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17.3一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解


一次函数的图象和性质
一、知识要点: 1、一次函数:形如 y=kx+b (k≠0, k, b 为常数)的函数。 注意:(1)k≠0,否则自变量 x 的最高次项的系数不为 1; (2)当 b=0 时,y=kx,y 叫 x 的正比例函数。 2、图象:一次函数的图象是一条直线, (1)两个常有的特殊点:与 y 轴交于(0,b);与 x 轴交于(,0)

2)由图象可以知道,直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行,例如直线:y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行。 3、性质: (1)图象的位置:

(2)增减性 k>0 时,y 随 x 增大而增大 k<0 时,y 随 x 增大而减小 4.求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程,再转化为函数解析式,此类题一般在没有写出函数解析 式前无法(或不易)判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

-1-

“待定系数法”的基本思想就是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过 引入一些待定的系数,转化为方程(组)来解决,题目的已知恒等式中含有几个等待确定的 系数,一般就需列出几个含有待定系数的方程,本单元构造方程一般有下列几种情况: ①利用一次函数的定义

构造方程组。 ②利用一次函数 y=kx+b 中常数项 b 恰为函数图象与 y 轴交点的纵坐标, 即由 b 来定点; 直线 y=kx+b 平行于 y=kx,即由 k 来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程 。 二、例题举例: 例 1.已知 y= 正比例。 证明:∵ 设 ∵y= ∴y= 与 =a 成正比例, (a≠0 的常数), , ·a = (k≠0 的常数), ,其中 = (k≠0 的常数), 与 成正比例,求证 y 与 x 也成

=akx,

其中 ak≠0 的常数, ∴y 与 x 也成正比例。 例 2.已知一次函数 =(3) =(n-2)x+ -n-3 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1,判断

是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位

置及增减性。 解:依题意,得 解得 n=-1, ∴ =-3x-1,

-2-

=(3-

)x,

是正比例函数; 随 x 的增大而减小; 随 x 的增大而增大。

=-3x-1 的图象经过第二、三、四象限, =(3)x 的图象经过第一、三象限,

说明: 由于一次函数的解析式含有待定系数 n, 故求解析式的关键是构造关于 n 的方程, 此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐标”来构造方程。 例 3.直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行,且与直线 y=-3(x-6)相交,交点在 y 轴上,求 此直线解析式。 分析: 直线 y=kx+b 的位置由系数 k、 b 来决定: 由 k 来定方向, 由 b 来定与 y 轴的交点, 若两直线平行,则解析式的一次项系数 k 相等。例 y=2x,y=2x+3 的图象平行。 解:∵y=kx+b 与 y=5-4x 平行, ∴k=-4, ∵y=kx+b 与 y=-3(x-6)=-3x+18 相交于 y 轴, ∴b=18, ∴y=-4x+18。 说明:一次函数 y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来决定:由 k 来定方向,由 b 来定点, 即函数图象平行于直线 y=kx,经过(0, b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定 k,由与 y 轴交点定 b。 例 4.直线与 x 轴交于点 A(-4,0),与 y 轴交于点 B,若点 B 到 x 轴的距离为 2,求 直线的解析式。 解:∵点 B 到 x 轴的距离为 2, ∴点 B 的坐标为(0,±2), 设直线的解析式为 y=kx±2, ∵直线过点 A(-4,0), ∴0=-4k±2, 解得:k=± , x+2 或 y=x-2.

∴直线 AB 的解析式为 y=

说明:此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解 析式必备的。
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(1)图象是直线的函数是一次函数; (2)直线与 y 轴交于 B 点,则点 B(0, (3)点 B 到 x 轴距离为 2,则| |=2; ; , );

(4)点 B 的纵坐标等于直线解析式的常数项,即 b= (5)已知直线与 y 轴交点的纵坐标 下面只需待定 k 即可。 ,可设 y=kx+

例 5.已知一次函数的图象,交 x 轴于 A(-6,0),交正比例函数的图象于点 B,且点 B 在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB 的面积为 6 平方单位,求正比例函数和一次函数的 解析式。 分析:自画草图如下: 解:设正比例函数 y=kx, 一次函数 y=ax+b, ∵点 B 在第三象限,横坐标为-2, 设 B(-2, ∵ ∴ ∴ =6, AO·| =-2, |=6, ),其中 <0,

把点 B(-2,-2)代入正比例函数 y=kx,得 k=1 把点 A(-6,0)、B(-2,-2)代入 y=ax+b, 得

解得:

∴y=x, y=-

x-3 即所求。

说明:(1)此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意 两个函数中的系数要用不同字母表示;
-4-

