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必修1复习函数定义及其性质


1 函数及其表示 一、函数的概念: 函数:设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记为

y ? f ?x ?, x ? A
例 1、判断下列对应 f : A ? B 是否是从集合A到集合B的函数: (1) A ? R, B ? x ? R x ? 0 , f : x ? x , f : A ? B; (2) A ? N , B ? N * , f : x ? x ? 1 , f : A ? B.
2 (3) A ? x ? R x ? 0 , B ? R, f : x ? x , f : A ? B.

?

?

?

?

变式 1、设函数 f(x)的图象不可以是(



变式 2、如下图可作为函数 ? f ( x) 的图像的是(

)

y

y

y

y

O
(A)

x

x
O
(B)

x
O
(C )

x
O
(D)

二、函数的定义域: 1、函数 y ? f ?x ?, x ? A ,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 值叫做 ,函数值的集合 f ?x? x ? A 叫做函数的 ,与 x 的值相对应的 y

?

?



2、求函数的定义域: ①分式分母不等于 0; ③ a : a ? 0;
0

②偶次根式中被开方数为非负数,如: x ?x ? 0? ; ④对数的真数是正数;如: loga x : x ? 0
1

3、若解析式由几部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集。 例 2、求下列函数的定义域:

?1? f ?x ? ?

4? x x ?1

?2? f ?x? ?

x2

?3? f ?x ? ?

3x 2 1? x

? lg?3x ? 1?

?4? f ?x? ?

1 ? x ? x ? 3 ?1

?5? f ?x? ? ?4x ? 5

?6? f ?x ? ?

6 x ? 3x ? 2
2

例 3、 (1)已知函数 f (x)的定义域为(0, 1),求 f (x )的定义域. (2)已知函数 f (2x + 1)的定义域为(0, 1),求 f (x)的定义域. (3)已知函数 f (x + 1)的定义域为[–2, 3],求 f (2x – 2)的定义域.
2

2

变式 1、若 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 f ? x ? 1? ? f ? 2x ? 1? 的定义域是 变式 2、已知 f ( x) 的定义域为 [?1,2) ,则 f (| x |) 的定义域为 变式 3、若函数 y ? f ?x ? 的定义域是[0,2],则函数 g ? x ? ? 三、两个函数的相等: 两个函数相等:定义域和对应法则都分别相同。 例 4、下列各组函数中,表示同一函数的是 (A) y ? 1, y ? (C ) ( )

f ?2 x ? 的定义域是 x ?1

x x

(B) y ?

x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1

y ? x, y ? 3 x 3

(D) y ?| x |, y ? ( x ) 2 )
2 2

变式 1、下列各组函数 f ( x)与g ( x) 的图象相同的是( (A) f ( x) ? x, g ( x) ? ( x ) 2 (C ) f ( x) ? 1, g ( x) ? x
0

(B) f ( x) ? x , g ( x) ? ( x ? 1) (D) f ( x) ?| x |, g ( x) ? ?

?x ?? x

( x ? 0) ( x ? 0)
2

四、映射: 映射:设 A,B 是非空的集合,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集 合 B 中都有 确定的元素与之对应,那么就称 f: A→B 为集合 A 到集合 B 的一个映射。 )

例 4:设集合 A={x|0≤x≤6} ,B={y|0≤y≤2} ,从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是( (A) f:x→y= (C )

1 x 2 1 x 4

f:x→y=

1 x 3 1 (D)f:x→y= x 6
(B) f:x→y=

变式 1、 映射 f : A ? B中 ,A ? B ? {( x, y) | x, y ? R}, 且 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) , 则与 A 中的元素 (?1,2) 对应的 B 中的元素为( (A) (?3,1) (B) (1,3) ) (C ) (?1,?3) (D) (3,1)

变式 2、已知集合 A={1,2,3},集合 B={4,5,6},映射 f : A ? B ,且满足 1 的象是 4,则这样的映射有 ( ) (B)4 个 (C )8 个 (D) 9 个

(A)2 个

五、分段函数的图象: 例 5:画出下列函数的图象:

?1?F ?x? ? ? ?

0, x ? 0, ?1, x ? 0;

?2?G?n? ? 3n ? 1, n ? ?1,2,3?.

?3? f ?x? ? x ? 1

?4? f ?x? ? x ? 1

?5? f ?x? ? x 2 ? 2 x ? 3

?6? f ?x ? ?

x 2 ? 4x ? 3

3

变式 1、函数 y ?

x x

? x 的图象是(



变式 2、在同一坐标系中绘制函数 y ? x 2 ? 2 x , y ? x 2 ? 2 | x | 得图象.

