? , ]上的单调性. 4 4

三。三角恒等变换 11、(2016 年全国 III 高考)若 tan ? ? (A)

3 2 ,则 cos ? ? 2sin 2? ? 4
(C) 1 (D)

64 25

(B)

48 25

16 25


12、(2016 年全国 II 高考)若 cos( (A)

?
4

?? ) ?
1 5

7 25

(B)

1 5

(C) ?

3 ,则 sin 2? ? ( 5 7 (D) ? 25
.

13、(2016 年四川高考)cos2

π π –sin2 = 8 8

四.解三角形 正弦定理 余弦定理 三角形面积 14、(2016 年全国 III 高考)在 △ABC 中, B = (A)
π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 cos A = 4 3

3 10 10

(B)

10 10

(C) -

10 10

(D) -

3 10 10


15、(2016 年天津高考)在△ABC 中,若 AB= 13 ,BC=3, ?C ? 120? ,则 AC= ( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

16、(2016 年上海高考)已知 ?ABC 的三边长分别为 3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________ 17、(2016 年全国 II 高考) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 cos A ? 则b ? .
2 2 2

4 5 , cos C ? ,a ? 1 , 5 13

18、(2016 年北京高考) 在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac . (1)求 ?B 的大小; (2)求 2 cos A ? cos C 的最大值.

2

19、 (2016 年山东高考) 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2(tan A ? tan B) ? (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 20、(2016 年四川高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (I)证明: sin A sin B ? sin C ; (II)若 b ? c ? a ?
2 2 2

tan A tan B ? . cos B cos A

cos A cos B sin C ? ? . a b c

6 bc ,求 tan B . 5

21、 (2016 年全国 I 高考)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 2cos C (a cos B+b cos A) ? c. (I)求 C; (II)若 c ? 7, △ABC 的面积为

3 3 ,求 △ABC 的周长. 2

22、(2016 年浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若△ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4

3

参考答案 1、A 2、D 3、B
[

4、

?? 3

5、B 6、B

7、B

8、 2

9.

? 5? 或 6 6

10.

? ?? ? 解:令 z ? 2 x ? 3 , 函数 y ? 2sin z 的单调递增区间是 ? ??
由?

?

?

? 2

? 2k? ,

?

? ? 2k? ? , k ? Z . 2 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

5? ? k? , k ? Z . 12

设 A ? ??

? ? 5? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? , B ? ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ,易知 A ? B ? ? ? , ? . 12 ? 12 4 ? ? 4 4? ? 12 ?

所以, 当 x ? ? ?

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , ? 时, f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上单调递增, 在区间 ? ? , ? ? 上单调递减. ? 4 4? ? 12 4 ? ? 4 12 ?

11、A

12、D

13、

2 2

14、C 15、A

16、

7 3 3

21 17、 13

18、⑴∵ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ∴ a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac
π a 2 ? c2 ? b2 2ac 2 ∴ ?B ? ? ? 4 2ac 2ac 2 3 ⑵∵ A ? B ? C ? π ∴ A ? C ? π 4 π 2 2 2 2 ∴ 2 cos A ? cos C ? 2 cos A ? (? cos A) ? sin A ? cos A ? sin A ? sin( A ? ) 4 2 2 2 2

∴ cos B ?

4

∵ A?C ?

3 3 π π π π ∴ A ? (0, π) ∴ A ? ? ( , π) ∴ sin( A ? ) 最大值为 1 4 4 4 4 4

上式最大值为 1

19、(Ⅰ)由 2(tanA + tanB) =

tanA tanB sinC sinA sinB ? ? + 得 2? , cosB cosA cosAcosB cosAcosB cosAcosB

所以 2 sin C ? sin B ? sin C ,由正弦定理,得 a + b = 2c . (Ⅱ)由 cosC ?

a 2 ? b2 ? c 2 (a ? b)2 ? 2ab ? c 2 3c 2 3c 2 3 1 ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? . a?b 2 2ab 2ab 2ab 2 2 2( ) 2

所以 cos C 的最小值为 20、(I)证明:由正弦定理

1 . 2

a b c cos A cos B sin C ? ? ? ? ?1 可知原式可以化解为 sin A sin B sin C sin A sin B sin C ∵ A 和 B 为三角形内角 , ∴ sin A sin B ? 0 则,两边同时乘以 sin A sin B ,可得 sin B cos A ? sin A cos B ? sin A sin B 由和角公式可知, sin B cos A ? sin A cos B ? sin ? A ? B ? ? sin ?? ? C ? ? sin C 原式得证。 6 b2 ? c 2 ? a 2 3 2 2 2 ? (II)由题 b ? c ? a ? bc ,根据余弦定理可知, cos A ? 5 2bc 5

cos A 3 4 ? 3? ? ∵ A 为为三角形内角, A ? ? 0, ? ? , sin A ? 0 则 sin A ? 1 ? ? ? ? ,即 sin A 4 5 ?5? cos A cos B sin C cos B 1 1 ? ? ? 1 ,∴ ? ? 由(I)可知 ∴ tan B ? 4 sin A sin B sin C sin B tan B 4
21、(1) 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A? ? sin C

2

2 c oC s?

s?i A n? B ? ?

sC in

∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2 cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴ C ?

1 2

π 3

⑵ 由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cos C

7 ? a 2 ? b2 ? 2ab ?

1 2

? a ? b?

2

? 3ab ? 7
2

S?

1 3 3 3 ab ? sin C ? ab ? 2 4 2

∴ ab ? 6 22.

∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7

a?b?5

∴ △ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7

5

(II)由 S ?

a2 1 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 4 2 4

因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ?

?
2

??.

?
2

时, ? ?

?
2

;当 C ? ? ?

?
2

时, ? ?

?
4

.综上, ? ?

?
2

或? ?

?
4



6


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