(2)此例需要把条件(面积)转化为点 B 的坐标。这个转化实质含有两步:一是利用 面积公式 AO·BD=6(过点 B 作 BD⊥AO 于 D)计算出线段长 BD=2,再利用| |=BD 及点 B

在第三象限计算出

=-2。若去掉第三象限的条件,想一想点 B 的位置有几种可能,结果

会有什么变化? (答: 有两种可能, 点 B 可能在第二象限 (-2, 2) , 结果增加一组 y=-x, y= (x+3). 例 6.已知正比例函数 y=kx (k<0)图象上的一点与原点的距离等于 13,过这点向 x 轴 作垂线,这点到垂足间的线段和 x 轴及该图象围成的图形的面积等于 30,求这个正比例函 数的解析式。 分析:画草图如下:

则 OA=13,

=30,

则列方程求出点 A 的坐标即可。 解法 1:设图象上一点 A(x, y)满足

解得:







代入 y=kx (k<0)得 k=∴y=x 或 y=x。

, k=-

.

解法 2:设图象上一点 A(a, ka)满足

-5-

由(2)得

=-

, )·()= .

代入(1),得(1+ 整理,得 60 解得 k=∴ y=-

+169k+60=0. 或 k=. x.

x 或 y=-

说明:由于题目已经给定含有待定系数的结构式 y=kx,其中 k 为待定系数,故解此例 的关键是构造关于 k 的方程。 此例给出的两个解法代表两种不同的思路: 解法 1 是把已知条 件先转化为求函数图象上一点的坐标,构造方程解出,再求 k;解法 2 是引进辅助未知数 a, 利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于 a、k 的方程组,解题时消去 a,求出 k 值。 例 7.在直角坐标系 x0y 中,一次函数 y= x+ 的图象与 x 轴,y 轴,分别交于 A、

B 两点,点 C 坐标为(1,0),点 D 在 x 轴上,且∠BCD=∠ABD,求图象经过 B、D 两点的一 次函数的解析式。 分析:由已知可得 A 点坐标(-3,0),B 点坐标(0, ),点 C 是确定的点(1,0),

解题的关键是确定点 D 的坐标,由点 D 在 x 轴上,以∠BCD=∠ABD 的条件,结合画草图可知 ∠BCD 的边 BC 确定,顶点 C 确定,但边 CD 可以有两个方向,即点 D 可以在 C 点右侧,也可 以在 C 点左侧,因此解此题要分类讨论。 解: ∵点 A、 B 分别是直线 y= x+ 与 x 轴和 y 轴交点,

∴A(-3,0),B(0,

), ,AB= ,

∵点 C 坐标(1,0)由勾股定理得 BC= 设点 D 的坐标为(x, 0), (1)当点 D 在 C 点右侧,即 x>1 时,

-6-

∵∠BCD=∠ABD, ∠BDC=∠ADB, ∴△BCD∽△ABD, ∴ =



=

- - - - ①



=

∴8 ∴x1=

-22x+5=0 , x2= , , x2= ,都是方程①的根。 ,

经检验:x1= ∵x=

,不合题意,∴舍去。∴x= , 0)。

∴D 点坐标为(

设图象过 B、D 两点的一次函数解析式为 y=kx+b,



∴所求一次函数为 y=-

x+

(2)若点 D 在点 C 左侧则 x<1, 可证△ABC∽△ADB, ∴



- - - - ②

∴8 ∴x1=-

-18x-5=0 , x2= ,

-7-

经检验 x1=∵x2=

, x2=

,都是方程②的根。 ,

不合题意舍去,∴x1=, 0),

∴D 点坐标为(∴图象过 B、D(-

, 0)两点的一次函数解析式为 y=4

x+

综上所述,满足题意的一次函数为 y=-

x+

或 y=4

x+

.

例 8.已知:如图一次函数 y=

x-3 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,过点 C

(4,0)作 AB 的垂线交 AB 于点 E,交 y 轴于点 D,求点 D、E 的坐标。 解:直线 y= x-3 与 x 轴交于点 A(6,0),与 y 轴交于点 B(0,-3),

∴OA=6,OB=3, ∵OA⊥OB,CD⊥AB, ∴∠ODC=∠OAB, ∴cot∠ODC=cot∠OAB,即 ∴OD= = =8.

∴点 D 的坐标为(0,8), 设过 CD 的直线解析式为 y=kx+8,将 C( 4,0)代入 0=4k+8, 解得 k=-2 ∴直线 CD:y=-2x+8,



解得

∴点 E 的坐标为(

,-



说明:由于点 E 既在直线 AB 上,又在直线 CD 上,所以可以把两直线的解析式联立,构 成二元一次方程组,通过解方程组求得。

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