2 变式 3、已知方程 x ? 4 x ? 3 ? k ? 0 有 4 个根,则 k 的取值范围是

六、函数的解析式: 例 6、已知函数 f ( x) 满足, f ( x) ? ?

? f ( x ? 2) x ? 0 ,则 f (?7.5) = x x?0 ? 2


? x ? 1, ( x ? 0) 变式 1、设 f ( x ) ? ? ?? , ( x ? 0) ,则 f { f [ f (?1)]} ? ( ?0, ( x ? 0) ?
(A) ? ? 1 (B)0 (C) ?

(D) ? 1

变式 2、设函数 f(x)= ? 题型、求函数解析式

? x 2+2( x ? 2), ?2 x( x ? 2),

则 f(-4)=____,又知 f( x0 )=8,则 x0 =____

(1)待定系数法:已知函数类型,求函数的解析式 (2)换元法、配凑法:已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) (3)方程法: f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法; 例 7、设函数 f ( A.

1? x 1? x

1? x ) ? x ,则 f ( x) 的表达式为 1? x 1? x 1? x B. C. x ?1 1? x
.

( D.



2x x ?1

2 变式 1、已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =

4

1 1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则 f ( x ? ) ? ___________。 x x x ?1? 变式 3、已知 2 f ?x ? ? f ? ? ? x ,则 f ?x ? = ? x?
变式 2、已知 f ( x ? 变式 4、已知 2 f ?x ? ? f ?? x ? ? 3x ? 2 ,则 f ?x ? = 例 8、已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b),且 f(2)= p , f (3) ? q 那么 f (72) 等于( (A) p ? q (B) 3 p ? 2q (C) 2 p ? 3q (D) p 3 ? q 2 ) )

例 9、已知函数 f ? x ? ? x5 ? ax3 ? bx ? 8, 且f ? ?2? ? 10, 那么f ? 2? 等于( A. -18 练习 B.6 C. -10 D.10

1、已知 f ? x ? 是一次函数,且满足 3 f ? x ? 1? ? 2 f ? x ? 1? ? 2x ? 17, 求 f ? x ? .

2、已知 f ( x) ? x ? b, f (ax ? 1) ? 3x ? 2, 求a、b的值。

3、已知 f ( x) 是一次函数,且 f ( f ( f ( x))) ? 8x ? 7 ,求 f ( x) 的解析式。

4、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 求f ( x) 。

5

5 已知 2 f (? x) ? f ( x) ? 3x ? 1, 求f ( x).

6.已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 3 ? 3 ,求 f(x) x x

2 函数的单调性 一、函数的单调性的定义: 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 , 当 x1 ? x 2 时,都有 ,那么就说 f(x)在 上是 函数.

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 , 当 x1 ? x 2 时,都有 ,那么就说 f(x)在 上是 函数.

例 1、若 f ( x)是R上的增函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1与x2 的大小关系是 变式 1、设函数 f ( x)是(??,??)上的减函数,则 f (a ? 1)与f (a) 的大小是
2

变式 2、函数 y ? ? x 的单调增区间为(
2

) D、 (??,??) )

A、 (??,0]

B、 [0,??)
2

C、 (0,??)

变式 3、函数 y ? ? x ? 2 x 在[1,2]上的最大值为( A、1 B、2 C、-1 D、不存在

例 2、证明函数 f ( x) ? 3x ? 2是(? ?, 上的增函数。 ? ?)

6

二、几个常见函数的单调性: (一)一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 当k 当k 时,f(x)在 R 上为增函数; 时,f(x)在 R 上为减函数;

(二)反比例函数 y ? 当 k>0 时,f(x)在 当 k<0 时,f(x)在

k ( k ? 0) x
上为 上为 函数; 函数;

(三)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 a>0 时,f(x)在 当 a<0 时,f(x)在 上为增函数,在 上为增函数,在 上为减函数; 上为减函数;

(四)幂函数 y ? x 3 在 ?? ?, ?? 上为增函数; 幂函数 y ?

x 在 ?0, ?? 上为增函数.

(五)反比例型的函数 (六)打勾函数 例 3、下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 (A) y ? ? x ? 1 (B) y ?
2

(

) (D) y ?

x

(C) y ? x2 ? 4 x ? 5

2 x

变式 1、如果二次函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? 5 在区间 ?

?1 ? ,1? 上是增函数,求 a 的取值范围. ?2 ?

变式 2、在区间 (??,0) 上为增函数的是 (A) y ? 1 (B) y ?


2

) (D) y ? 1 ? x
2

x ?2 1? x

(C) y ? ? x ? 2x ? 1

2 变式 3、函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 (



(A) b ? ?2

(B) b ? ?2

(C) b ? ?2

(D) b ? ?2 ( )

变式 4、函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 (A) k ? ?

