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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第十一章算法初步推理与证明复数分层限时跟踪练59


分层限时跟踪练(五十九)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题

z
1.(2015·山东高考)若复数 z 满足 =i,其中 i 为虚数单位,则 z=( 1-i A.1-i C.-1-i B.1+i D.-1+i )

【解析】 由已知得 z =i(1-i)=1+i,则 z=1-i,故选 A. 【答案】 A 2.给出下列命题,其中正确的命题是(
2

)

A.若 z∈C,且 z <0,那么 z 一定是纯虚数 B.当 a≠0 时,b≠0 时,a+bi 一定是虚数 C.若 z∈R,则 z· z =|z|不成立 D. 4-3i 的虚部为-1 1-2i
2

【解析】 当 z 是一个复数时,若 z 能够与实数比较大小, 则 z 是一个实数,则 z 一定是一个纯虚数,故 A 正确; 当 a 是不为 0 的实数,b 为纯虚数时,a+bi 为实数,故 B 不正确; 当 z=1 时,选项 C 不正确, 4-3i ?4-3i??1+2i? 10+5i = = =2+i, 1-2i ?1-2i??1+2i? 5 其虚部为 1.故 D 不正确.故选 A. 【答案】 A 3. (2015·东北二模)i 为虚数单位, 复数 z=i A.第一象限 C.第三象限 【解析】 i
2 012 2 012 2

+i

2 015

在复平面内对应的点位于(

)

B.第二象限 D.第四象限 =i
503×4

=1,i

2 015

=i

503×4+3

=-i,∴复数 z=1-i 在复平面上对应点为

(1,-1),位于第四象限. 【答案】 D 4.已知 f(x)=x -1,则复数
3

f?i?
2-i

的虚部为(

)

1

A.

1 5

1 3 B.- C. 5 5
3

3 D.- 5

【解 析】

∵ f(i) = i - 1 =- i - 1 ,∴

f?i?
2-i



-i-1 ?-i-1??2+i? = = 2-i ?2-i??2+i?

-1-3i 3 ,其虚部为- . 5 5 【答案】 D 5.(2015·南昌二模)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z ,则|(1-

z)· z |=(
A. 10

) B.2 C. 2 D.1

【解析】 ∵z=-1-i,∴ z =-1+i,∴(1-z)· z =(2+i)(-1+i)=-3+i, ∴|(1-z)· z |=|-3+i|= 10. 【答案】 A 二、填空题 6.(2015·天津高考)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 ________. 【解析】 由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数可得 a+2=0,1-2a≠0, 解 得 a=-2. 【答案】 -2 1 1 7.在复平面内复数 , 对应的点分别为 M、N,若点 P 为线段 MN 的中点,则点 P 1+i 1-i 对应的复数是________. 1? ?1 1? 1 1-i 1 1+i ?1 【解析】 ∵ = , = ,∴M? ,- ?,N? , ?,而 P 是 MN 的中点, 2? ?2 2? 1+i 2 1-i 2 ?2 1 ?1 ? ∴P? ,0?,故点 P 对应的复数为 . 2 ?2 ? 【答案】 1 2

8. (2015·重庆高考)设复数 a+bi(a, b∈R)的模为 3, 则(a+bi)(a-bi)=________. 【解析】 ∵|a+bi|= a +b = 3,∴(a+bi)(a-bi)=a +b =3. 【答案】 3 三、解答题 9. 已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位), 复数 z2 的虚部为 2, 且 z1·z2 是实数,求 z2.
2 2 2 2

2

【解】 ∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i. 设 z2=a+2i,a∈R.

z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
∵z1·z2∈R. ∴a=4,∴z2=4+2i. 10.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方 形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 【解】 如图,z1、z2、z3 分别对应点 A、B、C.

