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导数的应用复习学习教材课件PPT


2.11导数的应用 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义, 就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k 由此可知过点P的切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . 2.利用导数研究函数的单调性 在区间(a,b)内,可导函数y=f(x)的单调性与其导数值f′(x)的正负有如下关系 如果 f′(x)>0, 则函数y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果 f′(x)<0,则函数y=f(x)在这个区间内单调递减; 如果 f′(x)=0,则函数y=f(x)在这个区间内不增不减,为常数. 【思考探究】1.若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0 吗?f′(x)>0 是 否是 f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件? 提示:函数 f(x)在(a,b)内单调递增,则 f′(x)≥0,f′(x)>0 是 f(x)在(a,b)内单调递增的 充分不必要条件. 3.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的 极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大, f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,则点b 叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 1.(2013·石家庄质检)已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的切线,则 k 的值是( A.e B.-e C. 1 e 1 e ) D.- 解析:依题意,设直线 y=kx 与曲线 y=ln x 相切于点(x0,kx0), 则有 kx0=ln x0, k= 1 , x0 由此得 ln x0=1,x0=e,k= ,选 C. 答案:C 1 e 2.(2014· 杭州 质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+ 2x和y=x2+a都相切,则a的值是() A.1 B. 1 64 C.1或 1 64 D.1或- 1 64 【解析】(1)当O(0,0)是切点时, ∵点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上, ∴直线l与曲线y=f(x)相切于点O. 则k=f′(0)=2,直线l的方程为y=2x. 又直线l与曲线y=x2+a相切, ∴x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,∴a=1, (2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0), 则y0=x30-3x20+2x0, 且k=f′(x0)=3x20-6x0+2.① y0 =x20-3x0+2,② x0 2 又k= 1 由①,②联立,得x0= 3 (x0=0舍),所以k=- ∴所求切线l的方程为y=- 4 x. 1 由 y=- x, 4 1 4 , y=x2+a,得 x2+ x+a=0, 依题意,Δ= 1 -4a=0,∴a= 1 . 64 16 1 1 4 综上,a=1或a= 64 . 【答案】C 3.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示, 则函数 f(x)( ) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、两个极小值点 C.有两个极

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