1 2

(B) k ? ?

1 2

(C) b ? 0

(D) b ? 0

2 变式 5、已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] ,求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.

7

变式 6、设函数 f(x)=(a-1)x+b 是 R 是的减函数,则有( (A)a≥1 变式 7、函数 y=(A)R (B)a≤1 1 的单调区间是() x-2 (C)a.>-1

) (D)a<1

(B) (-∞,0)
2

(C) (-∞,2) , (2,+∞) (D) (-∞,2) ? (2,+∞)

变式 8、函数 f(x)=-x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,2]上单调递增,则 a 的取值范围是( ) (A)[3,+∞) (B) (-∞,3] (C) (-∞,-3] (D)[-3,+∞)

三、图象法判断单调性: 例 4、求 f ?x ? 的单调区间。

?1? f ?x? ?

x 2 ? 6x ? 9 ? x 2 ? 6x ? 9

?2?y ? x 2 ? 2 x

2 变式 1、写出函数 y ? 2 x ? x 的单调区间。

例 5、函数 f ( x) 在 ( a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x 2 那么( (A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (B) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (D)无法确定 ( )



例 6、已知 f ( x) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 (A) f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] (C) f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)]

(B) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) (D) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)

变式 1、若函数 f ( x) 在区间(a,b)上为增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f ( x) 在区间(a,c) 上( )

8

(A)必是增函数 (C)是增函数或是减函数

(B)必是减函数 (D)无法确定增减性

变式 2、函数 f ( x ) 的定义域为 ( a, b) ,且对其内任意实数 x1 , x2 均有: ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x ) 在 ( a, b) 上是 (A)增函数 (C)奇函数 练习: 1、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2在区间 (??,4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。 (B)减函数 (D)偶函数

2、已知 f ( x) 是定义在[-1,1]上的增函数,且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x),求x 的取值范围。

3、求函数 f ( x ) ?

x 在区间[2,5]上的最大值与最小值。 x ?1

4、求二次函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 7 在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

5、f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f ( (1)求 f(1)的值. (2)若 f (6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

x ) = f(x)-f(y) y

1 ) <2 x

9

3 函数的值域 一、直接法: (从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围) 例 1.求函数 y ?

x ? 2 的值域。

二、配方法 例 2. (1)求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 的值域。 (2)求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。

三、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法) 例 3.求函数 y ?

1? x 的值域。 2x ? 5

练习:求函数 f ( x ) ?

2x ? 1 的值域。 (如果在后面加上 x ? (6,10) 的话又会变成什么样呢?) x?2

四、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如

y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。
例 4、求函数 y ? 2x ? 2x ? 1 的值域

10

练习:求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域

求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域

练习: 1、函数 y ? A.R

1 的的值域是 x ?1
C. (0, ??) D. (??,0) ? (0, ??)

(

)

B. (??, ?1) ? (?1, ??)

2、函数 y ? A. [1, ??)

x 2 ? 6 x ? 10 的值域是
B.[0,3] C.[0,3] D[0,1]

(

)

3、函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 的值域是____________.

( x ? 0) ?2x ? 3 ? 4、函数 f ( x) ? ? x ? 3 (0 ? x ? 1) ?? x ? 5 ( x ? 1) ?
5、求下列函数的值域. (1)

的最大值是____________.

y ? 2 x ? 1, ( x ? ? 1,2,3,4,5 ?)

(2) y=|x-1|-1,x ? [-1,2]

(3 )

2 y ? ? , x ? [1, 4] x

(4)

y ? 2 x2 ? 4 x ? 1,( x ?[0,5))

6、求下列函数的值域 (1)f(x)=x-2 x +3 (1≤x≤2) (2)f(x)=2x- x ? 1 (3)f(x)=

2x ? 1 x ?1

(4)

y?

2 , ( x ? [4,5]) x ? 2x ? 2
2

(5)f(x)= x 2 ? 2x ? 3

7、函数 y=x -2x+3 在[0,m]上的值域为[2,3],求 m 的取值范围。

2

11

3 函数的奇偶性 一、知识总结:

二、典型例题 例 1、判断下列函数的奇偶性: 1 f ( x) ? ○

2x 2 ? 2x ; x ?1

2 f ( x) ? x3 ? 2x ; ○

3 f ( x) ? a ○

( x? R)

变式 1、求证:函数 f ( x ) ?

1 是偶函数。 1? x2

变式 2、求证:函数 y ? x ?
2

1 的图象关于 y 轴对称。 x2

例 2、 ?1? 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则 f ( x ) 的解析式为

(2) 已知函数 f ( x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,f ( x) ? x ? x 4 , 则 时, f ( x) ? .