→ → → ∵AB=OB-OA, → ∴AB所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i, → → 在正方形 ABCD 中,DC=AB, → ∴DC所对应的复数为-3-i, → → → 又DC=OC-OD, → → → ∴OD=OC-DC所对应的复数为 z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i, ∴第四个顶点对应的复数为 2-i. [能 力 练] 扫盲区 提素能 1.设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若|z1-z2|=0,则 z 1= z B.若 z1= z 2,则 z 1=z2 C.若|z1|=|z2|,则 z1· z 1=z2· z D.若|z1|=|z2|,则 z1=z2 【解析】 A,|z1-z2|=0? z1-z2=0? z1=z2? z 1= z 2,真命题; B,z1= z 2? z 1= z 2=z2,真命题;
2 2 2 2

)

3

C,|z1|=|z2|? |z1| =|z2| ? z1· z 1=z2· z 2,真命题; D,当|z1|=|z2|时,可取 z1=1,z2=i,显然 z1=1,z2=-1,即 z1≠z2,假命题. 【答案】 D 2. (2015·河南调研)复数 z1, z2 满足 z1=m+(4-m )i, z2=2cos θ +(λ +3sin θ )i(m, λ ,θ ∈R),并且 z1=z2,则 λ 的取值范围是( A.[-1,1] )
2 2 2 2 2

2

2

? 9 ? B.?- ,1? ? 16 ?
D.?

? 9 ? C.?- ,7? ? 16 ?

? 9 ,7? ? ?16 ?

?m=2cos θ , ? 【解析】 由复数相等的充要条件可得? 2 ?4-m =λ +3sin θ , ?

化简得 4-4cos θ =λ +3sin θ ,由此可得 λ =-4cos θ -3sin θ +4=-4(1- 3?2 9 ? 2 2 sin θ )-3sin θ +4=4sin θ -3sin θ =4?sin θ - ? - ,因为 sin θ ∈[-1,1],所 8? 16 ?

2

2

? 9 ? 2 以 4sin θ -3sin θ ∈?- ,7?. 16 ? ?
【答案】 C 3.(2015·江苏高考)设复数 z 满足 z =3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为______. 【解析】 ∵z =3+4i,∴|z |=|z| =|3+4i|= 3 +4 =5, ∴|z|= 5. 【答案】 5
2 2 2 2 2 2

4.已知复数 z=x+yi,且|z-2|= 3,则 的最大值为______. 【解析】

y x

∵|z-2| = ?x-2? +y = 3, ∴(x-2) +y =3. 由图可知? ?max= x 【答案】 3
2 2 2 2

?y? ? ?

3 = 3. 1

4

5. 复数 z1= 【解】 =? =

3 2 2 +(a -10)i, z2= +(2a-5)i, 若 z 1+z2 是实数, 求实数 a 的值. a+5 1-a 3 2

2 z 1+z2= +(a -10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

? 3 + 2 ?+[(a2-10)+(2a-5)]i ? ?a+5 1-a?
a-13 2 +(a +2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a +2a-15=0, 解得 a=-5 或 a=3. ∵a+5≠0,∴a≠-5,故 a=3. 6.已知复数 z,且|z|=2,求|z-i|的最大值,以及取得最大值时的 z. 【解】 法一 设 z=x+yi(x,y∈R), ∵|z|=2,∴x +y =4, |z-i|=|x+yi-i| =|x+(y-1)i|= x +?y-1?
2 2 2 2 2 2 2

= ?4-y ?+?y-1? = 5-2y. ∵y =4-x ≤4,∴-2≤y≤2. 故当 y=-2 时,5-2y 取最大值 9,从而 5-2y取最大值 3,此时 x=0,即|z-i|取 最大值 3 时,z=-2i. 法二
2 2

类比实数绝对值的几何意义,可知方程|z|=2 表示以原点为圆心,以 2 为半径的圆, 而|z-i|表示圆上的点到点 A(0,1)的距离.如图,连接 AO 并延长与圆交于点 B(0,-2), 显然根据平面几何的知识可知, 圆上的点 B 到 A 的距离最大, 最大值为 3, 即当 z=-2i 时, |z-i|取最大值 3.

5


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