当 x ? ( 0, ? ? )

y
(3)( 04 上海)设奇函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?5, 5? 若当 x ??0, 5? 时,
y ? f ( x)

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

? O

2

?

5

? x

12

变式 1、已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ? ,那么 f ( ) 的值为 例 3、定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) ?

?1? ?3?

x

1 2

x?m 是奇函数,则常数 m ? ____, n ? _____ x ? nx ? 1 ( x ? 1)( x ? a) 变式 1、 ( 07 海南)设函数 f ( x) ? 为奇函数,则 a ? x
2

ax 2 ? 1 变式 2、已知函数 f ( x) ? ( a 、 b 、 c ? Z )为奇函数,又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 , bx ? c
求 a 、 b 、 c 的值 .

单调性奇偶性综合: 例 5、已知奇函数 f(x)在定义域[?2,2]上递减,求满足 f(1?m)+f(1?m )<0 的实数 m 的取值范围。
2

例 6、已知 f ( x) 是定义在 [?2,2] 上偶函数,当 x ? [0,2] 时 f ( x) 是减函数,如果不等式 f (1 ? m) ? f (m) 恒 成立,求实数 m 的取值范围.

变式、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值范围.

13

例 7、已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意的 x1 , x 2 都满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ),当x ? 0时, (1)试判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)试判断 f ( x ) 的单调性,并证明。 f ( x) ? 0 。

已知函数 f ( x ) 的定义域是 x ? 0 的一切实数, 对定义域内的任意 x1 , x 2 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 且当

x ? 1时f ( x) ? 0, f (2) ? 1 ,

(1)求证: f ( x ) 是偶函数

(2)求证: f ( x ) 在 (0,??) 上是增函数; (3)试比较 f ( ? )与f ( ) 的大小。

5 2

7 4

思考: 1、多项式函数的奇偶性:函数 y ? ax2 ? bx ? c 是偶函数则 b 的值为___________ 2、若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递增区间是 3、设 f ( x) ? (m ? 1) x ? 2mx ? 3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-2)上是( )
2

A.增函数 C.不具有单调性

B.减函数 D.单调性由 m 确定

指数的运算以及指数函数 一、知识点:
?a, n为奇数 1、计算公式: ( n a )n ? a ; n a n ? ? ; (a ? 0). ?| a |, n为偶数

2、规定正数的分数指数幂: a n ? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1 ) ; a

m

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

.

3、幂的运算法则: 若 m 、 n ? Q , a ? 0 , b ? 0 ,则 a m ? a n ? a m? n ; a m ? a n ? a m? n ; a m

? ?

n

? a mn ; (ab) m ? a m ? b m 。
14

4、指数函数的图象和性质:

a ?1
y
图 象

0 ? a ?1
y

y ?1
O

y ?1

x

O

x

?1? 定义域:
性 质

? 2 ? 值域: ? 3? 恒过定点 ? 4 ? 在 R 上是
函数 ,即 x ? 0 时, y ? 1

? 4 ? 在 R 上是
对称.

函数

y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于
二、典型例题 例 1:计算: ?1?

a ? 4 b 2 ? 3 ab 2 (a ? 0, b ? 0) ;

? 2?

?1? ? ? ? ?4?

?

1 2

?
? 0.1?

4ab ?1
?2

?

3

?a b ?

1 3 ?3 2

例 2:已知 x 2 ? x

1

?

1 2

? 3 ,求

x 2 ? x ?2 ? 2 x ?x
3 2 ? 3 2

的值;

?3

例 3:如图为指数函数 (1) y ? a , (2) y ? b , (3) y ? c , (4) y ? d
x x x

x

a b

y

c d

a, b, c, d 与 1 的大小关系为(
(A) a ? b ? 1 ? c ? d (C) 1 ? a ? b ? c ? d

) (B) b ? a ? 1 ? d ? c (D) a ? b ? 1 ? d ? c

O

x

15

例 4:已知函数 f ( x) ? a2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.

变式 1、函数 y ? 3? x ?2 的单调递增区间是( A、 (??,??) B、 (??,0]
x2 ? 2 x

) D、 (??,2] ;最大值是

C、 (2,??)

?1? 变式 2、函数 y ? ? ? ?2?
1 3? x

的递减区间为

例 5:求下列函数的定义域:

(1)

y?2



(2)

1 y?( ) 3

5? x



例 6、求下列函数的值域:
1 2 (1) y ? ( ) 3 x ?1 ; 3

(2) y ? 4x ? 2x ? 1

三、课堂练习:
2 1 1 1

1.化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果 ( (B) ? a
x

1 3

1

5



(A) 6 a

(C) ? 9a

(D) 9 a

2

2、设指数函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) ,则下列等式中不正确的是 (



(A)f(x+y)=f(x)·f(y)

? (B) f(x ? y)

f ( x) f ( y)
n

(C) f (nx) ? [ f ( x)]

n

(n ? Q)

(D) f ( xy) ? [ f ( x)] · [ f ( y)]
n n

(n ? N ? )

16

3、当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? b 和 y ? b ax 的图象只可能是





2 4、根式 x ? 3xy ? 9 y 2 ( y ? x )化简得__________ 6 4

5、求下列各式的值。 (1) 25
1 2

(2) 27

2 3

(3) 49

?

3 2

25 ? (4) ? ? ? ? 4?

?

3 2

6、计算: (1) a ? a ? a
1 2 1 4 ? 3 8

? 1 ?1 ? (2) ? x 2 ? y 3 ? ? ?

6

8a ?3 ? (3) ? ? 6 ? ? 27b ?

?

1 3

1 1 2 ? ? ? ? (4) 2 x 3 ? 1 x 3 ? 2 ? x 3 ? ?2 ?

7、 ( 07 山东)已知集合 M ? ??11 , ? , N ? ?x (A) ??11 , ? 四、课后练习 1、函数 f ( x) ? 2 (A) (0,1] 2、函数 y ? ( ) A(A) [ ?1, ]
?| x|

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N = ? 2 ?
(D) ??1 , 0?

(B) ??1?

(C) ?0?

的值域是( (B) (0,1)

) (C) (0,??) ) (C) [2,??) (D) [ , 2 ] (D)R

1 2

? x2 ? x?2

得单调递增区间是( (B) (??,?1]

1 2

1 2

17

3、化简: (1) (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ; (2)

2

1

1

1

1

5

a 3b 2 3 ab 2 (a 4 b 2 )4 ? 3
1 1

b a

(a>0,b>0) ; (3) 81? 9 3 .

4

2

4、计算 2

1 ?( ) 2

?

(?4)0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5)0 ,结果是(

).
? 1 2

(A)1 5、化简 (1 ? 2
? 1 32

(B) 2 2
)(1 ? 2
? 1 16 ? 1 ? 1 ? 1

(C) 2 ).
? 1 32

(D) 2

)(1 ? 2 8 )(1 ? 2 4 )(1 ? 2 2 ) ,结果是(

1 ? 1 (A) (1 ? 2 32 )?1 2

(B) (1 ? 2

?

1 32 ?1

)

(C) 1 ? 2 . . ).

1 ? 1 (D) (1 ? 2 32 ) 2

6、化简 ( 3 6 a9 )4 ( 6 3 a9 )4 的结果是
1 ? 4 1 64 ? 2 7、计算 ( ) 2 ? (?5.6)0 ? ( ) 3 ? 0.125 3 ? 9 27

8、函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( (A)(0,1)
1

x

(B)(1,0) 的定义域为

(C)(2,1)

(D)(0,2) . ). (D)a>3

9、函数 y ? 2 x

2

? 2 x ?3

1 2 ;函数 y ? ( ) x ?2 x ?3 的值域为 2

10、如果指数函数 y= (a ? 2) x 在 x∈R 上是减函数,则 a 的取值范围是( (A)a>2 (B)a<3 (C)2<a<3 ).

11、使不等式 23 x ?1 ? 2 ? 0 成立的 x 的取值范围是(

3 (A) ( , ??) 2
12、求函数 y ? 3? x
2 ? 2 x?3

2 (B) ( , ??) 3

1 (C) ( , ??) 3

1 (D) (? , ??) 3

的定义域、值域并指出单调区间.

18

1 2 13、函数 f ( x) ? ( ) x ?6 x?5 的单调递减区间为( 3

).

(A) (??, ??)

(B) [ ?3,3]

(C) (??,3]

(D) [3, ??)

六 对数的运算和对数函数 一、新课导学: 1、一般地,如果 a x ? N ?a ? 0, 且a ? 1? ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 其中 a 叫做对数的 ,N 叫做 。 ;并把 log10 N 记作 ;并把 loge N 记作 。 。 ,记作

2、通常我们把以 10 为底的对数叫做 并通常把以无理数 e 为底的对数叫做 3、如果 a ? 0 ,且 a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么:

?1?loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N; ?2?log a M
N

? log a M ? log a N ;

?3?loga M n ? n loga M ?n ? R?
名称 一般 形式
y
4

?4?loga b ? logc b ?a ? 0, 且a ? 0; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0?
logc a
对数函数

指数函数
y ? a x ? a ? 0, a ? 1?

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?

y

y ? ax

2

y?a

x

? a ? 1?
0

y ? loga x ? a ? 1?

图象

? 0 ? a ? 1?
2

x
0 1 2 3

-2

0 -4 -2 0 2 4

x

y ? loga x ? 0 ? a ? 1?

定义 域 值域 单调 性 定点
x 注: y ? a 的图象与 y ? log a x 的图象关于直线 y ? x 对称。 x 当 a ? 1 时, y ? a 是

函数;
x

当 a ? 1 时, y ? log a x 是

函数;

当 0 ? a ? 1 时, y ? a 是

函数。 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是 函数。

19

二、典型例题
x 例 1:如果 f 10 ? x ,则 f ? 3? =(

? ?


3

A. log3 10

B. lg 3

C. 10

D. 3

10

变式:若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为( A



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3 ln x

B

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3ln x ? 4

C

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3e x

D

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3e x ? 4

例 2: 给出四个等式: ① loga ? x ? y ? ? loga x ? loga y ; ③ ② loga ?xy? ? loga x ? loga y ; ④ log a x ?

log a x ? log a x ? log a y ; log a y

1 log a x ; 2


,x ? 1,y ? 1 .①~④中不正确的等式的个数为( 其中 a ? 0,a ? 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 )

变式:已知函数 f ( x) ? lg A
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b

B

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?b

C

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1? x .若f (a ) ? b.则f (?a ) ? ( 1? x 1 1 D ? b b
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例 3:设 lg2=a,lg3=b,则 log512 等于(



2a ? b 1? a 2a ? b C. 1? a
A.

a ? 2b 1? a a ? 2b D. 1? a
B. )

例 4:若对数 log? x ?1? ? 4 x ? 5? 有意义,则 x 的取值范围是(

5 ≤x?2 4 5 (C) ? x ? 2或x ? 2 4
(A)

(B)

5 ? x≤2 4

(D) 2 ≤ x ≤ 3 )

例 5:函数 f ( x) ? loga x ?1 在 (0,1) 上递减,那么 f ( x ) 在 (1, ??) 上(

(A) 递增且无最大值 (B)递减且无最小值 (C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值 变式 1:函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的单调递增区间是___________________.
2

变式 2:函数 f ( x) ? log 1 x ? 2 x ? 5 的值域是__________
2 2

?

?

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20

变式 3:函数 y= log 1 (x -6x+17)的值域是
2

2

(A)R (C)(-∞,-3)

(B) [8,+∞) (D) [-3,+∞)

例 7 : 若 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 函 数 y ? lg( x ? 1) 的 图 像 关 于 直 线 x ? y ? 0 对 称 , 则 f ( x) 为 ( ) (A) 10 ? 1
x

(B) 1 ? 10

x

(C) 1 ? 10

?x

(D) 10

?x

?1

变式:若函数 f ( x) ? 2 x ,它的反函数是 f ?1 (x) , a ? f ?1 (3),b ? f ?1 (4),c ? f ?1 (?) ,则下面关系式中正确的是 ( ) (B)a<c< b (C)b<c<a (D)b<a<c

(A)a<b<c 三、课堂练习:

1.下列各式中正确的是( A.lg3+lg7=lg(3+7) C.lg4-lg7=lg(4-7) 2.下列结论正确的是 ①lg(lg10)=0 A.①、③ 3.有以下四个命题: ①若 log3x=3,则 x=9

) B.4ln3=ln(3×4) D.elnN=N

② lg(lne)=0 B.②、④

③若 10=lgx 则 x=10 C.①、②

④若 e=lnx,则 x=e2

D.③、④

1 则x = 2 2 ③若log 3 x= 0,则x = 3 ②若log 4 x = ④若log 1 x = - 3,则x = 125
5

其中是真命题的个数为 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.已知|lga|=|lgb|,(a>0,b>0)那么 A.a=b B.a=b 或 a·b=1 C.a=±b D.a·b=1

a 5.已知lga、lgb是方程 2x 2 - 4x+1 = 0的两个根,则 (lg ) 2 的值是 b
21

A.4

B.3
2

C.2

D.1

6、计算: (log 2 5) ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2
? 1

1 = 5

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7.若log 6 [log 4 (log 3 x)] = 0,则x 2 等于
A. 9 C. 3 B. D. 1 9 3 3


8、已知 f ( x 6 ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于( A
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4 3

B

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8

C

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18

D

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1 2

9、设 A ? 1, y,lg ? xy ? , B ? 0, x , y ,且 A ? B ,则 x ?

?

?

?

?

;y?

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10、

log8 9 的值是( log 2 3
B.1

)

A.

2 3

C.

3 2

D.2

11、若 2 log3 x ?

1 ,则 x=_____________. 4

log14 5 ? b ,求 log35 28 (用 a、b 表示). 12、已知 log14 7 ? a,

四、课后练习 1、 函数 f ( x) ? lg( x ? 2) 的定义域是___________________. 2、 函数 f ( x) ? lg(2 ? x 2 ) 的定义域是___________________. 3、 函数 y ? loga x ,当 a ? 1 时它是单调_______;当 0 ? a ? 1 时它是单调_________. 4、 若 loga (a ? 2) ? loga (a ? 1) ,那么 a 的取值范围是_____________. 5、 函数 f ( x) ? lg(1 ? x ) 的奇偶性是________________.
2

6、 若函数 f ? x ? ? loga ? x ?1? ? a ? 0,且a ? 1? 的定义域和值域都是 ?0, 2? ,则实数 a =



22

7、 函数 f ( x) ? log1 (1 ? x 2 ) 的单调递增区间是___________________.
2

8、 函数 y ? lg x (

)

(A)是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递增(B)是偶函数,在区间 (??, 0) 上单调递减 (C)是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递增 (D) 是奇函数,在区间 (0, ??) 上单调递减 9、函数 y ? log3 (x 2 ? 2x ? 3) 是单调增函数的区间是( A.(1,+∞) B.(3,+∞) C.(-∞,1) ) ) D.(-∞,-1)

10、函数 f ( x) ? log3 (2 ? x) 在定义域区间上是( A.增函数 C.有时是增函数有时是减函数

B.减函数 D.无法确定其单调性 )

11、 f (x) ? log5 (x 2 ? 2x ? 2) ,使 f(x)是单调增函数的 x 值的区间是( A.R B.(-∞,1) C.[1,+∞] D.(-∞,1)∪(1,+∞)

x ?1 的奇偶性是________________. 1? x 2 13、不等式 log 1 ( x ? 3x) ? ?1 的解集是___________________.
12、函数 f ( x) ? lg
2

14、 log a

3 <1,则 a 的取值范围是______________. 5
)

15、若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点 (?1, 0) 和 (0,1) ,则( (A) a ? 2, b ? 2 (B) a ? 2, b ? 2 (C) a ? 2, b ? 1

(D) a ? 2, b ? 2

16、函数 y ? lg( x 2 ? ax ? 1) 的定义域为 R ,则实数 a 的取值范围是_____________ 17、函数 y ? 3 x?1 (?1 ? x ? 0) 的反函数是 ( )

1 3 1 1 1 ( ?x? ) (C) y ? 1 ? log 3 x   (D) y ? 1 ? log 3 x ( x ? ) 9 3 9 1 x 18、已知集合 A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=( ) ,x>1},则 A∩B 等于 2 1 (A){y|0<y< } (B){y|0<y<1} 2 1 (C){y| <y<1} (D) ? 2 (x ? ) (A) y ? 1 ? log 3 x  

1 3

(x ? ) (B) y ? 1 ? log 3 x  

23

19、 3 A.16

log

3

4

的值是(

) C.3 D.2

B.4

※利用对数恒等式 a loga N ? N ,求下列各式的值: (1) ( ) log4 3 ? ( ) log5 4 ? ( ) log3 5 (3) 25
log5 2

1 4

1 5

1 3

log 1 4

(2) 3 (4) 2

3

? 10 log0.01 2 ? 7

log 1 2
7

? 49

log7 3

? 100

lg 6

log4 12

?3

log9 27

?5

log25

1 3

幂函数 1、一般地,形如 2、在第一象限内, (1)所有的幂函数在 都有定义,并且图象都通过定点( ) ; 的函数称为幂函数,其中 a 为常数。

(2)如果 a>0,则幂函数的图象通过

? ?) 上是增函数; ,并且在区间 [0,
1

当 0<α <1 时, 形状向上凸,如 y ? x 2 当 ? ? 1 时,形状下凹,如 y ? x2 , y ? x3 (3)如果 a<0,则幂函数在区间 (0, ? ?) 上是减函数,如 y ? x ?1 (4)图象在第一象限遵循“逆时针”原则 3、根据函数的奇偶性,画出幂函数在其他象限的图象。 三、典型例题 例 1、下列是幂函数有 (1) y ? 2 x (2) y ? (2 ? x) 2 (3) y ? x 3 (4) y ? log 2 x 例 2、写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性 (1)y=x
4

(2)y=x

1 4

(3)y=x

?3

(4) y ? x

?

3 2

例 3、已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, 2 ) ,试求出这个函数的解析式。

24

例 4、已知函数 y ? m 2 ? 2m ? 2 x m?3 ? 2n ? 1是幂函数求 m, n 的值;

?

?

1

例 5、利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小:
3
3

6

6

(1) 2.3 4 , 2.4 4 ;

(2) 0.315 , 0.355 ;

(3) ( 2 )

?

3 2

, ( 3)

?

3 2



(4) 1.1 2 , 0.9

?

1

?

1 2



四、课堂练习 1、下列是幂函数的是 。 (2) y ? x 3 ? x 2 (3) y ? x?
2 3

1

(1) y ? axm (a, m 为非零常数,且 a ? 1) 2. 比较下列各组数的大小: (1)1.5
1 3

(4) y ? ?x ? 1?

3

1.7 , (2) 0.31

1 3

6 5

0.35

6 5

?

(3)3.8

3.9

?

2 3

(4) ?a ? 2?

3

?a ? 1?3

(a>0)

3. 如果幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2,

2 ) ,求 f (4) 2

4.函数 y=(x -2x)

2



1 2

的定义域是

5.(1)已知函数 y ? m 2 ? 2m ? 2 x m?1 ? 2n ? 3 是幂函数求 m, n 的值;

?

?

1

(2)函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m

2

? m?3

是幂函数,且在 (0, ??) 上为增函数,求函数解析式

25

6.若幂函数 y ? x

? ?1?p ? n

m

(m、n、p 均为正整数,且 m、n 互质)的图象在第一、二象限,且不过原点,则( ) B. p、m 为奇数,n 为偶数 D. p、m 为偶数,n 为奇数

A. p、n 为奇数,m 为偶数 C. p、n 为偶数,m 为奇数 7.给出四个幂函数和四个图象: (1) y ? x
1 2

(2) y ? x

?

3 2

(3) y ? x

2 3

(4) y ? x

?

3 2

下列判断正确的是( ) A.(1)的图象是甲 C.(3)的图象是丙 B.(2)的图象是乙 C.(4)的图象是丁

? 8、 已知幂函数 y ? x 在第一象限内的图象如图所示。 已知 ? ? ?2,?

1 四个值, 则相应于曲线 C1 , C2 , C3C4 的 2

n 值依次为



y

C1
C2
C4 x

C3

o

3

9、画出 y ? x 4 的图象,并研究定义域,奇偶性和单调性。

10、证明幂函数 f ?x ? ?

? ?? 上是增函数。 x 在 ?0,

26

11、比较下列各组数的大小:
1 1

(1)1.5 3 ,1.7 3 ,1;

(2) (-

2 2



?

2 3

, (-

10 7

2

4

) 3 ,1.1 3 ;

?

(3)3.8

2 3

,3.9 , (-1.8) ;

2 5

3 5

(4)3 ,5 .

1.4

1.5

函数与方程 一、知识点 1、函数的零点 方程 f ( x) ? 0 的实数根又叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 方程 f ( x) ? 0 有实根 ? 函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点; ②如果函数 y ? f ( x) 在区间 ( a , b ) 上的图像是连续不断的,且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间

( a , b ) 上有零点。
2、二分法 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上的图像是连续不断的一条曲线,且 f (m) ? f (n) ? 0 ,通过不断地把函数

y ? f ( x) 的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分
法。 给定精度 ? ,用二分法求函数 y ? f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [m, n] ,验证 f (m) ? f (n) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 [m, n] 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) :①若 f ( x1 ) ? 0 ,则 x1 就是函数 y ? f ( x) 的零点;②若 f (m) f ( x1 ) ? 0 ,则令 n ? x1 (此

27

时零点

x0 ? (m, x1 ) ) x ? ( x1 , n) ) ;③若 f ( x1 ) f (n) ? 0 ,则令 m ? x1 (此时零点 0

(4)判断是否达到精度 ? ; 即若

m?n ??

,则得到零点值 m (或 n ) ;否则重复步骤(2)-(4)

(3)用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根 (2)求曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的交点的横坐标,实际上就是求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点,即求方程

f ( x) ? g ( x) ? 0 的根
二、典型例题 例 1、 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点.
3 2

例 2、 求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数.

例 3、 (2007·广东)已知 a 是实数,函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,
2

求 a 的取值范围。

例 4、 (斗门一中 09 届模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:

x
y ? 2x y ? x2

0.2 1.149 0.04

0.6 1.516 0.36

1.0 2.0 1.0

1.4 2.639 1.96 ).

1.8 3.482 3.24

2.2 4.595 4.84

2.6 6.063 6.76

3.0 8.0 9.0

3.4 10.556 11.56

? ? ?

x 2 那么方程 2 ? x 的一个根位于下列区间的(

A.(0.6,1.0) ;B.(1.4,1.8) ;C.(1.8,2.2) ;D.

(2.6,3.0)

28


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